仿射群子群的量子化
Quantization of subgroups of the affine group
AI总结：
本文针对局部紧群 G=Q⋉V（V 交换且 Q 在 V 的对偶上有全测度自由轨道），提出三种等价的量子化方法，并证明在 ax+b 群情形下 Baaj-Skandalis 与 Stachura 的量子群同构，且发现单位上同调类可对应非平凡伽罗瓦对象。
摘要：
考虑一个局部紧群 $G=Q\ltimes V$，其中 $V$ 是交换的，且 $Q$ 在对偶交换群 $\hat V$ 上的作用具有一个全测度的自由轨道。我们证明这样的群 $G$ 可以通过三种等价的方式进行量子化：（1）通过由 $G$ 在 $L^2(V)$ 上的典范不可约表示所定义的伽罗瓦对象进行反射；（2）通过将由 $G$-等变 Kohn-Nirenberg 量子化 $V\times\hat V$ 得到的对偶 $2$-上循环扭转群 $G$ 的群冯诺依曼代数上的余积；（3）通过考虑由 $Q\ltimes\hat V$ 的一对匹配子群（两者都同构于 $Q$）所定义的双交叉积。在实数上的 $ax+b$ 群这一最简单情形中，（2）中的对偶上循环是约旦扭结的解析类比。它最初由 Stachura 用不同的思想发现。在此情形下方法（2）和（3）的等价性意味着 Baaj-Skandalis 的量子 $ax+b$ 群同构于 Stachura 定义的量子群。在此过程中，我们证明了任意局部紧群 $G$ 的若干结果。利用 De Commer 的最新结果，我们证明了一类 $G$-伽罗瓦对象由 $H^2(G;\mathbb T)$ 中的某些上同调类参数化。这推广了 Wassermann 和 Davydov 在有限群情形下的结果。一个新现象是，$H^2(G;\mathbb T)$ 中的单位类已经可以对应一个非平凡的伽罗瓦对象。具体来说，我们证明任何非平凡的局部紧群 $G$，若其群冯诺依曼代数是 I 型因子，则它承认一个典范的对偶 $2$-上循环上同调类，使得 $G$ 的相应量子化既非交换也非余交换。
英文摘要：
Consider a locally compact group $G=Q\ltimes V$ such that $V$ is abelian and the action of $Q$ on the dual abelian group $\hat V$ has a free orbit of full measure. We show that such a group $G$ can be quantized in three equivalent ways: (1) by reflecting across the Galois object defined by the canonical irreducible representation of $G$ on $L^2(V)$; (2) by twisting the coproduct on the group von Neumann algebra of $G$ by a dual $2$-cocycle obtained from the $G$-equivariant Kohn-Nirenberg quantization of $V\times\hat V$; (3) by considering the bicrossed product defined by a matched pair of subgroups of $Q\ltimes\hat V$ both isomorphic to $Q$. In the simplest case of the $ax+b$ group over the reals, the dual cocycle in (2) is an analytic analogue of the Jordanian twist. It was first found by Stachura using different ideas. The equivalence of approaches (2) and (3) in this case implies that the quantum $ax+b$ group of Baaj-Skandalis is isomorphic to the quantum group defined by Stachura. Along the way we prove a number of results for arbitrary locally compact groups $G$. Using recent results of De Commer we show that a class of $G$-Galois objects is parametrized by certain cohomology classes in $H^2(G;\mathbb T)$. This extends results of Wassermann and Davydov in the finite group case. A new phenomenon is that already the unit class in $H^2(G;\mathbb T)$ can correspond to a nontrivial Galois object. Specifically, we show that any nontrivial locally compact group $G$ with group von Neumann algebra a factor of type I admits a canonical cohomology class of dual $2$-cocycles such that the corresponding quantization of $G$ is neither commutative nor cocommutative.
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