Cops and Robbers: A $\times$-homotopy Invariant Variant
本文引入了'狡猾主动警探与罪犯'变体游戏，证明在反射图中该游戏等同于经典游戏，并展示图的警探数在×-同调等价下保持不变。
2026-03-13 math.CO
Cops and robbers on planar directed graphs
Aigner和Fromme通过证明在每个连通的可平面图中，三个警察足以赢得对单个强盗的自然追捕游戏的优雅而尖锐的结果，开始了对图的警察数的系统研究。这个博弈由Nowakowski和Winkler提出，在组合文学中通常被称为“警察和强盗”。我们将这项研究扩展到有向可平面图，并建立从无向设置分离。我们展示了一个尺规作图法，它表明一个更复杂的强盗策略可以无限期地逃避一个特定的强连通平面有向图上的三个警察。
2015-07-03 math.CO
Containment: A Variation of Cops and Robbers
我们认为“遏制”：警察和强盗的图追踪游戏的一种变体，其中警察从边移动到邻边，强盗从顶点移动到相邻的顶点（但不能沿着被警察占据的边移动），警察通过“包含”强盗-也就是说，通过当强盗在$v$时占据与顶点$v$相关的所有$°(v)$而获胜。我们开发的界限，涉及最小数量的警察，$ξ(G)$，需要包含一个强盗，以著名的“警察号码”$c(G)$在原来的游戏：特别是，$c(G) {\le} ξ(G) {\le} γ(G) Δ(G)$。我们注意到，$ξ(G) {\geq} δ(G)$的所有图$G$，并分析了几个家庭的图，其中平等持有，以及几个在其中的不等式是严格的。我们还给出了一些例子，图需要一个无限数量的警察，以包含一个强盗，并指出，存在三次图与$ξ(G) \geq Ω(n^{1/6})$。
2019-03-15 math.CO
The Cops and Robber game on graphs with forbidden (induced) subgraphs
在无向有限图上进行两人完全信息博弈。一些警察和一个强盗被放置在顶点上，轮流沿着边滑动。如果在一次移动后，警察和强盗在同一个顶点上，警察就赢了。在图上抓住抢劫犯所需的最小警察数量称为该图的警察数量。本文研究了禁止一个或多个图为子图或诱导子图的图类中的cop数。在一个单一的禁止图的情况下，我们完全刻画（两种关系）的图形，迫使有界的copnumber。顺便说一下，我们用树的宽度来限制警察的数量。
2008-04-28 math.CO
The capture time in the game of cops and many robbers
本文研究多名劫匪参与的警察与劫匪图博弈，给出了警察获胜图捕获时间的一般上界并证明其最佳性，同时揭示了捕获时间随劫匪数量增加的变化与0-可见性警察数量间的惊人关系。
2025-09-12 math.CO
Cops and robbers in random graphs
我们考虑有限的，连通的，无向图称为警察和强盗的追求和规避对策。Meyniel指出，对于每个n个顶点的图，有足够多的警察可以赢得比赛。我们证明，这举行了一个log（n）的随机图G（n，p）的因素，如果p不是很小，这是接近紧，除非图是非常密集的。我们分析了区域防御策略（Aigner在可平面图的情况下使用），并给出了它不能太有效的例子。
2008-05-18 math.CO
Lazy Cops and Robbers played on Graphs
我们考虑警察和强盗游戏的一个变体，称为懒惰的警察和强盗，其中最多一个警察可以在任何一轮中移动。我们研究了这个博弈中警察号码的类似物，我们称之为懒惰警察号码。Lazy Cops and Robbers最近由Offner和Ojakian提出，他们给出了超立方体的Lazy Cops数的渐近上界和下界。通过研究扩张性质，我们给出了二项随机图$\mathcal{G}(n,p)$的懒惰copnumber的渐近几乎必然界，并给出了$p=p(n)$的广泛范围.通过将概率方法与一个势函数参数相结合，我们还改进了现有的超立方体的懒拷贝数的下界。最后，利用Gilbert-Hutchinson-Tarjan分离子定理，给出了亏格为$g$的图的懒惰copnumber的一个上界.
