单位球为正多边形的Radon平面的完整刻画
A complete characterization of Radon planes whose unit spheres are regular polygons
AI总结：
本文从几何角度研究了多边形Radon平面的单位球结构，引入新的几何概念对其进行完整刻画，并证明了顶点数为4n的正多边形不能作为单位球，而4n+2个顶点的正多边形可以。
摘要：
我们从几何角度研究了多边形Radon平面的单位球结构。特别地，我们证明了对于一个2维实多边形Banach空间 $\mathbb{X}$，如果其单位球的顶点数为 $4n$（其中 $n \in \mathbb{N}$），则它不能是Radon平面。接着，我们利用本文引入的一个易于处理的几何概念，获得了多边形Radon平面的完整刻画。根据我们的刻画，每个具有 $4n+2$ 个顶点（其中 $n \in \mathbb{N}$）的正多边形都是某个Radon平面的单位球。我们还进一步给出了一个Radon平面族的例子，其单位球是六边形，但并非正六边形。
英文摘要：
We study the structure of the unit sphere of polygonal Radon planes from a geometric point of view. In particular, we prove that a $ 2 $-dimensional real polygonal Banach space $ \mathbb{X} $ cannot be a Radon plane if the number of vertices of its unit sphere is $ 4n, $ for some $ n \in \mathbb{N}. $ We next obtain a complete characterization of polygonal Radon planes in terms of a tractable geometric concept introduced in this article. It follows from our characterization that every regular polygon with $ 4n+2 $ vertices, where $ n \in \mathbb{N}, $ is the unit sphere of a Radon plane. We further give example of a family of Radon planes for which the unit spheres are hexagons, but not regular ones.
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