关于具有最佳相关免疫性的非平衡布尔函数
On unbalanced Boolean functions with best correlation immunity
AI总结：
研究达到相关免疫性界限的非平衡布尔函数，证明了1和0数量乘积可被3整除，确定了12立方体等分划分的等价类，并表征了相应的正交阵列。
摘要：
已知非定常非平衡 $n$ 元布尔函数的相关免疫阶不能超过 $2n/3-1$；此外，当且仅当该函数对应于 $n$ 立方体的一个商矩阵具有特征值 $-n/3$ 的等分 $2$-划分时，其相关免疫阶才为 $2n/3-1$。已知的此类函数系列中，1 和 0 的数量比例为 $1:3$、$3:5$ 或 $7:9$。我们证明，如果非定常非平衡布尔函数达到相关免疫性界限且其 1 和 0 的数量比例为 $C:B$，则 $CB$ 可被 3 整除。特别地，这证明了对于无限个假定的商矩阵，其等分划分不存在。我们还确定，对于商矩阵为 $[[3,9],[7,5]]$ 的 $12$ 立方体等分划分，恰好存在 $2$ 个等价类；而对于商矩阵为 $[[0,12],[4,8]]$ 的情况，则存在 $16$ 个等价类。这些参数分别对应于具有相关免疫性 $7$ 且比例为 $7:9$ 和 $1:3$ 的 $12$ 元布尔函数（$3:5$ 的情况仍未解决）。这也意味着对正交阵列 OA$(1024,12,2,7)$ 和 OA$(512,11,2,6)$ 的表征。
英文摘要：
It is known that the order of correlation immunity of a nonconstant unbalanced Boolean function in $n$ variables cannot exceed $2n/3-1$; moreover, it is $2n/3-1$ if and only if the function corresponds to an equitable $2$-partition of the $n$-cube with an eigenvalue $-n/3$ of the quotient matrix. The known series of such functions have proportion $1:3$, $3:5$, or $7:9$ of the number of ones and zeros. We prove that if a nonconstant unbalanced Boolean function attains the correlation-immunity bound and has ratio $C:B$ of the number of ones and zeros, then $CB$ is divisible by $3$. In particular, this proves the nonexistence of equitable partitions for an infinite series of putative quotient matrices. We also establish that there are exactly $2$ equivalence classes of the equitable partitions of the $12$-cube with quotient matrix $[[3,9],[7,5]]$ and $16$ classes, with $[[0,12],[4,8]]$. These parameters correspond to the Boolean functions in $12$ variables with correlation immunity $7$ and proportion $7:9$ and $1:3$, respectively (the case $3:5$ remains unsolved). This also implies the characterization of the orthogonal arrays OA$(1024,12,2,7)$ and OA$(512,11,2,6)$.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