2013-12-06 math.CO
A note on the Cops & Robber game on graphs embedded in non-orientable surfaces
警察和强盗游戏是在无向有限图上进行的。一些警察和一个强盗被放置在顶点上，轮流沿着边滑动。如果警察能抓住劫匪，他们就赢了。在图上获胜所需的最小警察数量称为其警察数量。已知如果$X$是可定向的（Schroeder 2004），则嵌入在$g$属的表面$X$上的图的copnumber至多为$3g/2 + 3$，否则至多为$2g+1$（Nowakowski & Schroeder 1997）。我们改进了非可定向曲面的边界，通过使用覆盖空间将其还原到可定向的情况。作为推论，利用Schroeder的结果，我们得到了：可嵌入射影平面的图的最大cop数为3，可嵌入克莱因瓶的图的cop数至多为4，且对所有其它$g$，上界为$3g/2 + 3/2$.
2011-02-04 math.CO
Broadcasting Agents and Adversary: A new variation on Cops and Robbers
Durham University（杜伦大学）；UMass Lowell（马萨诸塞大学洛厄尔分校）
本文提出了一种新的图游戏『代理与对手』，通过定义新的图对称性并分析无限家族图的胜负策略，给出了代理获胜时间的紧界。
2026-03-12 math.CO
Cops and Robber Game with a Fast Robber on Expander Graphs and Random Graphs
我们考虑警察和强盗博弈的一个变体，其中强盗具有无限的速度，即可以从她的顶点在她的回合中采取任何路径，但她不允许通过被警察占据的顶点。在此变体中，令c_{infty}（G）表示在图G中捕获强盗所需的警察数量。本文对c_{infty}（G）=1的图G进行了刻画，并给出了一个O（|V（G）|^2）算法进行检测。我们证明了扩张图的c_{infty}的一个下界，并用它证明了三件事。第一个定理是，如果np > 4.2 log n，则对于适当的常数e1和e2，随机图G = G（n，p）渐近几乎必然有e1/p < c_{infty}（G）< e2 log（np）/p.第二类是n阶固定度随机正则图G渐近几乎必然有c_{infty}（G）= Theta（n）.第三，如果G是m条路的笛卡儿积，则n / 4km^2 < c_{infty}（G）< n / k，其中n=| V（G）|k是最长路径的顶点数。
2011-05-13 math.CO
Capture times in the Bridge-burning Cops and Robbers game
在本文中，我们考虑了Kinnersley和Peterson提出的图上的警察和强盗博弈的一个变体，其中每次强盗使用一条边时，它都会从图中删除，称为烧桥警察和强盗。特别是，我们研究了警察抓住抢劫犯所需的最长时间。
2020-10-31 cs.DM math.CO
Throttling for the game of Cops and Robbers on graphs
我们考虑了警察与强盗博弈的图$G$的警察节流数，它被定义为$(k + \text{capt}_k(G))$的最小值，其中$k$是警察的数量，$\text{capt}_k(G)$是$k$警察在所有可能的博弈中捕获$G$上的强盗所需的最小回合数.我们提供了一些工具，用于界定铜节流数，包括显示，半正定（PSD）节流数，迫零节流的变体，是一个上界的铜节流数。我们还刻画了图具有低Cop-throttling数和调查多大的Cop-throttling数可以为一个给定的图。我们考虑树，单圈图，有限射影平面的关联图（一个Meyniel极值图族），具有最大捕获时间的cop-win图族，网格和超立方体。所有的上界的cop-throttling数，我们得到的家庭的图是$ O(\sqrt n)$。
2018-02-25 math.CO
Variations on Cops and Robbers
