关于曲面上亏数为1的图的可选择性的一个注记

稀疏图的亏损可选性和亏损可选性

Defective and Clustered Choosability of Sparse Graphs

如果每个单色子图的最大度至多为$d$，则（不正确的）图着色具有“缺陷”$d$，如果每个单色分量至多为$c$顶点，则具有“聚类”$c$。本文研究了具有给定最大平均度的图的亏损列表着色和簇列表着色。证明了最大平均度小于$\frac{2d+2}{d+2} k$的图都是有缺陷的$k$ -可选图$d$ .这改进了Havet和Sereni [J. Graph Theory，2006]的类似结果。对于具有最大平均度$m$的图的聚类可选性，以前没有$(1-ε)m$对颜色数的限制。上述结果与$d=1$解决了这个问题。这意味着每个具有最大平均度$m$的图都是$\lfloor{\frac{3}{4}m+1}\rfloor$ -可选的，聚类为2。这扩展了Kopreski和Yu [离散数学，2017年，《选择的力量》。然后，我们证明了两个结果的聚类选择性，探索颜色的数量和聚类之间的权衡。特别地，我们证明了每个具有最大平均度$m$的图，在聚类$9$下是$\lfloor{\frac{7}{10}m+1}\rfloor$ -可选的，在聚类$O(m)$下是$\lfloor{\frac{2}{3}m+1}\rfloor$ -可选的.作为一个例子，后一个结果意味着每个双平面图是8-可选的有界聚类。这是地月问题的集群版本中最著名的结果。这些结果推广到只考虑顶点数至少为某个数的子图的最大平均度的情形。几个应用程序。