球面几何在超凯勒切片中的一个应用
An application of spherical geometry to hyperkähler slices
AI总结：
本文用球面几何刻画 Bielawski 超凯勒切片的非空性，证明其等价于 $(G,H)$ 的 $\mathfrak{a}$-正则性，并给出约化球面子群的分类。
摘要：
本文关注齐次仿射簇的余切丛中 Bielawski 超凯勒切片。可将此类切片与复半单李群 $G$、约化子群 $H\subseteq G$ 及 Slodowy 切片 $S\subseteq\mathfrak{g}:=\mathrm{Lie}(G)$ 的数据相关联，将其定义为 $T^*(G/H)\times (G\times S)$ 关于 $G$ 的极大紧子群的超凯勒商。在最基本的一些情形中（例如当 $S$ 为正则且 $(G,H)=(\operatorname{SL}_{n+1},\operatorname{GL}_{n})$，$n\geq 3$ 时），该超凯勒切片为空，这促使我们寻求非空性的充分必要条件。我们给出了当 $S=S_{\text{reg}}$ 为正则 Slodowy 切片时所产生的非空超凯勒切片的球面几何刻画，证明了非空性等价于 $(G,H)$ 的所谓 $\mathfrak{a}$-正则性。该 $\mathfrak{a}$-正则条件以多种等价形式表述，其中之一是 $G/H$ 的秩与复杂度的具体条件。我们还提供了 $H$ 为约化球面子群时 $\mathfrak{a}$-正则对 $(G,H)$ 的分类。我们的论证本质上使用了 Knop 关于矩映射像的结果以及 Losev 计算 Cartan 空间的算法。
英文摘要：
This work is concerned with Bielawski's hyperkähler slices in the cotangent bundles of homogeneous affine varieties. One can associate such a slice to the data of a complex semisimple Lie group $G$, a reductive subgroup $H\subseteq G$, and a Slodowy slice $S\subseteq\mathfrak{g}:=\mathrm{Lie}(G)$, defining it to be the hyperkähler quotient of $T^*(G/H)\times (G\times S)$ by a maximal compact subgroup of $G$. This hyperkähler slice is empty in some of the most elementary cases (e.g. when $S$ is regular and $(G,H)=(\operatorname{SL}_{n+1},\operatorname{GL}_{n})$, $n\geq 3$), prompting us to seek necessary and sufficient conditions for non-emptiness. We give a spherical-geometric characterization of the non-empty hyperkähler slices that arise when $S=S_{\text{reg}}$ is a regular Slodowy slice, proving that non-emptiness is equivalent to the so-called $\mathfrak{a}$-regularity of $(G,H)$. This $\mathfrak{a}$-regularity condition is formulated in several equivalent ways, one being a concrete condition on the rank and complexity of $G/H$. We also provide a classification of the $\mathfrak{a}$-regular pairs $(G,H)$ in which $H$ is a reductive spherical subgroup. Our arguments make essential use of Knop's results on moment map images and Losev's algorithm for computing Cartan spaces.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
