On Asymptotically Tight Tail Bounds for Sums of Geometric and Exponential Random Variables
Yaonan Jin, Yingkai Li, Yining Wang, Yuan Zhou
本文证明了独立几何分布或指数分布随机变量和的上、下概率尾的界。我们还证明了否定的结果表明，我们建立的尾界是渐近紧的。
In this note we prove bounds on the upper and lower probability tails of sums of independent geometric or exponentially distributed random variables. We also prove negative results showing that our established tail bounds are asymptotically tight.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
On the supremum of the tails of normalized sums of independent Rademacher random variables
证明了一个著名的关于独立Rademacher随机变量正规化和尾的上确界的猜想是错误的。一个相关的猜想，最近也反驳，进行了讨论。
Modification of Moment-Based Tail Index Estimator: Sums versus Maxima
本文继续研究了$γ>1/2$的极值指标$γ$（或尾指标$α=1/γ$）的SRCEN估计，该估计是在\cite{MCE}中提出的.我们提出了一个新的估计的基础上的局部极大值。事实上，这是SRCEN估计器对$γ>0$情况的修改。我们建立了新提出的独立同分布估计的相合性和渐近正态性。数据此外，还包括对估计量的比较的简短讨论。
Weighted maxima and sums of non-stationary random length sequences in heavy-tailed models
规则变化随机变量的加权非平稳随机长度序列的和和最大值可能具有相同的尾部和极值指数，Markovich和Rodionov（2020）。其主要约束条件是：最小尾指数级数格式中存在唯一级数，尾项数小于尾项数，权系数为正常数.这些假设在这里被改变：一个有界的随机数的系列被允许有最小的尾部索引，尾部的项数可以比尾部的项重，并且权重可以是实值的。在新的假设下，我们得到了加权非平稳随机长度序列的尾指数和极值指数。
Tail sums of Wishart and GUE eigenvalues beyond the bulk edge
考虑大小为$N$的经典高斯酉系综和实数Wishart系综$W_N(n,I)$。在极限为$N \to \infty$和$N/n \to γ> 0$的情况下，离开上块体边缘的本征值的期望数目小于1，分别为0.031和0.170，后一数目与$γ$无关。这些陈述的后果的定量界的尾和的特征值以外的散装建立在这里的应用程序在高维协方差阵估计。
Exact exponential tail estimation for sums of independent centered random variables, under natural norming, with applications to the theory of U-statistics
本文利用 GLS 理论推导自然规范化独立中心化随机变量之和的精确指数尾部，并给出 U 统计量中的精细尾部估计。
Tail bounds for empirically standardized sums
和的指数尾界在统计学中起着重要的作用，但$t$ -统计量的例子表明，当需要从数据中估计总体参数时，指数尾衰减可能会丢失。然而，事实证明，如果学生化伴随着以适当的方式估计位置参数，则$t$统计量恢复指数尾部行为。受这个例子的启发，本文分析了经验标准化求和的其他方法，并为以下设置建立了亚高斯或更接近正常的尾部边界：正态观测的标准化与学生化对比，指数族观测的标准化与对数似然比统计量，以及对于来自具有未知对称中心的对称分布的观测值，通过自归一化进行标准化。后者的标准化产生了一种新的扫描统计异方差数据的渐近功率分析的情况下，观察有一个对数凹分布。
Concentration and moment inequalities for sums of independent heavy-tailed random matrices
本文针对仅存在低阶有限矩的独立重尾随机矩阵和，证明了依赖有效秩等内在维度的Fuk-Nagaev型与Rosenthal型不等式，并通过多个应用验证了结果优势。
