Simplifying Non-Simple Fan-Planar Drawings
如果与公共边$a$相交的边在$a$的同一侧共享顶点$A$，则图的绘图是扇平面的。更准确地说，任意地定向$e$并且其它边缘朝向$A$导致交叉的一致定向。到目前为止，扇形平面绘图仅在简单绘图的上下文中考虑，其中任何两条边最多共享一个点，包括端点。我们表明，每一个非简单的扇平面图可以重画为一个简单的扇平面图相同的图形，而不引入额外的交叉。结合以前的结果扇平面图纸，这产生的$n$顶点图具有这样的图纸可以有最多$6.5n$的边缘，这样的图的识别是NP-困难的。因此，我们回答了Kaufmann和Ueckerdt在2014年提出的一个开放问题。
2021-08-30 cs.CG
Drawing (Complete) Binary Tanglegrams: Hardness, Approximation, Fixed-Parameter Tractability
一个\emph{binary tanglegram}是一个图的一对根二叉树的叶子集是一对一的对应关系;匹配的叶子是由树间的边缘连接。对于应用，例如，在遗传学中，重要的是两棵树都没有边交叉，并且树间边具有尽可能少的交叉。众所周知，找到一个具有最小交叉数的缠结图是NP-困难的，并且这个问题是固定参数的。证明了在唯一博弈猜想下，二叉树不存在常数因子近似。我们表明，这个问题是NP-难的，即使两棵树是完全二叉树。对于这种情况下，我们给出了一个$O(n^3)$ -时间2-近似和一个新的，简单的固定参数算法。我们表明，二元树的对偶问题的最大化版本可以减少到一个版本的MaxCut的算法的Goemans和Williamson产生一个0.878近似。
2010-09-16 cs.CC cs.CG
Improved Bounds for Drawing Trees on Fixed Points with L-shaped Edges
令$T$是最大度为4的$n$ -节点树，并且令$P$是平面中没有两个点在同一水平线或垂直线上的$n$点的集合。$T$是否总是在$P$上有一个平面图，以便将每条边绘制为带有一个折弯的正交路径（“L形”边），这是一个悬而未决的问题。通过给出绘制树的新方法，我们改进了点集$P$的大小的界限，这样的绘图是可能的：$O(n^{1.55})$为最大程度4树; $O(n^{1.22})$为最大程度3（二进制）树;和$O(n^{1.142})$为完美的二进制树。绘制有序树的L形边缘是困难的-我们给出了一个例子，不能做的和一个约束的$O(n \log n)$点的L形图纸有序毛毛虫，这与已知的线性约束无序毛毛虫。
2017-09-05 cs.CG
Min-1-Planarity is NP-Hard
Nagoya University（名古屋大学）
本文证明判定一个图是否具有min-1-平面图是NP难的，其中min-k-平面图要求每个交叉中至少有一条边涉及的交叉数不超过k。
2026-07-03 cs.CG cs.DS
Untangling planar graphs from a specified vertex position - Hard cases
给定一个平面图$G$，我们考虑$G$在平面中的绘图，其中边由直线段（可能相交）表示。这样的绘图通过将$G$的顶点集的$π$内射嵌入到平面中来指定。我们证明了一个轮图$W_n$承认一个绘图$π$，这样，如果一个人想消除边缘交叉移动顶点到新的位置在平面上，然后在最多$(2+o(1))\sqrt n$的所有$n$顶点可以保持固定。此外，即使假定顶点占据平面中任何指定的点集，这样的绘图$π$也存在。类似的问题进行了讨论，其他家庭的平面图。
2010-11-23 cs.CG cs.DM
Picking Planar Edges; or, Drawing a Graph with a Planar Subgraph
给定一个图$G$和它的边的子集$F \subseteq E(G)$，是否存在一个$G$的图，其中$F$的所有边都没有交叉？我们表明，这个问题可以解决在多项式时间使用Hanani-Tutte风格的方法。如果我们要求$G$的绘制是直线，并且允许沿着$F$的每条边最多有一个交叉，那么这个问题就像实数的存在理论一样困难。
2013-11-26 cs.CG cs.DM math.CO
Graphs with large total angular resolution
直线图形的总角度分辨率是图形两条边之间的最小角度。它结合了有助于图形可读性的两个属性：角分辨率（入射边之间的最小角度）和交叉分辨率（交叉边之间的最小角度）。我们考虑一个图的全角分辨率，它是这个图的直线图的最大全角分辨率。我们证明了，直到有限个指定的例外的恒定大小，图的边数与$n$顶点和总角分辨率大于$60^{\circ}$是有界的$2n-6$。这个界限很紧.此外，我们表明，决定一个图是否有全角分辨率至少$60^{\circ}$是NP-困难的。
