群的拓扑不变量与 Koszul 模
Topological invariants of groups and Koszul modules
AI总结：
本文建立有限长度 Koszul 模分次分量的一致消失与 Hilbert 函数上界，并据此用第一 Betti 数界定多类群的 Alexander 不变量、Chen 秩等拓扑不变量。
摘要：
我们针对与向量空间第二外积内部的子空间 K 相关联的有限长度 Koszul 模，给出了其分次分量的一致消失结果，并给出了其 Hilbert 函数的精确上界。这一纯粹代数的结论在研究与有限生成群相关的若干不变量方面具有有趣的应用，例如 Alexander 不变量、Chen 秩，以及增长次数和幂零类。例如，对于以下对象的最大亚阿贝尔商：(1) 与曲线模空间相关的 Torelli 群；(2) 紧 Kähler 流形的幂零基本群；(3) 自由群的 Torelli 群，我们用第一 Betti 数显式界定了上述不变量。
英文摘要：
We provide a uniform vanishing result for the graded components of the finite length Koszul module associated to a subspace K inside the second exterior product of a vector space, as well as a sharp upper bound for its Hilbert function. This purely algebraic statement has interesting applications to the study of a number of invariants associated to finitely generated groups, such as the Alexander invariants, the Chen ranks, or the degree of growth and nilpotency class. For instance, we explicitly bound the aforementioned invariants in terms of the first Betti number for the maximal metabelian quotients of (1) the Torelli group associated to the moduli space of curves; (2) nilpotent fundamental groups of compact Kaehler manifolds; (3) the Torelli group of a free group.
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