Extremes of Sums and Maxima with Application to Random Networks
规则变化随机变量的非平稳随机长度序列的和和最大值可能具有相同的尾部和极值指数，Markovich和Rodionov（2020）。其主要约束条件是，在具有最小尾指数的级数格式中存在唯一的级数。结果现在被修改，允许一个随机有界的系列数量有最小的尾部指数。这一新的结果被应用到随机网络。
Limit theorems for long memory stochastic volatility models with infinite variance: Partial Sums and Sample Covariances
长记忆随机波动率（LMSV）模型捕捉了金融数据的两个标准化特征：对数收益率是不相关的，但它们的平方或绝对值是（高度）相关的，并且它们可能具有厚尾。引入了EGESTAR和相关模型来模拟杠杆，即以前的回报与未来波动之间的负相关性。部分和、样本方差和样本协方差的极限定理是研究长记忆和重尾现象及其后果的基本工具。本文推广了已有文献中关于无穷方差情形下长记忆随机波动率模型部分和与样本协方差的渐近性态。我们还考虑了具有杠杆的模型，我们的结果在无限方差的情况下是全新的。根据尾部行为和依赖强度之间的相互作用，可以出现两种类型的收敛速率和极限分布。特别是，我们表明，部分和的渐近行为是相同的LMSV和杠杆模型，而有一个至关重要的区别时，样本协方差被认为是。
Asymptotic distributions for weighted power sums of extreme values
设$X_{1,n}\le\cdots\le X_{n,n}$是$n$独立随机变量的顺序统计量，其公共分布函数$F$具有右重尾，尾指数为$γ$。给定已知常数$d_{i,n}$、$1\le i\le n$，考虑加权功率和$\sum^{k_n}_{i=1}d_{n+1-i,n}\log^pX_{n+1-i,n}$，其中$p>0$和$k_n$是正整数，使得$k_n\to\infty$和$k_n/n\to0$为$n\to\infty$。在对权重$d_{i,n}$的某些约束下，我们证明了整个重尾模型上幂和的渐近正态性。我们应用所得到的结果构造一类新的估计参数$γ$。
High-Frequency Tail Index Estimation by Nearly Tight Frames
本文研究了高斯和各向同性球面随机场谱参数的近似极大似然估计在高频极限下的渐近性质（弱一致性和高斯性）。我们使用的程序利用了Geller和Mayeli在[Geller，Mayeli（2009）]中的所谓的墨西哥针构造。此外，我们提出了一个插件程序来优化精度的估计渐近方差。
An asymptotically Gaussian bound on the Rademacher tails
给出了归一化Rademacher和的尾概率的一个明确的上界。这个界在某种意义上是最好的，它渐近等价于标准正态分布的相应尾概率，从而证实了埃夫隆的一个长期猜想。应用一般中心一致有界的独立随机变量和学生测试。
Tail Behavior of Randomly Weighted Sums
设$\{X_t, t \geq 1\}$是同分布的两两渐近独立的随机变量序列，$\{ Θ_t, t\geq1 \}$是独立于序列$\{X_t, t \geq 1\}$的正随机变量序列.我们将讨论$\xinf=\sum_{t=1}^{\infty}Θ_t X_t^{+}$（其中$X^+=\max\{0,X\}$）和$\max_{1\leq k<\infty} \sum_{t=1}^{k}Θ_t X_t$的尾概率和几乎处处收敛性，并提供Denisov和Zwart（2007）提出的一些充分条件作为通常矩条件的替代。特别是，我们说明了$X_1$的尾部概率中涉及的慢变函数的条件如何有助于控制随机加权和的尾部行为。注意，上述结果允许我们选择$X_1, X_2,...$作为独立同分布的正随机变量。若$X_1$具有指数$-α$的规则变化尾，其中$α>0$，且$\{Θ_t,t\geq1\}$是与$\{X_t\}$无关的正随机变量序列，则已知，也可由上述充分条件得到，在$\{Θ_t,t\geq1\}$上的某些适当矩条件下，$\xinf=\sum_{t=1}^{\infty}Θ_t X_t$以概率1收敛且具有指数$-α$的规则变化尾。受Jacobsen等人（2009）的逆问题的启发，我们提出了这样一个问题：如果$\xinf$具有规则变化的尾部，那么在某些适当的条件下，$X_1$是否具有规则变化的尾部？我…
Universal concentration for sums under arbitrary dependence
