Some identities between basic hypergeometric series deriving from a new Bailey-type transformation
James Mc Laughlin, Peter Zimmer
我们证明了一个新的Bailey型变换的WP-Bailey对。然后利用这个变换导出了基本超几何级数之间的一些新的3项和4项变换公式。
We prove a new Bailey-type transformation relating WP-Bailey pairs. We then use this transformation to derive a number of new 3- and 4-term transformation formulae between basic hypergeometric series.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Some Implications of the WP-Bailey Tree
我们考虑George Andrews的WP-Bailey链的一个特例，并利用它导出了基本超几何级数的一些奇异变换.我们还导出了两个新的WP-Bailey对，并利用它们导出了基本超几何级数的一些新的变换。最后，我们简要地考虑了WP-Bailey对\\ $(α_n(a,k)$，$β_n(a,k))$，其中$α_n(a,k)$是独立的$k$，Rogers-Ramanujan型恒等式的推广的影响。
Hypergeometric heritage of W.N. Bailey. With an appendix: Bailey's letters to F. Dyson
我们回顾了一些W. N。贝利的工作超几何函数，发现坚实的应用在数论。文本是补充贝利的信件弗里曼戴森从20世纪40年代。
Some Applications of a Bailey-type Transformation
如果在WP贝利对的定义中将$k$设置为等于$a q$，则\[ β_{n}(a,k) = \sum_{j=0}^{n} \frac{(k/a)_{n-j}(k)_{n+j}}{(q)_{n-j}(aq)_{n+j}}α_{j}(a,k), \]，该等式简化为$β_{n}=\sum_{j=0}^{n}α_{j}$。这个连接$α_n$与$β_n$的看似微不足道的关系有一些有趣的结果，包括几个基本的超几何求和公式，与Prouhet-Tarry-Escott问题的联系，Rogers-Ramanujan-Slater型的一些新恒等式，作为基本超几何级数的假θ级数的一些新表达式，以及多元超几何级数的新变换公式。
Bailey pairs, radial limits of $q$-hypergeometric false theta functions, and a conjecture of Hikami
该研究利用Bailey对证明了Hikami关于一类$q$-超几何伪theta函数径向极限可由级数截断版本计算的完整猜想，并展示Bailey对框架可推导更多同类结果。
A general double sum identity, mock theta functions, and Bailey pairs
我们得到了与$β_n$连接到有限和的不定二次型有关的Bailey对。给出了一个新的一般恒等式，它为$q$ -超几何级数提供了恒等式，包括模拟θ函数.
Some Smallest Parts Functions from Variations of Bailey's Lemma
利用Bailey引理的变形和共轭Bailey对构造了新的最小部分拆函数和最小部Crank函数。我们引入的函数满足模$3$和$5$的简单一次同余方程。我们引入并给出了两个四变量$q$ -超几何函数的恒等式;这些函数专门用于我们的一些新的spt曲柄型函数以及许多已知的spt曲柄型函数。
General WP-Bailey Chains
受Liu和Ma最近的一篇论文的启发，我们描述了一些一般的WP-Bailey链。我们表明，许多现有的WP-贝利链（或分支的WP-贝利树），包括链发现安德鲁斯，Warnaar和刘和马，出现这些一般的WP-贝利链的特殊情况。我们展示了三个新的分支的WP-贝利树，分支也遵循这些一般的WP-贝利链的特殊情况。最后，我们描述了一些新的基本超几何级数的转换公式，这些新的WP-贝利链的后果。
Lifting Bailey Pairs to WP-Bailey Pairs
一对序列$(α_{n}(a,k,q),β_{n}(a,k,q))$，使得$α_0(a,k,q)=1$和\[ β_{n}(a,k,q) = \sum_{j=0}^{n} \frac{(k/a; q)_{n-j}(k; q)_{n+j}}{(q;q)_{n-j}(aq;q)_{n+j}}α_{j}(a,k,q) \]被称为\emph{WP-Bailey Pair}。在这样一对中设置$k=0$后，我们得到一个\emph{Bailey pair}。本文考虑将Bailey对“提升”为WP-Bailey对的问题，并利用由此得到的一些新的WP-Bailey对导出了基本超几何级数与新的Rogers-Ramanujan-Slater型单和与双和恒等式之间的一些新恒等式.
