有限网格上Downset码的译码

网格上多项式的局部译码与检验

Local decoding and testing of polynomials over grids

著名的DeMillo-Lipton-Schwartz-Zippel引理说，$n$ -变量多项式的总次数最多$d$在网格上，即集的形式$A_1 \times A_2 \times \cdots \times A_n$，形式纠错码（距离至少$2^{-d}$提供$\min_i\{|A_i|\}\geq 2$）。在这项工作中，我们探讨他们的本地可解码性和（宽容）本地可测试性。虽然当$A_1 = \cdots = A_n = \mathbb{F}_q$是相同的有限域时，这些方面已经被广泛地研究，但是当$A_i$不是全场时的设置似乎以前没有被探索过。在这项工作中，我们专注于情况$A_i = \{0,1\}$为每个$i$。我们表明，对于每个字段（有限或其他）有一个测试，其查询复杂性只取决于程度（而不是变量的数量）。相比之下，我们表明，解码是可能的领域的积极特征（查询复杂性增长的程度的多项式和特征），但不是在现实中，查询复杂性必须增长与$n$。因此，我们得到了一个代码的自然例子（一个具有传递对称群的代码），它是局部可测试的，但不是局部可解码的。关于多项式的局部解码和测试的经典结果依赖于低次多项式空间的2-传递对称性（在仿射变换下）。网格不具有这种对称性：因此，我们引入了一些新的技术来克服这一障碍，特别是使用超收缩的（常重）噪音运营商的汉明立方体。