拟Fredholm谱与紧扰动

局部化SVEP的伪半B-Fredholm和广义Drazin可逆算子

Pseudo semi B-Fredholm and Generalized Drazin invertible operators Through Localized SVEP

本文定义并研究了巴拿赫空间中有界算子的伪上、下半B-Fredholm。特别地，我们证明了左广义Drazin谱与伪上半B-Fredholm谱在$S(T)$之前是相等的，$S(T )$是$T$不具有SVEP的集合.证明了左广义Drazin算子和右广义Drazin算子在可加交换幂有限秩扰动下的不变性，并给出了伪上下半B-弗雷德霍姆算子的一些扰动.作为应用，我们研究了超循环算子和乘子算子。进一步研究了上三角算子矩阵的左、右广义Drazin可逆性，给出了保证上三角算子矩阵的左、右广义Drazin谱或伪上、下半B-Fredholm是其对角项谱之并的充分条件。

关于Dirichlet到Neumann映射、非局部相互作用及对弗雷德霍姆行列式的应用

On Dirichlet-to-Neumann Maps, Nonlocal Interactions, and Some Applications to Fredholm Determinants

我们考虑Dirichlet-to-Neumann映射与描述$L^2(Ω; d^n x)$，$n\geq 2$中非局部相互作用的Schrodinger算子相关联（不一定是自伴的），其中$Ω$是一个开集，其紧的非空边界满足一定的正则性条件.作为一个应用程序，我们描述了减少一定比例的Fredholm扰动行列式与运营商在$L^2(Ω; d^n x)$ Fredholm扰动行列式与运营商在$L^2(\partialΩ; d^{n-1}σ)$。这导致了一个著名公式的变体的扩展，由于约斯特和派斯，它减少了Fredholm扰动行列式与薛定谔算子的半线$(0,\infty)$，在局部相互作用的情况下，适当的分配解决方案的基本薛定谔方程的一个Wronski行列式。

Dirichlet-Neumann映射及其在修正的弗雷德霍姆行列式中的应用

On Dirichlet-to-Neumann Maps and Some Applications to Modified Fredholm Determinants

我们考虑$L^2(Ω; d^n x)$，$n=2,3$中与Schrodinger算子相关的Dirichlet-to-Neumann映射，其中$Ω$是一个开集，其紧的非空边界满足一定的正则性条件.作为一个应用程序，我们描述了一个减少的一定比例的修改Fredholm扰动行列式与运营商在$L^2(Ω; d^n x)$修改Fredholm扰动行列式与运营商在$L^2(\partialΩ; d^{n-1}σ)$，$n=2,3$。这导致了一个著名的公式的一个变体的二维和三维扩展由于约斯特和派斯，减少了Fredholm扰动行列式与薛定谔算子的半线$(0,\infty)$到一个简单的Wronski行列式适当的分配解决方案的基本薛定谔方程。

四元数巴拿赫代数中的Fredholm理论

Fredholm theory in quaternionic Banach algebras

Muraleetharan和Thirulogasanthan（J. Math. phys. 59，No. 10，103506，27 p.（2018））引入了有界四元数线性算子的Calkin S谱的概念。利用弗雷德霍姆算子理论建立了这类谱的研究。基于此，我们研究了关于四元数巴拿赫代数同态的Fredholm元的一般框架。首先，利用四元数巴拿赫代数中两个元素的和的Fredholm S-谱，研究了两个元素的和的Fredholm S-谱.接下来，我们证明了这个谱上的一个扰动结果。我们还研究了边界S-谱。作为应用，我们研究了有界右四元数线性算子的Fredholm和Weyl S-谱.