A New Summation Formula for WP-Bailey Pairs
设$(α_n(a,k),β_n(a,k))$是WP-Bailey对。假设极限存在，设\[ (α_n^*(a),β_n^*(a))_{n\geq 1} = \lim_{k \to 1}\left(α_n(a,k),\frac{β_n(a,k)}{1-k}\right)_{n\geq 1} \]为\emph{derived} WP-Bailey对。通过考虑一个特殊的限制情况下的变换由于乔治安德鲁斯，我们得到新的基本超几何求和和变换公式，涉及派生WP贝利对。然后，我们使用这些公式推导出新的身份为各种θ系列/产品是可表达的某些类型的兰伯特系列。
Some implications of Chu's $_{10}ψ_{10}$ extension of Bailey's $_{6}ψ_{6}$ summation formula
露西·斯莱特用贝利的$_6ψ_6$求和公式推导出贝利对，她用它来构造她著名的罗杰斯-拉马努金类型的130个恒等式。在本文中，我们将同样的技术，朱的$_{10}ψ_{10}$推广的贝利公式产生相当一般的贝利对。斯莱特的贝利对，然后恢复这些更一般的对的特殊限制情况。在重新审视斯莱特的工作，我们发现，她的贝利对，在大多数情况下，特殊情况下，更一般的贝利对包含一个或多个自由参数。此外，我们还发现新的一般贝利对（包含一个或多个自由参数），这也暗示了$_6ψ_6$求和公式。斯莱特使用雅可比三重产品身份（有时再加上五重产品身份），以获得她的无穷乘积。这里我们也使用其他的求和公式（包括$_6ψ_6$求和公式和Jackson的$_6ϕ_5$求和公式的特殊情况）来导出我们的一些无穷乘积。我们使用新的Bailey对，和/或上述求和方法，由于Ramanujan，Andrews和其他人，给出一些一般的级数积恒等式的新证明。我们还得到了一个新的一般系列产品的身份，一个可以被视为合作伙伴之一的拉马努金身份。我们还发现了新的基本超几何级数之间的变换公式、新的Rogers-Ramanujan型恒等式和新的假θ级数恒等式。后者中的一些是一种“混合”，在该身份的一边组成一个基本的超几何级数，而另一边是由一个theta产品乘以一个假theta级数。这种身份似乎是新的。
The Bailey chain and mock theta functions
Bailey链的标准应用程序保留了混合模拟模块性，但不保留模拟模块性。在用一些例子说明这一点之后，我们展示了如何使用由于Bressoud，Ismail和Stanton的Bailey对中基变换来显式地构造q-超几何多重和族，这些多重和族是模拟θ函数。我们还证明了一些涉及这些多和和某些经典的模拟θ函数的身份。
Multilateral basic hypergeometric summation identities and hyperoctahedral group symmetries
利用级数的对称性给出了某些双边基本超几何求和公式的新证明。特别地，作为一个应用，我们给出了Bailey的$_3ψ_3$求和公式的一个证明.我们还证明了一个多重级数模拟这个身份考虑超八面体群对称性的更高的排名。
Duality relations for hypergeometric series
我们明确地给出了一般超几何方程的超几何解与它们的解之间的关系，以及q-超几何方程的类似关系。它们构成了超几何级数的一族非常一般的恒等式。虽然它们已经被N. M.贝利在20世纪30年代的分析理由，我们给出了一个纯粹的代数治疗的基础上一般原则，一般微分和差分模块。
The Bailey transform and Hecke-Rogers identities for the universal mock theta functions
最近Garvan利用基本超几何函数得到了三个泛拟θ函数$g_2(z;q),\,g_3(z;q),\,K(z;q)$的二元Hecke-Rogers恒等式，并提出了利用Bailey对技术直接证明这些恒等式的问题.本文利用Warnaar的共轭Bailey对和Slater给出的$_6ψ_6$的两种特殊情况导出的三个Bailey对，应用Bailey变换给出Garvan恒等式的证明.特别地，我们得到了与$g_3(z;q)$有关的二元Hecke-Rogers恒等式的一个紧致形式，它包含了Garvan给出的相应恒等式.我们还将这些二元Hecke-Rogers恒等式推广到无限族中。
q-hypergeometric double sums as mock theta functions
最近，Bringmann和Kane建立了两个新的Bailey对，并利用它们将某些q-超几何级数与实二次域联系起来.我们展示了这些对如何产生新的模拟θ函数的形式的q-超几何双和。此外，我们证明了这些款项和两个经典的模拟θ函数介绍戈登和麦金托什之间的一个身份。
Mock Theta Function Identities Deriving from Bilateral Basic Hypergeometric Series
