Computing uniformization maps for surfaces has been a challenging problem and has many practical applications. In this paper, we provide a theoretically rigorous algorithm to compute such maps via combinatorial Calabi flow for vertex scaling of polyhedral metrics on surfaces, which is an analogue of the combinatorial Yamabe flow introduced by Luo. To handle the singularies along the combinatorial Calabi flow, we do surgery on the flow by flipping. Using the discrete conformal theory established by Gu-Guo-Luo-Sun-Wu and Gu-Luo-Sun-Wu, we prove that for any initial Euclidean or hyperbolic polyhedral metric on a closed surface, the combinatorial Calabi flow with surgery exists for all time and converges exponentially fast after finite number of surgeries. The convergence is independent of the combinatorial structure of the initial triangulation on the surface.
Structures de contact en dimension trois et bifurcations des feuilletages de surfaces
本文的主要目的是对某些三维流形上的切触结构进行分类，这些三维流形是透镜空间、圆上的大多数环面丛、实心环面和加厚环面T^2 x [0，1]。这种分类完成了早期的工作（Etnyre [math.DG/9812065]，Eliashberg，Kanda，Makar-Limanov和作者），并由两种技术的组合产生：外科手术，它产生许多切触结构，以及断层摄影术，它允许人们分析先验给定的切触结构，并从中创建组合图像。手术方法是基于Y. Eliashberg -- revisited by R. Gompf [math.GT/9803019] --并在闭流形上产生全纯可填充的切触结构。在第2和第3部分中发展的层析成像理论利用了作者引入的概念，并为上面列出的每个流形上的切触结构产生了少量可能的模型。
Combinatorial Dehn-Lickorish Twists and Framed Link Presentations of 3-Manifolds Revisited
由任意闭可定向连通三维流形的$n$四面体$T$的伪三角剖分（简称{ \em a 3D-space}）$M^3$，我们提出了一个gem $J '$，它诱导出$\IS^3$，具有以下特征：（a）它的顶点数为O（n）：（b）它有一组$p$两两不相交的顶点对$\{u_i,v_i\}$，每个顶点对称为{ \em a twistor};（c）在$J '$的对偶$(J ')^\star$中，扭量变成一对四面体，其具有一对公共的相对边，并且它被命名为{ \em a铰链};（d）在$(J ')^\star \subset \IS^3$的任何嵌入中，每个铰链的$ε$ -邻域是实心环面;（e）这些$p$实心环面是成对不相交的;（f）每个扭曲器包含关于如何基于对应于它的实心环面上的Denh-Lickorish扭曲来执行特定手术的精确描述;（g）进行所有这些$p$手术（在双宝石的水平上）我们产生具有$|G '|=M^3$的宝石$G '$;（h）在$G '$中，每个这样的手术通过交换每对顶点中的一对邻居来完成：特别是$|V(G ')=|V(J ')|$。这是Wallace（1960）和Lickorish（1962）的经典定理的新证明，{ \em based on a linear polynomial algorithm}，即每个3D空间在$\IS^3$中具有框架链接表示，并为通过$O(n^2)$算法实际获得…