本文提出了一种适用于任意依赖的随机变量和的通用集中界，并通过构造渐近极值耦合证明其渐近最优性，同时给出了基于凸变换顺序的实用充分条件以简化尾部特征。
Robust and efficient mean estimation: an approach based on the properties of self-normalized sums
设$X$为均值未知、方差有限的随机变量。我们提出了一个新的估计的平均值$X$，这是强大的相对于可能存在的离群值在样本中，提供了严格的次高斯偏差保证，没有任何额外的假设的形状或尾部的分布，而且是渐近有效的。这是第一个可证明地将所有这些质量组合在一个包中的估计器。我们的建设的灵感来自自归一化和所拥有的鲁棒性。理论研究结果的补充数值模拟突出了较强的性能与以前已知的技术相比，所提出的估计。
On Dimension-free Tail Inequalities for Sums of Random Matrices and Applications
本文给出了一个新的框架来获得随机矩阵和的尾不等式。与已有的工作相比，我们的尾不等式具有以下特点：1）高可行性--它们可以用来研究各种矩阵函数的尾行为，例如，任意矩阵范数，$j$最大奇异值之和的绝对值（分别为特征值）的复矩阵（分别. Hermitian矩阵）;（2）矩阵维数无关性--它们没有矩阵维数项作为乘积因子，因而适用于高维或无穷维随机矩阵的情形。我们为获得这些优点所付出的代价是，当被加数随机矩阵的数目很大时，所得不等式的收敛速度会变慢。本文还建立了矩阵随机序列和矩阵鞅差序列的尾不等式。我们还证明了有用的我们的尾部边界在几个领域。在压缩感知中，我们使用所得到的尾部不等式来实现当测量矩阵是随机矩阵的和而不对矩阵元素的分布做任何假设时的受限等距性的证明。在概率论中，我们得到了一个新的随机过程最大值的上界。在机器学习中，我们证明了随机矩阵和的新的期望界，并通过随机抽样得到了矩阵逼近方案。在量子信息中，我们给出了一个新的分析有关的分数覆盖数的量子超图。在理论计算机科学中，我们使用矩阵扩展器图获得随机有效的采样器，这些采样器可以在不依赖于矩阵维度的情况下及时有效地实现。
Efficient computation of tight approximations to Chernoff bounds
马尔可夫界是马尔可夫不等式在概率分布尾部产生强界的一个有力应用。它们通常用于约束泊松试验和的尾概率，或在回归中为此类试验的参数产生保守的置信区间。边界提供了尾部概率的表达式，可以针对给定的概率/置信度反转该表达式以提供尾部区间。反演涉及超越方程的解，并且通常方便的是替换可以精确求解的近似，例如通过二次方程。在本文中，我们介绍了近似的反可以用二次方程精确地解决，但这是更接近的近似比以前采用的Beschoff界限。
Dimension-free Bounds for Sum of Dependent Matrices and Operators with Heavy-Tailed Distribution
本文针对相依且重尾的高维随机矩阵与算子之和，推导出依赖有效秩而非维度的无维数偏差上界，利用矩母函数对偶变分近似与特征值截断技术，推广了现有研究并应用于协方差估计等问题，同时附上对原定理的勘误。
Tight Chernoff-Like Bounds Under Limited Independence
本文在平均方差有约束的条件下，给出了k个独立有界随机变量和的矩的精确界。结果关闭的问题解决的一部分，在以前的工作施密特等。和Bellare，Rompel。我们的工作也讨论讨论了其他应用的独立利益，如渐近的二项式矩的尖锐的界限。
Optimal binomial, Poisson, and normal left-tail domination for sums of nonnegative random variables
设$X_1,\dots,X_n$为独立非负随机变量（r. v.的），具有$S_n:=X_1+\dots+X_n$和$s_i:=E X_i^2$和$m_i:=E X_i>0$的有限值。在下列每一种情况下，得到了某类非增函数$\mathcal{F}$中所有函数$f$的$E f(S_n)$的精确上界：（i）$n,m_1,\dots,m_n,s_1,\dots,s_n$是固定的;（ii）$n$、$m:=m_1+\dots+m_n$和$s:=s_1+\dots+s_n$是固定的;（iii）~只有$m$和$s$是固定的.这些上界的形式$E f(η)$为某一r. v. $η$。r. v. $η$和类$\mathcal{F}$取决于三种设置之一的选择。具体地，$(m/s)η$具有在设置（ii）中具有参数$n$和$p:=m^2/(ns)$的二项分布和在设置（iii）中具有参数$λ:=m^2/s$的泊松分布。也可以让$η$在这三种设置中的任何一种下具有正态分布，其中具有平均$m$和方差$s$。在每个设置中，类$\mathcal{F}$包含所有递减指数函数的类，并且比它宽得多。作为这些结果的推论，在一定意义上的左尾概率$P(S_n\le x)$的最佳上界，任何真正的$x$。事实上，考虑了比上述设置更一般的设置。关于$h<0$的指数矩$E\exp\{hS_n\}$的精确上界，以及关于左尾概率的相应指数界，…
