A semi-analytical collocation method for solving multi-term variable-order time fractional partial differential equations
提出了一种求解多项变阶时间分数阶偏微分方程（VOTFPDE）的新的半解析配置法。该方法采用傅里叶级数展开进行空间离散，将原始的多项VOTFPDE变换为一系列多项变阶时间分数阶常微分方程（VOTFODE）。然后，这些VOTFODE可以解决使用最近发展的向后替代方法。数值算例验证了所提出的数值方法在求解多项VOTFPDE时的准确性和有效性。
2020-07-18 cs.NA math.NA
A mixed formulation for the fractional Poisson problem
本文针对分数阶Poisson问题提出混合公式，利用分数阶微积分恒等式建立适定性，并采用Hughes-Masud稳定化方法克服直接离散困难，证明有限元离散的收敛性并给出数值验证。
2025-09-22 cs.NA math.AP math.NA
Efficient numerical algorithms for three-dimensional fractional partial differential equations
School of Mathematics and Statistics, Lanzhou University（兰州大学数学与统计学院）
本文提出局部一维数值方法求解三维分数阶偏微分方程，采用二阶有限差分和Crank-Nicolson格式，证明无条件稳定且时空二阶收敛，并针对Riesz分数阶扩散方程通过降低分裂误差改进算法。
2013-03-19 cs.NA math.NA
On high-order schemes for tempered fractional partial differential equations
本文针对回火分数阶扩散方程，提出了基于回火加权移位Grünwald差分（Tempered-WSGD）算子的空间三阶半离散格式.我们还证明了基于Crank-Nicolson格式的全离散格式在时间上的稳定性和收敛性。一个三阶格式的回火Black-Scholes方程也提出和数值测试。数值实验验证了所提方法的准确性和有效性。
2020-09-15 cs.NA math.NA
Weakly-singular formulation of the Fractional Laplacian operator
Computing and Mathematical Sciences, Caltech（加州理工学院计算与数学科学）
本文提出了一种分数拉普拉斯算子的弱奇异表达式，通过结合经典拉普拉斯算子和弱奇异积分算子，实现了高效准确的数值计算。
2026-02-20 cs.NA math.AP math.NA
Fractional-Order Structural Stability: Formulation and Application to the Critical Load of Slender Structures
本研究提出的框架进行稳定性分析的非局部固体，其响应制定根据分数阶连续理论。在这个公式中，空间分数阶算子被用来捕捉非局部响应的介质通过引入非局部运动学关系。首先，我们使用几何非线性分数阶运动关系内的能量为基础的方法建立分数阶非局部结构的拉格朗日-狄利克雷稳定性准则。这种基于能量的非局部结构稳定性的方法是可能的，由于一个正定的和几何上一致的定义的变形能启用的分数阶运动学公式。然后，推导出线性屈曲条件下临界载荷的Rayleigh-Ritz系数。分数阶公式最后用于确定临界屈曲载荷的细长非局部梁和板使用专用的分数阶有限元求解器。结果表明，与现有的研究相比，使用分数阶运动学方法时，在材料和几何刚度上观察到非局部相互作用的影响。我们支持这些意见定量的帮助下，集中在分数阶非局部细长结构的临界屈曲响应的案例研究，并通过直接比较分数阶的方法与经典的非局部方法定性。
2020-08-15 cond-mat.mtrl-sci cs.CE cs.NA
Numerical solution of space-fractional partial differential equations by a differential quadrature approach
Northwestern Polytechnical University（西北工业大学）
本文提出一种直接数值方法，利用新的差分四次技术求解空间分数阶偏微分方程，通过三种径向基函数作为测试函数计算权重，验证了方法的鲁棒性和高精度。
2017-01-22 cs.NA math.NA
Domain Decomposition Methods for Space Fractional Partial Differential Equations