局部紧群上算子的本质谱和Fredholm性质

Essential Spectrum and Fredholm Properties for Operators on Locally Compact Groups

本文研究了（可能是非交换的）局部紧群G上的积分算子和伪微分算子的本质谱和Fredholm性质.这些技巧涉及交叉积C*-代数。我们扩展以前的结果的结构的本质谱运营商属于（或附属）薛定谔表示的某些交叉产品。当群G是幺模I型群时，我们覆盖了一类新的伪微分微分算子，其算子值符号涉及G的酉对偶。我们使用最近的结果家庭的代表在谱理论和准正规动力系统的概念的作用。

关于与谱投影对有关的弗雷德霍姆行列式的一个积分公式

On an integral formula for Fredholm determinants related to pairs of spectral projections

本文考虑弗雷德霍姆行列式的形式单位减积对应的谱投影的孤立部分的一对自伴算子的频谱。我们展示了一个身份有关的决定因素，在一个秩一扰动的情况下的谱移函数的积分。更准确地说，我们证明了$$ -\ln \left(\det \big(\mathbf{1} -\mathbf{1} _{I}(A) \mathbf{1}_{\mathbb R\backslash I}(B)\mathbf{1}_{I}(A)\big) \right) = \int_I \text{d} x \int_{\mathbb R\backslash I} \text{d} y\, \frac{ξ(x)ξ(y)}{(y-x)^2}, $$，其中$\mathbf{1}_J (\cdot)$表示的谱投影的自伴算子的集合$J\in \text{Borel}(\mathbb R)$。算子$A$和$B$是自伴的，从下有界的，并且通过秩一扰动而不同，并且$ξ$表示相应的谱移函数。集合$I$是实数线上的区间的并集，使得其边界位于$A$和$B$的预解式集合中，并且使得谱移函数在那里消失，即$I$包含$A$和$B$的谱的孤立部分。我们将这个公式应用到子空间扰动问题。

关于非Fredholm模型算子的指数

On the Index of a Non-Fredholm Model Operator

设$\{A(t)\}_{t \in \mathbb{R}}$是Hilbert空间$\mathcal{H}$中自伴Fredholm算子的一条路，将端点$A_\pm$连接为$t \to \pm \infty$。计算在$L^2(\mathbb{R}; \mathcal{H})$中起作用的算子$D_A= (d/d t) + A$的指数，其中$A = \int_{\mathbb{R}}^{\oplus} dt \, A(t)$及其与沿该路径的谱流的关系具有很长的历史。虽然后者的大部分集中在$A(t)$都有纯粹的离散谱的情况下，我们现在特别研究允许基本谱的情况。引入$H_1={D_A}^* D_A$和$H_2=D_A {D_A}^*$，我们考虑与$(A_+, A_-)$和$(H_2,H_1)$对相关的谱移函数$ξ(\, \cdot \,; A_+, A_-)$和$ξ(\, \cdot \, ; H_2, H_1)$。假设$A_+$是$A_-$的相对迹类扰动，而$A_{\pm}$是Fredholm，[14]中示出的值$ξ(0; A_-, A_+)$表示沿路径$\{A(t)\}_{t\in \mathbb{R}}$的谱流，而$ξ(0_+; H_1,H_2)$的值产生$D_A$的Fredholm指数。事实上，在[14]中证明，这两个谱函数的值是相等的，解决了在这种情况下的指数=谱流问题。当路径$\{…

约斯特与派斯主题变奏曲

Variations on a Theme of Jost and Pais

我们探讨了在何种程度上的一个著名的公式，由于约斯特和派斯，减少了Fredholm扰动行列式与薛定谔算子的半线上的一个简单的Wronski行列式的适当的分配解决方案的基本薛定谔方程，推广到更高的维度。在这个多维扩展中，半线被开集$Ω\subset\bbR^n$，$n\in\bbN$，$n\geq 2$所取代，其中$Ω$具有满足一定正则性条件的紧致非空边界$\partialΩ$。我们的变体涉及的扰动行列式的比例对应于Dirichlet和诺伊曼边界条件$\partialΩ$，并调用相应的Dirichlet-诺伊曼映射。其结果是，我们成功地减少了一定比例的修改Fredholm扰动行列式与运营商在$L^2(Ω; d^n x)$，$n\in\bbN$，修改弗雷德霍姆行列式与运营商在$L^2(\partialΩ; d^{n-1}σ)$，$n\geq 2$。Birman-Schwinger原理和本征值计数函数的应用进行了讨论。

