arXiv 1809.061552018-09math.AP

分数阶Keller-Segel方程：全局适定性与有限时间爆破

Fractional Keller-Segel Equation: Global Well-posedness and Finite Time Blow-up

Laurent Lafleche, Samir Salem

备注：: 30 pages, 3 figures
发表信息：: Commun. Math. Sci. 17 (8), 2055-2087 (2019)
DOI：: 10.4310/CMS.2019.v17.n8.a1

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AI总结：

本文研究分数阶Keller-Segel聚合-扩散方程，针对扩散占优、公平竞争和聚合占优三种参数情形分别建立不同初值空间下的全局或局部适定性，并给出偶解有限时间爆破的初始质量集中条件。

摘要：

本文研究聚合-扩散方程 \\[ \partial_tρ= Δ^\fracα{2} ρ+ λ\\,\mathrm{div}((K*ρ)ρ), \\] 其中 $Δ^\fracα{2}$ 表示分数阶拉普拉斯算子，$K = \frac{x}{|x|^β}$ 是一个吸引核。该方程是经典Keller-Segel方程的推广，后者源于对细胞运动的建模。在扩散占优情形 $β< α$ 下，我们证明了对于 $L^1_k$ 初值的全局适定性；在公平竞争情形 $β= α$ 下，对于具有小质量的 $L^1_k\cap L\ln L$ 初值也证明了全局适定性。在聚合占优情形 $β> α$ 下，我们证明了对于 $L^p$ 初值的全局或局部适定性，具体取决于初值 $L^p$ 范数的某个小性条件。我们还证明，在某些初始质量集中准则下，偶解会发生有限时间爆破。

英文摘要：

This article studies the aggregation diffusion equation \[ \partial_tρ= Δ^\fracα{2} ρ+ λ\,\mathrm{div}((K*ρ)ρ), \] where $Δ^\fracα{2}$ denotes the fractional Laplacian and $K = \frac{x}{|x|^β}$ is an attractive kernel. This equation is a generalization of the classical Keller-Segel equation, which arises in the modeling of the motion of cells. In the diffusion dominated case $β< α$ we prove global well-posedness for an $L^1_k$ initial condition, and in the fair competition case $β= α$ for an $L^1_k\cap L\ln L$ initial condition with small mass. In the aggregation dominated case $β> α$, we prove global or local well-posedness for an $L^p$ initial condition, depending on some smallness condition on the $L^p$ norm of the initial data. We also prove that finite time blow-up of even solutions occurs under some initial mass concentration criteria.

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摘要：

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