Changsha University of Science and Technology（长沙理工大学）；Academy of Mathematics and Systems Science, Chinese Academy of Sciences（中国科学院数学与系统科学研究院）
本文提出一种两级加性Schwarz预条件子，用于求解空间分数偏微分方程有限元近似所得的代数系统。理论分析表明预条件系统条件数被界于C(1+H/δ)，并给出数值结果验证理论。
2015-01-14 cs.NA math.NA
DPG method with optimal test functions for a fractional advection diffusion equation
Clemson University（克莱姆森大学）；Pontificia Universidad Católica de Chile（智利天主教 Pontificia 大学）
本文提出了一种分数对流扩散问题的超弱变分公式，并证明其适定性，基于该公式定义了具有最优测试函数的DPG近似，并展示了其近优收敛性，数值实验验证了均匀和自适应细化网格下的预期收敛特性。
2015-07-23 cs.NA math.NA
An approximation method for electromagnetic wave models based on fractional partial derivative
本文提出了一种求解电磁波在介质中传播的分数阶偏微分方程的数值方法。截断伯努利和厄米特小波序列的未知系数已被用来近似的解决方案，在时间和空间变量。FPDE离散化的基本思想是基于Bernoulli和Hermite小波积分和微分运算矩阵的小波逼近。所得的线性代数方程组用配置法求解。此外，还讨论了收敛性和误差分析。最后，通过几个不同分数阶导数的数值实验，与精确解析解进行了比较，验证了该方法的精度和效率。
2021-04-02 cs.NA math.NA
Multigrid Methods for Space Fractional Partial Differential Equations
Changsha University of Science and Technology（长沙理工大学）；Academy of Mathematics and Systems Science, Chinese Academy of Sciences（中国科学院数学与系统科学研究院）
本文提出多网格方法求解空间分数偏微分方程的有限元近似代数系统，证明方法最优，收敛率与网格大小无关，且无需假设模型问题的正则性。
2015-01-07 cs.NA math.NA
Non-Polynomial Quintic Spline for Numerical Solution of Fourth--Order Time Fractional Partial Differential Equations
University of Sargodha（萨戈达大学）
本文提出了一种求解四阶时间分数偏微分方程的新方法，采用有限差分法处理时间离散，空间离散采用非多项式五次样条法，证明了算法的稳定性和收敛性，并通过测试问题验证了其更高的准确性。
2018-09-17 cs.NA math.NA
Discontinuous Galerkin methods for fractional elliptic problems
Assiut University（阿斯尤特大学）
本文研究了求解有限域上二维Riemann-Liouville分数椭圆问题的不同不连续伽辽金方法版本，分析了其有界性和稳定性，并给出了能量范数下的先验误差估计和L²范数下的最优误差估计，数值实验验证了不同形式方法的最优收敛阶。
2018-04-18 cs.NA math.NA
Geometrically Nonlinear Response of a Fractional-Order Nonlocal Model of Elasticity
本研究提出一几何非线性及分数阶非局部Euler-Bernoulli梁模型之解析及有限元公式。欧拉-伯努利梁中的有限非局部应变是从标架不变和尺寸一致的分数阶（非局部）连续统公式得到的。有限分数应变理论提供了一个正定的公式，导致在数学上适定的公式，这是一致的负载和边界条件。利用变分原理得到了几何非线性非局部Euler-Bernoulli梁的控制方程和相应的边界条件。为了实现积分-微分非线性控制方程的数值解，建立了分数阶系统的非线性有限元模型。在对基准问题进行充分验证后，采用分数阶有限元模型（f-FEM）研究了非局部梁在各种载荷和边界条件下的几何非线性响应。虽然是在一维梁的情况下提出的，但这种非线性f-FEM公式可以扩展到更高维的分数阶边值问题。
2020-06-18 cs.NA math.AP math.NA
Homotopy perturbation transform method for solving fractional partial differential equations with proportional delay