对应于许多三阶、五阶、六阶和八阶模拟θ函数的双边级数可以作为$_2ψ_2$级数\[ \sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{(a,c;q)_n}{(b,d;q)_n}z^n. \]的特殊情况导出。利用Bailey给出的该级数的三个变换公式导出了这些模拟θ函数和相应的双边级数的各种变换和求和公式。\\新的和现有的求和公式，这些双边系列也被用来明确在一些情况下的事实，即对于一个模拟θ函数，说$χ(q)$，和一个单位根在一定的类，说$ζ$，有一个θ函数$θ_χ(q)$，使\[ \lim_{q \to ζ}(χ(q) - θ_χ(q)) \]存在，作为$q \to ζ$从单位圆内。
Mock theta double sums
证明了关于贝利对的一个一般性结果，并指出Bringmann和Kane这两个贝利对是它们的特例。我们还展示了如何使用的基础公式的变化，通过对布林曼和凯恩对安德鲁斯在他的研究拉马努金的七阶模拟θ函数。我们推导出几个类似类型的Bailey对，并利用它们构造了一些新的q-超几何双和，它们是模拟θ函数。最后，我们证明了其中一些模拟θ双和与经典的模拟θ函数之间的恒等式。
Expansion formulas for elliptic hypergeometric series
本研究提出一种沿良配Bailey引理思路获取椭圆超几何级数展开公式的替代方法，复现已有结果并得到1个新展开公式，进而推导出19个新变换公式，这些公式在p=0的基本超几何情形下也属全新。
Bailey pairs, Eichler integrals and unified Witten-Reshetikhin-Turaev invariants
本文利用Bailey对 machinery 和不完整二次高斯和的新型关系，构造了q-多和在单位根处与极限值Eichler积分的重量3/2模形式之间的无限族恒等式，涵盖了Hikami的结果和猜想以及Lawrence和Zagier结果的推广。
Some more identities of the Rogers-Ramanujan type
本文证明了几个新的Rogers-Ramanujan-Slater型恒等式。这些身份是通过计算机搜索发现的。证明涉及多种技术，包括级数-级数恒等式、Bailey对、关于基本超几何级数的Watson定理、生成函数和其他方法。
Separable integer partition classes and Slater's list -- II
应用Andrews的可分离整数划分理论，构造了严格超划分和带位置间隙条件的超划分族，生成函数精细化了Slater恒等式的级数侧，并通过变换得到新恒等式。
Arcsine kernels, inverse-binomial harmonic sums, and classical hypergeometric transformations
研究将反正弦幂展开相关系数族放入双曲反正弦核，通过有限傅里叶投影和梅林变形等方法，得到含特定参数的恒等式及相关结果，还记录了核间卷积等细节，指出直接四次核会导致不同的\({}_4F_3\)族。
Order drop, Hecke descent, and a mod $p^4$ supercongruence for symmetric-cube hypergeometric coefficients
本文证明了三次对称超几何系数满足模 p⁴ 的超同余关系，通过 Ore 分解实现阶降，建立模算术字典并结合拉格朗日-布尔曼提取与三层指数截断，利用弗里克-海克 intertwining 方法消除缺陷形式。
Multiplicate inverse forms of terminating hypergeometric series
Gould-Hsu的逆级数关系的乘法形式使得能够研究Chu-Vandermonde-Gaujiang的、Pfaff-Saalschütz的求和定理以及Hagen和Rothe的二项式卷积公式的对偶关系。由此建立了终止超几何级数的若干恒等式和互反关系。利用二重反演，我们分别建立了（3）\cite{ChuVanGauss}和（4）\cite{PfaffSaalsch}中Chu-Vandermonde-Gauelmann和Pfaff-Saalschütz求和定理的几个对偶公式.最后，从Hagen-Rothe的卷积恒等式出发，根据二重、三重和多重反演，导出了几个终止平衡超几何级数的恒等式和互反关系。
Separable integer partition classes and Slater's list -- I
本文利用Andrews的可分离整数划分理论，对Slater列表中的若干恒等式进行解析，提供自然的划分解释和参数化推广，并通过q-超几何变换推导出新的表达式。
Formalized $q$-series: The Rogers-Ramanujan Identities and Beyond
本文在 Lean 证明助手中形式化 $q$-级数理论，通过构造 $q$-Pochhammer 符号等基本构件，验证了 Jacobi 三重积公式和 Rogers-Ramanujan 恒等式，为模形式等领域的未来形式化奠定基础。
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