2022-10-09 cs.CG
Edges and Switches, Tunnels and Bridges
边覆盖是一种提高非平面图形可读性的方法。大小写图形对每个边交叉点的边进行排序，并在交叉点的适当邻域中中断下边缘。某些顺序将导致比其他顺序更可读的绘图。我们制定了几个优化标准，试图捕捉一个“好的”有案例的绘图的概念。此外，我们解决的算法问题，如何把一个给定的绘图到一个最佳的情况下绘制。对于许多由此产生的优化问题，我们要么找到多项式时间算法或NP-硬度的结果。
2007-05-03 cs.CG cs.DS
Extending simple monotone drawings
Charles University, Faculty of Mathematics and Physics（查理大学数学物理学院）
该研究扩展了简单单调绘制，证明了Levi扩展引理的变种，并指出扩展圆柱形单调伪段排列的决策问题为NP难。
2025-10-01 cs.CG math.CO
Windrose Planarity: Embedding Graphs with Direction-Constrained Edges
给定平面图$G$和每个顶点$v$的邻居在四个集合$UR(v)$、$UL(v)$、$DL(v)$和$DR(v)$中的划分，问题Windrose Planarity要求决定$G$是否允许Windrose平面绘图，即，其中（i）每个邻居$u \in UR(v)$在$v$的右上方，（ii）每个邻居$u \in UL(v)$在$v$的左上方，（iii）每个邻居$u \in DL(v)$在$v$的左下方，（iv）每个邻居$u \in DR(v)$在$v$的右下方，以及（v）边缘由相对于每个轴单调的曲线表示。通过利用顶点之间的水平和垂直关系，windrose-planar绘图允许同时可视化由图的边缘定义的两个偏序。虽然在一般情况下，这个问题是NP-难的，我们给出了一个多项式时间算法来测试是否存在一个windrose-planar绘图，尊重给定的组合嵌入。该算法是基于一个特征的平面三角剖分承认一个windrose平面图。此外，对于任何具有$n$顶点的嵌入图，其具有一个windrose-planar绘图，我们可以构造一个每条边至多有一个弯曲并且总共至多有$2n-5$弯曲的图，其位于$3n \times 3n$网格上。后一结果与直线风玫瑰平面图可能需要指数面积的事实形成对比。
2018-09-06 cs.CG
Bundled Crossings Revisited
减少具有（许多）交叉点的图形绘制中的混乱的有效方法是将平行行进的边分组到\emph{bundles}中。每个边可以参与许多这样的束。该捆绑图中的任何交叉发生在两个捆绑之间，即，作为\emph{bundled crossing}。我们考虑捆绑交叉最小化问题：给定一个图，目标是找到一个最多有$k$捆绑交叉的捆绑图。我们表明，当我们需要一个简单的绘图时，这个问题是NP-难的。我们的主要结果是FPT算法（在$k$），当我们需要一个简单的圆形布局。这些结果利用了捆绑交叉和图的亏格之间的联系。
2019-09-11 cs.CG
A Simple Partially Embedded Planarity Test Based on Vertex-Addition
针对部分嵌入平面性问题，提出一个基于顶点添加和修改PC树数据结构的线性时间算法，相比以往复杂方法更简单且易于实现。
2024-10-17 cs.CG
A Fixed-Parameter Algorithm for Extending Upward Planar Drawings
Humboldt-Universität zu Berlin（柏林洪堡大学）；TU Wien（维也纳工业大学）；University of California, Santa Barbara（加州大学圣塔芭芭拉分校）
研究有向无环图向上平面图绘制的扩展问题，提出以顶点+边删除距离为参数的固定参数算法，克服以往算法局限，通过对缺失边规范集刻画，实现对有许多缺失边实例的可处理性。
2026-07-28 cs.CG cs.DS
Planar Drawings of Fixed-Mobile Bigraphs
固定-可动偶图G是一个二部图，使得一个划分集的顶点在平面中具有固定的位置，而另一部分的可动顶点必须与边一起添加到图中。我们假设G是平面的，并研究问题的发现，对于一个给定的k >= 0，一个平面折线图的G与最多k个弯每边。在最一般的情况下，我们显示NP-硬度。对于k=0和下的固定或移动的顶点的位置的额外的限制，我们要么证明，该问题是多项式时间可解的或证明它属于NP。最后，我们提出了一个多项式时间的测试算法的某种类型的“分层”1-折弯图纸。
2017-08-30 cs.CC cs.CG cs.DM