Babasaheb Bhimrao Ambedkar University（巴巴萨赫·比姆拉奥·安贝德卡大学）
本文提出一种结合拉普拉斯变换和同调扰动法的同调扰动变换方法，用于求解含比例延迟的分数偏微分方程初始值问题，验证了该方法的高效性和有效性。
2016-11-20 cs.NA math.NA
Wellposedness and regularity of steady-state two-sided variable-coefficient conservative space-fractional diffusion equations
East China Normal University（华东师范大学）；University of South Carolina（南卡罗来纳大学）
研究稳态双侧变系数守恒空间分数扩散方程的狄利克雷边界值问题，通过伽辽金弱形式的正则性分析，推导出Petrov-Galerkin公式并证明问题的适定性，同时获得高阶正则性估计。
2016-06-15 cs.NA math.NA
Partially Explicit Time Discretization for Nonlinear Time Fractional Diffusion Equations
非线性时间分数阶偏微分方程在建模和仿真中有着广泛的应用。在许多应用中，介质属性存在高对比度变化。为了解决这些问题，人们通常使用粗空间网格来提高空间分辨率。对于时间离散化，通常使用隐式方法。对于隐式方法，虽然时间步长可以相对较大，但由于非线性和处理大规模系统的事实，方程很难计算。另一方面，显式方法中的离散系统更容易计算，但它需要小的时间步长。在这项工作中，我们提出了部分显式计划的早期工作发展的部分显式方法的非线性扩散方程。在该方案中，扩散项被部分显式处理，反应项被完全显式处理。通过适当的空间构造和稳定性分析，我们发现，所提出的格式所需的时间步长与粗网格步长成比例，从而节省了大量的计算量。这项工作的主要新颖之处是我们以前的工作扩散方程的时间分数扩散方程的扩展。对于分数阶扩散方程的情况下，时间步长的约束更严重，所提出的方法减轻了这一点，因为在部分显式方法的时间步长尺度作为粗网格步长。我们提供稳定性结果。数值结果，我们比较我们提出的部分显式方法与全隐式方法。我们表明，我们提出的方法提供了类似的结果，同时明确地处理许多非线性项的自由度。
2021-10-25 cs.NA math.NA
Galerkin Finite Element Method for Nonlinear Fractional Differential Equations
本文研究了一类非线性分数阶微分方程解的存在性、正则性和逼近性。{In为了做到这一点，我们对一类具有Riemann-Liouville和Caputo分数阶导数以及齐次Dirichlet条件的非线性边值问题定义了合适的变分形式。我们{调查}适定性和相应的弱解的正则性。然后，我们发展了一种Galerkin有限元方法{ \color{blue}}，对弱格式进行了数值逼近，并{驱动先验误差估计，证明了格式的稳定性}。最后，通过数值实验验证了该方法的准确性.
2020-10-23 cs.NA math.NA
Some Solutions of Fractional Order Partial Differential Equations Using Adomian Decomposition Method
University of Management and Technology, Lahore, Pakistan（拉合尔管理技术大学）；The University of Lahore, Lahore, Pakistan（拉合尔大学）；University of Science and Technology of China, China（中国科学技术大学）
本文利用Adomian分解法求解非线性分数阶偏微分方程的近似解，通过数值验证展示方法的有效性和准确性。
2017-12-26 cs.NA math.AP math.NA
Partially Explicit Time Discretization for Time Fractional Diffusion Equation
时间分数阶偏微分方程已被用于许多建模和仿真的应用中。这些应用中的许多是多尺度的，并且在介质属性中包含高对比度变化。它需要非常小的时间步长来执行详细的计算。另一方面，在小的空间网格的存在下，显式方法需要非常小的时间步长。显式方法有许多优点，正如我们在本文中讨论的。在本文中，我们提出了一个部分显式方法的时间分数偏微分方程。该方法解决了一个粗略的计算网格，这是远远大于空间异质性的前向问题，只需要几个自由度进行隐式处理。通过构造适当的空间和仔细的稳定性分析，我们可以表明，时间步长可以选择不依赖于对比度或规模作为粗网格步长。因此，可以在显式方法中使用更大的时间步长。我们目前的稳定性理论，我们所提出的方法和我们的数值结果证实了稳定性的调查结果，并证明了该方法的性能。
2021-08-30 cs.NA math.NA
