Lieb凹定理的推广
Generality of Lieb's Concavity Theorem
摘要：
我们表明，Lieb的定理持有更普遍的任何酉不变矩阵函数$ϕ:\mathbf{H}^n_+\rightarrow \mathbb{R}$是单调和凹的。具体地说，我们证明了函数$(A,B) \mapstoϕ\big[(B^\frac{qs}{2}K^*A^{ps}KB^\frac{qs}{2})^{\frac{1}{s}}\big] $在$\mathbf{H}_+^m\times\mathbf{H}_+^n$上的联合映射，对任何$K\in \mathbb{C}^{m\times n},s\in(0,1],p,q\in[0,1], p+q\leq 1$。
英文摘要：
We show that Lieb's concavity theorem holds more generally for any unitarily invariant matrix function $ϕ:\mathbf{H}^n_+\rightarrow \mathbb{R}$ that is monotone and concave. Concretely, we prove the joint concavity of the function $(A,B) \mapstoϕ\big[(B^\frac{qs}{2}K^*A^{ps}KB^\frac{qs}{2})^{\frac{1}{s}}\big] $ on $\mathbf{H}_+^m\times\mathbf{H}_+^n$, for any $K\in \mathbb{C}^{m\times n},s\in(0,1],p,q\in[0,1], p+q\leq 1$.
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