On the Complexity of Lombardi Graph Drawing
本文首次研究一般图 Lombardi 绘制的计算复杂性，证明在固定每个顶点入射边循环顺序下判断其是否存在是 ∃R-完全的，从而蕴含 NP 困难性。
2023-08-11 cs.CC cs.CG math.CO
Drawing Clustered Graphs on Disk Arrangements
设$G=(V, E)$是平面图，$\mathcal{C}$是$V$的一个划分.我们将$\mathcal{C}$中的顶点集所导出的图称为簇。令$D_{\mathcal C}$是磁盘和簇之间具有双射的磁盘排列。Akitaya等人给出了一种算法，用于测试$(G, \mathcal{C})$是否可以嵌入到$D_{\mathcal C}$中，并附加了边通过磁盘之间的一组管道路由的约束。基于这样的嵌入，我们证明了每一个簇图和每一个没有管-盘交叉的盘排列有一个平面直线图，其中每个顶点嵌入到对应于它的簇的盘中。这个结果可以看作是Alam等人的结果的扩展，他们只考虑了双连通簇。此外，我们证明了它是NP-困难的决定是否有这样的一个聚类图的直线图，如果我们允许管盘相交。
2018-11-02 cs.CG cs.DS
Plane Hamiltonian Cycles in Convex Drawings
Freie Universität Berlin（柏林自由大学）；Technische Universität Berlin（柏林工业大学）；ETH Zürich（苏黎世联邦理工学院）；Graz University of Technology（格拉茨工业大学）
本文证明了在凸绘图中，每个简单绘图的完全图K_n都存在平面哈密顿环，并展示了哈密顿连通性和泛环性等性质。
2026-03-15 cs.CG cs.DM math.CO
Adding one edge to planar graphs makes crossing number and 1-planarity hard
一个图是近平面的，如果它可以通过添加一条边从平面图获得。我们发现了一个令人惊讶的事实，即计算近平面图的交叉数是NP-困难的。一个图是1-平面的，如果它有一个图，其中每个边最多与另一个边相交。我们证明了判定一个给定的近平面图是否是1-平面图是NP-困难的。在这两个减少的主要思想是考虑的问题，同时绘制两个平面图内的磁盘，其一些顶点固定在边界的磁盘。这导致了锚定嵌入的概念，这是独立的利益。作为一个有趣的结果，我们得到了一个新的，几何证明的NP-完全性的交叉数的问题，即使是限制在三次图。这就解决了一个关于林书豪的问题。
2012-03-27 cs.CC cs.CG math.CO
Drawing Binary Tanglegrams: An Experimental Evaluation
二叉缠结图是一对<S，T>二叉树，其叶集一一对应;匹配的叶由树间边连接。对于应用，例如在遗传学或软件工程中，需要绘制无交叉的个体树。一个自然的优化问题，表示tanglegram布局问题，因此，以尽量减少交叉之间的树边缘的数量。tanglegram布局问题是一个NP难问题，目前在应用领域和理论上都得到了广泛的研究。在本文中，我们提出了一个实验比较的递归算法的Buchin等人，我们的变种，他们的算法，算法层次排序的霍尔滕和范维克，和一个整数二次规划，产生最佳解决方案。
2008-06-05 cs.CG cs.DS
On 2-Layer k-Matching-Planar Graphs
Aalto University（阿尔托大学）；FernUniversität in Hagen（哈根函授大学）；TU Dortmund（多特蒙德工业大学）
研究二层k-匹配平面图，证明此类图路径宽度至多为2k + 1并构造达到3⌊k/2⌋ + 1的图，探讨单边识别问题的NP难及固定参数可处理性，还证明双边变体在多项式时间内不能常数因子近似。
2026-07-23 cs.CG
Approximating the rectilinear crossing number
图的直线图$G$是一种映射，它为平面中的每个顶点指定一个点，并为每个边指定一条连接相应两点的直线段。图$G$的直线交叉数，$\overline{cr}(G)$，是在$G$的任何直线图中交叉边的最小数目。确定或估计$\overline{cr}(G)$似乎是一个困难的问题，并决定$\overline{cr}(G)\leq k$是否已知是NP难的。事实上，$\overline{cr}(K_n)$的渐近行为仍然是未知的。在本文中，我们提出了一个确定性的$n^{2+o(1)}$ -时间算法，找到一个直线绘制的任何$n$ -顶点图$G$与$\overline{cr}(G) + o(n^4)$交叉边。结合Ajtai等人和Leighton的交叉引理，这个结果意味着对于任何稠密$n$ -顶点图$G$，可以有效地找到具有$(1 + o(1))\overline{cr}(G)$交叉边的$G$的直线图。
