中心仿射 $\mathbb{R}^m$ 中扭曲多边形的可积演化
Integrable evolutions of twisted polygons in centro-affine $\mathbb{R}^m$
AI总结：
本文通过中心仿射空间中弧长参数化多边形的几何实现，证明离散 $W_m$ 格是双哈密顿的，并利用预辛形式简洁地证明了两个哈密顿结构的相容性，进而研究其核与相关可积系统。
摘要：
我们证明离散 $W_m$ 格是双哈密顿的，方法是利用 Adler-Gel'fand-Dikii 流的离散化的几何实现，将其作为中心仿射空间中弧长参数化多边形的局部演化。我们通过将定义在几何不变量空间上的两个已知哈密顿结构提升到弧长参数化多边形空间上的一对预辛形式，证明了它们的相容性。预辛形式表达式的简洁性使得相容性证明十分直接。我们还研究了它们的核以及与该对结构相关的可能可积系统。
英文摘要：
We show that discrete $W_m$ lattices are bi-Hamiltonian, using geometric realizations of discretizations of the Adler-Gel'fand-Dikii flows as local evolutions of arc length-parametrized polygons in centro-affine space. We prove the compatibility of two known Hamiltonian structure defined on the space of geometric invariants by lifting them to a pair of pre-symplectic forms on the space of arc length parametrized polygons. The simplicity of the expressions of the pre-symplectic forms makes the proof of compatibility straightforward. We also study their kernels and possible integrable systems associated to the pair.
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