含Bessel函数的新的eigenvalue估计
New eigenvalue estimates involving Bessel functions
摘要：
给定一个具有边界$\partial$ M的紧致黎曼流形（Mn，g），我们给出了商$\partial$ M f d $μ$ g M f d $μ$ g的一个估计，其中f是定义在M上的一个光滑正函数，满足一些涉及标量拉普拉斯算子的不等式.利用文献[37]中建立的均值引理，我们给出了f的一个微分不等式，在某些曲率假设下，该不等式可以用Bessel函数来解释。作为主要结果的应用，给出了Dirichlet和Robin Laplacian的Faber-Krahn不等式的一个直接证明.此外，还建立了一个新的估计的Dirac算子的特征值，它涉及一个积极的根的贝塞尔函数除了数量曲率。独立地，我们将函数上的Robin Laplacian扩展到微分形式。我们证明了这个自然扩张定义了一个自伴椭圆算子，其谱是离散的，由正实特征值组成。特别地，我们刻画了它的第一特征值，并给出了它的一个用贝塞尔函数表示的下界。
英文摘要：
Given a compact Riemannian manifold (M n , g) with boundary $\partial$M , we give an estimate for the quotient $\partial$M f d$μ$ g M f d$μ$ g , where f is a smooth positive function defined on M that satisfies some inequality involving the scalar Laplacian. By the mean value lemma established in [37], we provide a differential inequality for f which, under some curvature assumptions, can be interpreted in terms of Bessel functions. As an application of our main result, a direct proof is given of the Faber-Krahn inequalities for Dirichlet and Robin Laplacian. Also, a new estimate is established for the eigenvalues of the Dirac operator that involves a positive root of Bessel function besides the scalar curvature. Independently, we extend the Robin Laplacian on functions to differential forms. We prove that this natural extension defines a self-adjoint and elliptic operator whose spectrum is discrete and consists of positive real eigenvalues. In particular, we characterize its first eigenvalue and provide a lower bound of it in terms of Bessel functions.
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