2016-09-07 cs.CG math.CO
Minimizing Crossings in Constrained Two-Sided Circular Graph Layouts
圆形布局是一种流行的图形绘制样式，其中顶点放置在圆上，边绘制为直弦。圆形布局中的交叉最小化是\NP -困难的。在实践中，允许更少交叉的一种方法是双面布局，在圆的外部绘制一些边缘作为曲线。事实上，单面和双面圆形布局相当于单页和双页的书籍图纸，即，所有顶点都放在一条线（脊）上，边画在由脊限定的一个或两个不同的半平面（页面）上的图形布局。在本文中，我们研究的问题，最小化的交叉为一个固定的循环顶点的顺序，通过计算一个最佳的$k$ -平面集的外部绘制的边缘$k \ge 1$，以前研究的情况$k=0$。我们发现，这涉及到找到有界度最大重量诱导子图的圆图，这是一个图论问题的独立利益。我们证明了\NP -硬度为任意$k$，提出了一个有效的算法$k=1$，并推广到一个显式的\XP -时间算法为任何固定的$k$。对于实际上有趣的情况下$k=1$，我们实现了我们的算法，并提出实验结果，证实了我们的算法的适用性。
2018-03-15 cs.CG
On Graph Crossing Number and Edge Planarization
给定一个n-顶点图G，G在平面上的一个绘图是它的顶点到平面上的点的映射，它的边到连续曲线的映射，连接它们的端点的图像。在这样的图形中，交点是两条这样的曲线相交的点。在最小交叉数问题中，目标是找到一个具有最小交叉数的G图。最优解的值，用OPT表示，称为图的交叉数。这是拓扑图论中一个非常基本的问题，已经受到了大量的关注，但在算法上仍然知之甚少。目前已知的最有效的算法产生的图纸与$O(\log^2 n)(n + OPT)$交叉的有界度图，而只有一个常数因子硬度的近似是已知的。一个密切相关的问题是最小边平面化，其中的目标是从G中移除边的最小基数子集，使得剩余的图是平面的。我们的主要技术结果在两个问题之间建立了以下联系：如果我们给出图G上的最小边平面化问题的代价k的解，那么我们可以有效地找到G的最多有$\poly(d)\cdot k\cdot (k+OPT)$交叉的图，其中$d$是G中的最大度。这一结果意味着一个$O(n\cdot \poly(d)\cdot \log^{3/2}n)$ -近似的最小交叉数，以及改进的算法的特殊情况下的问题，如，例如，k-顶点和有界亏格图。
2010-10-19 cs.CG cs.DS
A Dichotomy for 1-Planarity with Restricted Crossing Types Parameterized by Treewidth
Faculty of Mathematics and Physics, University of Ljubljana（卢布尔雅那大学数学物理学院）；Institute of Mathematics, Physics and Mechanics（数学、物理与力学研究所）；TU Wien（维也纳工业大学）；Faculty of Computer and Information Science, University of Ljubljana（卢布尔雅那大学计算机与信息科学学院）；Department of Mathematics and Computer Science, TU Eindhoven（埃因霍温理工大学数学与计算机科学系）；Theoretical Computer Science, Osnabrück University（奥斯纳布吕克大学理论计算机科学）
本文针对受限交叉类型的1-可平面性识别问题，证明存在三类坏交叉类型构成二分边界，分别给出固定参数可解与NP难的复杂度结论，并将结果拓展到1-平面直线绘制场景。
2025-11-18 cs.CG cs.DS math.CO
Two-Layer Drawings with a Tree on Top: Vertex Splits and Fixed-Parameter Algorithms
TU Wien（维也纳工业大学）；Univ Rennes（雷恩大学）
研究两层图绘制中顶点分裂问题的扩展，其中一层顶点顺序受辅助树\(T\)约束。贡献为给出关于分裂数\(k\)及\(T\)最大度的固定参数算法，还改进经典无约束版本算法，并通过实现验证算法在实践中的良好表现。
2026-07-28 cs.CG cs.DS
On the Uncrossed Number of Graphs
本文研究图的无交叉数问题，给出完全图与完全二部图的无交叉数精确值（部分证实并部分否定相关猜想），提出基于顶点和边数的通用下界，并证明边交叉数问题为NP难。
2025-06-17 cs.CG cs.DM math.CO
