关于加性数论中的generating functions，II：低阶项及其在偏微分方程中的应用
On generating functions in additive number theory, II: Lower-order terms and applications to PDEs
摘要：
我们得到了包含低阶主项的$$ \sum_{n=1}^P e(α_kn^k + α_1n), $$形式的和的渐近性。作为一个应用程序，我们表明，几乎所有的$α_2 \in [0,1)$之一有$$ \sup_{α_1 \in [0,1)} \Big| \sum_{1 \le n \le P} e(α_1(n^3+n) + α_2 n^3) \Big| \ll P^{3/4 + \varepsilon}, $$，并在适当的意义上，这是最好的可能。这使我们能够提高边界的分数维的解决方案薛定谔和艾里方程。
英文摘要：
We obtain asymptotics for sums of the form $$ \sum_{n=1}^P e(α_kn^k + α_1n), $$ involving lower order main terms. As an application, we show that for almost all $α_2 \in [0,1)$ one has $$ \sup_{α_1 \in [0,1)} \Big| \sum_{1 \le n \le P} e(α_1(n^3+n) + α_2 n^3) \Big| \ll P^{3/4 + \varepsilon}, $$ and that in a suitable sense this is best possible. This allows us to improve bounds for the fractal dimension of solutions to the Schrödinger and Airy equations.
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