Numerical treatment of an initial-boundary value problem for fractional partial differential equations
针对包含Riesz-Feller空间分数阶导数的分数阶偏微分方程初边值问题，提出一种新的数值格式，并利用有限差分法求解，通过数值实验验证了方法的有效性。
2006-07-14 cs.NA math.AP math.NA
Monte Carlo PINNs: deep learning approach for forward and inverse problems involving high dimensional fractional partial differential equations
Shanghai Normal University（上海师范大学）；Tongji University（同济大学）；Academy of Mathematics and Systems Science, Chinese Academy of Sciences（中国科学院数学与系统科学研究院）
我们介绍了一种基于采样的机器学习方法，蒙特卡罗物理告知神经网络（MC-PINNs），用于求解正向和逆分数阶偏微分方程（FPDE）。作为物理信息神经网络（PINN）的推广，我们的方法依赖于深度神经网络代理以及用于计算DNN输出的分数阶导数的随机近似策略。在我们的MC-PINN的一个关键成分是构造一个无偏估计的物理软约束的损失函数。与\cite{pang2019fpinns}中提出的fPINN相比，我们的直接采样方法可以产生更少的总计算成本，从而为求解高维分数偏微分方程提供了机会。我们通过几个例子验证了MC-PINNs方法的性能，包括高维分数阶Laplacian积分方程，时间-空间分数阶偏微分方程的参数识别，分数阶扩散方程的随机输入。结果表明，MC-PINNs是灵活的，有希望解决高维FPDE。
2022-03-16 cs.LG cs.NA math.NA
Variational formulation of problems involving fractional order differential operators
Texas A&M University（德克萨斯农工大学）
本文研究了单位区间(0,1)上涉及Caputo和Riemann-Liouville分数阶导数(α∈(1,2))的边界值问题，从变分角度探讨了非对称问题，分析了不同测试和试验空间对解正则性的影响，并通过数值结果验证了收敛率。
2013-07-17 cs.NA math.AP math.NA
Fourier Spectral Methods with Exponential Time Differencing for Space-Fractional Partial Differential Equations in Population Dynamics
控制种群动力学的物理定律一般用微分方程表示。近几十年来的研究已经将分数阶（非整数）导数纳入自然现象的微分模型，如反应扩散系统。本文发展了一种多组分多维空间分数阶系统的数值求解方法。对于空间离散化，我们应用傅立叶谱方法，是适合于多维PDE系统。时间步进的有效近似是用局部一维指数时间差分方法来完成的。我们展示了不同分数参数对生长模型的影响，并考虑了解的收敛性、稳定性和唯一性，以及参数和边界条件的生物学解释。
2022-12-06 cs.NA math.AP math.NA
Matrix approach to discrete fractional calculus II: partial fractional differential equations
提出了一种新的离散化方法，该方法能方便地离散具有任意实阶导数（所谓分数阶导数）和时滞的偏微分方程，并以各种类型的分数阶扩散方程的数值解为例加以说明.所建议的方法是Podlubny矩阵方法的发展（Fractional Calculus and Applied Analysis，vol.3，no.4，2000，359- 386）。四个例子的数值解的分数扩散方程的各种组合的时间/空间分数导数（整数/整数，分数/整数，整数/分数，分数/分数）相对于时间和空间变量，以说明如何简单和一般的建议的方法。第五个例子说明了该方法同样可以简单地用于含时滞的分数阶微分方程。一组MATLAB例程的方法，以及用于解决的例子的示例代码的实施已经开发。
2009-01-14 cs.NA math-ph math.CA
Traveling wave solutions of some important Wick-type fractional stochastic nonlinear partial differential equations