Dimension-free Bounds for Sums of Independent Matrices and Simple Tensors via the Variational Principle
研究了独立$d$与$d$随机矩阵之和的偏差不等式，以及秩为1的随机张量的偏差不等式.我们的重点是在非各向同性的情况下，并不明确地依赖于尺寸$d$的界限，而是对有效的秩。本文以初等而统一的方式证明了以下结果：1）独立半正定矩阵和的偏差界。该结果补充了Koltchinskii和Lounici [Bernoulli，2017]在亚高斯情况下对样本协方差阵的无量纲界。2)截断协方差阵的一个新的界，用于证明Adamczak，Litvak，Pajor和Tomczak-Jaegermann [Journal Of Amer. Math. Soc.，2010]在对数凹情况下的样本协方差阵上。3)由次高斯或对数凹随机向量构成的秩为1的随机张量和的算子范数的无扰动界。这补充了Guédon和Rudelson [Adv. in Math.，2007年]。4)Alesker结果的非各向同性版本[Geom. Asp.的Funct。肛门，1995]关于次指数随机向量范数的偏差。5)本文给出了重尾项半正定矩阵和的无量纲尾下界，改进了Oliveira [Prob. Th.和Rel。Fields，2016]。我们的方法是基于熵和矩母函数之间的对偶公式。与已知的无量纲界限的证明，我们避免了Talagrand的优化措施定理，以及经验过程的通用链接界限。我们的一些工具是由O。Catoni和合著者在稳健统计估计的背景下。
Sharp Concentration Results for Heavy-Tailed Distributions
我们得到了重尾分布下独立同分布随机变量和的集中性和大偏差。我们的浓度结果涉及的随机变量的分布满足$\mathbb{P}(X>t) \leq {\rm e}^{- I(t)}$，其中$I: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$是一个增函数和$I(t)/t \rightarrow α\in [0, \infty)$作为$t \rightarrow \infty$。我们的主要定理不仅可以恢复一些已有的结果，如subWeibull随机变量和的集中性，而且对于具有较重尾部的随机变量和也可以产生新的结果。我们表明，我们得到的浓度不等式是足够尖锐的独立随机变量的总和，以及提供大偏差的结果。我们的分析是基于标准的截断参数简化，统一和推广现有的结果的集中和大偏差的重尾随机变量。
Optimal Learning via the Fourier Transform for Sums of Independent Integer Random Variables
研究了独立整数随机变量和的结构和可学习性。对于$k \in \mathbb{Z}_{+}$，阶数为$n \in \mathbb{Z}_{+}$的$k$是各自在$\{0, 1, \dots, k-1\}$上支持的$n$独立随机变量之和的概率分布.我们用${\cal S}_{n,k}$表示所有$n$阶的$k$ -SIIRV的集合。在本文中，我们严格的样本和计算复杂性的学习$k$ -SIIRV的特点。更准确地说，我们设计了一个计算效率高的算法，使用$\widetilde{O}(k/ε^2)$样本，并学习一个任意的$k$ -SIIRV内的错误$ε,$的总变化距离。此外，我们证明了这个学习问题的{ \em最优}样本复杂度是$Θ((k/ε^2)\sqrt{\log(1/ε)}).$。我们的算法通过学习目标$k$ -SIIRV的傅立叶变换来进行。它的正确性依赖于$k$ -SIIRV的傅立叶变换的{ \em近似稀疏性}-我们建立的结构性质，大致说明$k$ -SIIRV的傅立叶变换在小集合之外具有小幅度。一路上，我们证明了几个新的结构结果有关$k$ -SIIRV。作为我们的主要结构贡献之一，我们给出了一个有效的算法来构造${\cal S}_{n,k},$在全变差距离上的稀疏{ \em proper} $ε$ -覆盖。我们还得到了$k$ -SIIRV空间的一个新的几何特征。我们的特征使我们能够证明一个…
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