3LDT 与 Conv3LDT 非平凡变体之间的等价性
Equivalences between Non-trivial Variants of 3LDT and Conv3LDT
AI总结：
本文通过构造反向归约，证明了所有非平凡 3LDT 变体及其卷积版本 Conv3LDT 在次二次归约下等价于 3SUM，解决了 Erickson 的开放问题，并利用 Behrend 构造和 Fischer 等人的方法扩展了等价性结果。
摘要：
流行的 3SUM 猜想指出，不存在强次二次时间算法来检查给定整数集合是否包含三个不同元素 $x_1, x_2, x_3$ 使得 $x_1+x_2=x_3$。一个密切相关的问题是检查给定整数集合是否包含满足 $x_1+x_2=2x_3$ 的不同元素。这个问题可以在近似线性时间内归约到 3SUM，但令人惊讶的是，此前并不知道建立 3SUM 困难性的反向归约。我们提供了这样的归约，从而解决了 Erickson 的一个开放问题。实际上，我们考虑一个更一般的问题，称为 3LDT，由整数参数 $α_1, α_2, α_3$ 和 $t$ 参数化。在这个问题中，我们需要检查给定整数集合是否包含不同元素 $x_1, x_2, x_3$ 使得 $α_1 x_1+α_2 x_2 +α_3 x_3 = t$。我们证明了在同一论域 $[-n^c,n^c]$（其中 $c\geq2$）上的所有非平凡 3LDT 变体在次二次归约下是等价的。我们证明中使用的主要技术工具是著名的 Behrend 构造的应用，该构造将给定整数集合划分为少量子集，这些子集避免选定的线性方程。我们将结果扩展到 Conv3LDT，并证明对于所有 $c\geq2$，在论域 $[-n^c,n^c]$ 上的所有非平凡 3LDT 变体与在论域 $[-n^{c-1},n^{c-1}]$ 上的所有非平凡 Conv3LDT 变体是次二次等价的，因此它们特别地在次二次归约下都等价于 3SUM。最后，我们展示了如何应用 Fischer 等人的方法，将任意论域上的非平凡 3LDT（Conv3LDT）变体归约到三次（二次）论域上的相同变体。
英文摘要：
The popular 3SUM conjecture states that there is no strongly subquadratic time algorithm for checking if a given set of integers contains three distinct elements $x_1, x_2, x_3$ such that $x_1+x_2=x_3$. A closely related problem is to check if a given set of integers contains distinct elements satisfying $x_1+x_2=2x_3$. This can be reduced to 3SUM in almost-linear time, but surprisingly a reverse reduction establishing 3SUM hardness was not known. We provide such a reduction, thus resolving an open question of Erickson. In fact, we consider a more general problem called 3LDT parameterized by integer parameters $α_1, α_2, α_3$ and $t$. In this problem, we need to check if a given set of integers contains distinct elements $x_1, x_2, x_3$ such that $α_1 x_1+α_2 x_2 +α_3 x_3 = t$. We prove that all non-trivial variants of 3LDT over the same universe $[-n^c,n^c]$ for some $c\geq2$ are equivalent under subquadratic reductions. The main technical tool used in our proof is an application of the famous Behrend's construction that partitions a given set of integers into few subsets that avoid a chosen linear equation. We extend our results to Conv3LDT and show that for all $c\geq2$, all non-trivial variants of 3LDT over the universe $[-n^c,n^c]$ and of Conv3LDT over the universe $[-n^{c-1},n^{c-1}]$ are subquadratic-equivalent, so in particular they are all equivalent to 3SUM under subquadratic reductions. Finally, we show how to apply the methods of Fischer et al. to show that we can reduce non-trivial variant of 3LDT (Conv3LDT) over an arbitrary universe to the same variant over cubic (quadratic) universe.
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