本文用改进的计算方法得到了Wick型随机非线性薛定谔方程和Wick型随机分数阶正则长波Burgers（RLW-Burgers）方程的精确行波解.具体地说，利用Hermite变换将Wick型随机非线性偏微分方程变换为确定性的整数阶和分数阶非线性偏微分方程.进一步，利用Hermite逆变换，得到了白噪声空间中所需的随机解集。基于导出的解，所考虑的方程的动力学与一些特定的物理参数值进行。结果表明，所提出的改进计算方法可以应用于求解各种Wick型随机分数阶偏微分方程。
2019-11-24 cs.NA math.AP math.NA
Towards a Generalized Approach to Nonlocal Elasticity via Fractional-Order Mechanics
本研究提出了一种分数阶连续介质力学的方法，允许结合选定的非局部弹性，典型的经典积分和梯度制剂的特点，在一个单一的框架不变的框架。由此产生的广义理论是能够捕获的硬化和软化的影响，它是不受选定的外部载荷和边界条件下经常观察到的不一致。一维连续体的控制方程是通过一维晶格的拉格朗日量的连续化导出的。这种方法特别适合于突出分数阶算子和介质的微观性质之间的联系。该方法也被推广到通过变分原理导出三维连续体的强形式的控制方程。正定势能，我们的分数制定的特点，总是确保适定的控制方程。这一方面，结合分数阶算子的微分积分性质，保证了稳定性和捕获色散的能力，而不需要额外的惯性梯度项。建议的配方适用于静态和自由振动分析无论是Brachenko梁或Mindlin板。数值结果表明，分数阶有限元法，得到的分数阶配方是能够模拟在这些细长结构的刚化和软化响应。数值结果提供了基础，批判性地分析不同的分数阶模型参数的物理意义，以及它们对结构元件的响应的影响。
2020-05-19 cs.CE cs.NA math.DS
Fractional Partial Differential Equations with Boundary Conditions
University of Otago（奥塔哥大学）；Chalmers University of Technology（查尔姆斯理工大学）；Michigan State University（密歇根州立大学）
本文研究了有界域上单侧分数阶微分方程的随机过程，提出了一种新的方法将有限状态马尔可夫过程嵌入Feller过程，并展示了其收敛性，从而填补了数值算法中关于分数阶微分方程解的well-posedness证明的空白。
2017-06-22 cs.NA math.AP math.NA
Multiscale Nonlocal Elasticity: A Distributed Order Fractional Formulation
本研究提出了一种广义多尺度非局部弹性理论，利用分布阶分数阶微积分准确地捕捉共存的多尺度和非局部效应在宏观连续。非局部多尺度行为被捕获通过分布阶分数本构关系来自非局部热力学制剂。利用Hamilton原理得到了非均匀连续介质的控制方程。作为常阶分数阶连续介质理论的推广，分布阶理论可以模拟具有非均匀非局域性和多尺度效应的复杂介质。为了理解微观效应和连续体性质之间的对应关系，还通过直接离散化分布阶弹性连续体来开发等效质量弹簧晶格模型。详细的理论参数提供给显示之间的等效性的离散和连续分布阶模型的内部非局部力，势能分布，和边界条件。这些理论论据促进物理解释的非局部弹性理论中的分布秩序框架所发挥的作用。他们还强调了这种方法所提供的出色的潜力和机会，以考虑多尺度非局部效应。该方法的能力也说明了通过数值研究，突出了良好的协议之间的位移分布和总势能预测的两个模型下的各种顺序分布。值得注意的是，多尺度效应，如位移畸变，材料软化，能量集中，以及捕获在连续水平的分布阶理论。
2021-12-24 cs.CE cs.NA math.NA
Numerical solution using radial basis functions for multidimensional fractional partial differential equations of type Black-Scholes
本文提出使用基于径向基函数的无网格方法数值求解多维型 Black-Scholes 时间-空间分数阶偏微分方程，展示了该方法处理多维问题的灵活性及降低矩阵条件数的有效途径。
2020-12-13 cs.NA math.AP math.FA
On Approximation for Fractional Stochastic Partial Differential Equations on the Sphere
Queensland University of Technology（昆士兰科技大学）；Xiangtan University（湘潭大学）；La Trobe University（乐卓博大学）；The University of New South Wales（新南威尔士大学）
本文研究了球面上分数随机偏微分方程的精确解及其数值近似方法，通过截断Karhunen-Loève展开分析了截断误差的收敛率，并通过数值示例和宇宙微波背景辐射模拟验证了理论结果。
2018-03-01 cs.NA math.AP math.NA