对称化扰动行列式及其在边界数据映射和Krein型预解式中的应用

Symmetrized Perturbation Determinants and Applications to Boundary Data Maps and Krein-Type Resolvent Formulas

本文的目的是双重的：一方面，我们讨论了对称化Fredholm扰动行列式的一种抽象方法和一对正型算子的迹公式，推广了经典的迹公式。另一方面，我们继续最近的系统研究边界数据映射，即2 \times 2矩阵值Dirichlet-to-Neumann映射，更一般地，Robin-to-Robin映射，与紧致区间[0，R]上的一维Schr？dinger算子相关联，在0和R处具有分离的边界条件。本文的主要新结果之一减少了适当对称化（Fredholm）扰动行列式的2 \times 2行列式的基础边界数据地图。此外，作为本文第一部分抽象方法的具体应用，我们建立了自伴Schr dinger算子对应于不同（分离）边界条件的预解式差的迹公式.

相对迹族扰动的指数公式和谱移函数

The index formula and the spectral shift function for relatively trace class perturbations

我们在与算子路径$\{A(t)\}_{t=-\infty}^{\infty}$相关联的$L^2(\mathbb{R};\mathcal{H})$上计算算子$D_A = (d/dt) + A$的Fredholm指数${\rm ind}(D_A)$，其中$(A f)(t) = A(t) f(t)$对于a.e. $t\in\mathbb{R}$，和适当的$f \in L^2(\mathbb{R};\mathcal{H})$，通过谱移函数$ξ(\, \cdot \,;A_+,A_-)$与可分复希尔伯特空间$\mathcal{H}$上的渐近算子$A_{\pm}=A(\pm\infty)$对$(A_+, A_-)$相关联，在$A(t)$通常是无界自伴算子$A_-$的无界（相对迹族）扰动的情况下。我们推导出一个公式（由于Pushnitski公式的扩展）有关的频谱移位函数$ξ(\, \cdot \,;A_+,A_-)$对$(A_+, A_-)$，和相应的频谱移位函数$ξ(\, \cdot \,;H_2,H_1)$对运营商$(H_2,H_1)=(D_A {D_A}^*, {D_A}^* D_A)$在这个相对的迹族的背景下。然后，使用该公式来确定$D_A$与$ξ(0;A_+,A_-)$的Fredholm指数。此外，我们证明了${\rm ind}(D_A)$符合频谱流SpFlow $(\{A(t)\}_…

谱移函数与Witten指数

The Spectral shift function and the Witten index

本文综述了自伴算子谱移函数的概念及其与Witten指标关系的研究进展。我们还描述了Krein迹定理的证明，该定理不使用复分析[53]，并将其扩展到一般$σ$ -II型有限冯诺依曼代数$\mathcal{M}$和来自$\mathcal{M}$的前对偶的无界扰动。我们还讨论了某些模型算子的谱移函数理论和指数理论之间的联系。我们首先介绍Witten指数的各种定义（Fredholm指数概念对非Fredholm算子的扩展）。然后我们研究了$L^2(\mathbb{R};\mathcal{H})$中与算子路径$\{A(t)\}_{t=-\infty}^{\infty}$相关联的模型算子$D_{A^{}} = (d/dt) + A$，其中$(A f)(t) = A(t) f(t)$对于a.e. $t\in\mathbb{R}$和适当的$f \in L^2(\mathbb{R};\mathcal{H})$。该设置允许操作家庭$A(t)$上的$\mathcal{H}$是一个无界的自伴操作$A_-$的无界相对迹类扰动，并没有离散谱假设的渐近线$A_{\pm}$。当$A_{\pm}$是有界可逆的时，证明了$D_{A^{}}$是Fredholm，其指数可计算为$ξ(0; A_+, A_-)$ .当$0\inσ(A_+)$（或$0\inσ(A_-)$）时，运算符$D_{A^{}}$不再是Fredholm。然…

在扭曲的Hilbert尺度上应用Fredholm理论：一种框架理论方法用于半整数傅里叶模式

Fredholm Theory on Twisted Hilbert Scales: A Frame-Theoretic Approach to Half-Integer Fourier Modes

本文通过框架理论方法，在扭曲的Hilbert尺度上构建了一个具有半整数傅里叶模式的Fredholm算子，并证明其在相邻尺度层级间具有零索引的Fredholm映射。

半格上向量值 Jacobi 算子的共振

Resonances for vector-valued Jacobi operators on half-lattice

本文研究半格上矩阵值有限支撑 Jacobi 算子的共振，刻画禁区、共振几何及小扰动渐近，并证明共振点列任意性、行列式关系及逆谱唯一性。

非自伴算子、无穷行列式及其应用

Non-self-adjoint operators, infinite determinants, and some applications

我们研究了非自伴算子的各种谱理论。具体来说，我们考虑一类可因式分解的非自伴扰动的一个给定的未扰动的非自伴算子和提供了一个深入的研究的变体的Birman-Schwinger原则以及本地和全球的Weinstein-Aronszajn公式。我们的应用包括适当的对称化（修改）的薛定谔算子的微扰行列式在维度n= 1，2，3和它们的连接Krein的光谱位移函数在二维和三维散射理论的研究。此外，我们研究了一个适当的多维模拟著名的公式由Jost和派斯，确定Jost功能与合适的Fredholm（扰动）的决定因素，从而减少了后者简单的Wronski决定因素。

比较原理与谱流的唯一性

On a Comparison Principle and the Uniqueness of Spectral Flow

谱流是谱理论中的一个著名量，它度量了$0$的谱沿自伴弗雷德霍姆算子路径的变化。这项工作的目的是双重的。首先，我们考虑谱流的同伦不变性，建立了一个简单的公式，它包含了它的经典同伦不变性，并给出了紧扰动下谱流的比较定理。我们将所得结果应用于哈密顿系统的边值问题的非平凡解的存在性。其次，Lesch，Ciriza，Fitzpatrick和Pejsachowicz在假设自伴弗雷德霍姆算子的路径的端点是可逆的条件下公理化地刻画了谱流。我们提出了一种不同的方法来解决谱流的唯一性，它解除了这个额外的假设。作为后一个结果的应用，我们讨论了辛希尔伯特空间中谱流与Maslov指标之间的关系。

关于拟周期Schroedinger算子的扰动

On Perturbations of Quasiperiodic Schroedinger Operators

利用相对振动理论和Eliasson的约化结果，研究了拟周期Schroedinger算子的扰动.特别地，我们得到了临界势的相对振动准则和本征值渐近性。

准周期扰动下量子谐振子Floquet哈密顿量的纯点谱

Pure Point Spectrum of the Floquet Hamiltonian for the Quantum Harmonic Oscillator Under Time Quasi- Periodic Perturbations

我们证明了$1-d$量子谐振子在空间定域、时间准周期扰动下对正测度丢番图频率是稳定的。这证明了Enss-Veselic在他们1983年的论文\cite{EV}中提出的一个猜想。本文的动机也来自于相应的非线性方程的拟周期解的构造。

Stability of Spectral Types of Quasi-Periodic Schrödinger Operators With Respect to Perturbations by Decaying Potentials

We consider perturbations of quasi-periodic Schrödinger operators on the integer lattice with analytic sampling functions by decaying potentials and seek decay conditions under which various spectral properties are preserved. In the (almost) reducibility regime we prove that for perturbations with finite first moment, the essential spectrum remains purely absolutely continuous and the newly created discrete spectrum must be finite in each gap of the unperturbed spectrum. We also prove that for fixed phase, Anderson localization occurring for almost all frequencies in the regime of positive Lya…