我们考虑几个变种的经典警察和强盗的游戏。我们处理的版本中，强盗可以移动R > 1边的时间，建立了一个一般的上限N / α^{（1-o（1））\sqrt{log_α N} }，其中α = 1 + 1/R，从而推广了最有名的上界的经典情况R = 1，由于卢和彭。我们还证明了在这种情况下，对于有限R，N-顶点图的cop数可以大到N^{1 - 1/（R-2）}，但如果R是无限的，则N-顶点图的cop数在N中是线性的。当R = 1时，我们研究了该问题的有向图形式，证明了任意强连通有向图在N个顶点上的拷贝数至多为O（N（loglogN）^2/logN）.我们的方法是基于扩展。
2010-04-14 math.CO
Cops and Robbers on Toroidal Chess Graphs
我们调查了游戏警察和强盗的多种变体。在$n \times n$环形国际象棋图形上玩它，游戏通过不同地定义警察和强盗的移动而变化，总是模仿某些棋子的移动。在这些情况下，警察人数完全确定。
2018-10-24 cs.DM math.CO
Fully Active Cops and Robbers
我们研究了经典的警察和强盗的追逃对策的一个变种，其中代理人需要移动到一个相邻的顶点上的每一个回合。我们将探讨当这个条件被加入到游戏规则中时，抓住抢劫犯所需的最少警察数量是如何变化的。我们研究了这个“完全活跃的警察和强盗”游戏的一些类的图，并提出了一些开放的问题，为今后的研究。
2018-08-21 cs.DM math.CO
Cops and robbers on chess graphs
本文完整分类了 n×n 骑士图和皇后图的警察数，补全了经典国际象棋图的分类，并引入皇家图推广模型，同时解决了皇后图警察数单调性的公开问题。
2025-09-23 math.CO
Seeing is not believing in limited visibility cops and robbers
本文研究有限能见度Cops and Robbers模型，证明看到强盗所需警察数可任意小于抓捕所需数，并探讨警力不足时的逼近程度及概率解释。
2025-07-01 cs.DM math.CO
Characterizations and algorithms for generalized Cops and Robbers games
我们提出了一个广义的警察和强盗游戏的定义，其中有两个球员，追求者和逃避者，谁每个移动通过规定的规则。如果追逐者能确保游戏进入一组固定的最终位置，那么追逐者获胜;否则，逃避者获胜。提供了追击者获胜的游戏的关系表征。一个精确的公式给出了游戏的长度，以及一个算法来计算，如果追求者有一个获胜的战略，其复杂性是一个函数的参数的游戏。对于其中一个玩家的位置不影响其他玩家的可用移动的游戏，顶点消除排序表征，类似于cop-win排序，给出了当追求者有一个获胜的策略。
2017-04-19 math.CO
The game of Overprescribed Cops and Robbers played on graphs
我们考虑了当更多的警察加入到游戏中时，对警察和强盗游戏长度的影响。在“过度规定的警察和强盗”中，随着警察的增加，抓捕时间（假设最佳玩法的最小游戏长度）单调减少。我们给出了捕获时间的全部范围内的任何数量的警察在树上，并分类捕获时间的渐近数量的警察在网格，超立方体，和二项式随机图。研究了边数等于或大于边数的可平面图的捕获时间。
2016-11-23 cs.DM math.CO
To catch a falling robber
我们考虑一个在$n$ -集的子集上的Cops-and-Robber对策。抢劫犯从全套开始;警察从空集开始。在每一回合，强盗通过丢弃一个元素向下移动一级，每个警察通过获得一个元素向上移动一级。问题是，当抢劫犯到达中层时，需要多少警察来确保抓住抢劫犯。Aaron Hill提出了这个问题，并给出了$2^{n/2}$对偶数$n$和$\binom{n}{\lceil n/2 \rceil}2^{-\lfloor n/2 \rfloor}$对奇数$n$的下界。我们证明了一个上界（所有$n$），是在一个因素的$O(\ln n)$倍，这个下界。
2016-02-23 math.CO
Cops that surround a robber
我们介绍的游戏周围的警察和强盗的图，作为一个变种的原始游戏的警察和强盗。在最初的游戏中，警察通过占据与强盗相同的顶点而获胜，而现在他们通过占据强盗的每个相邻顶点而获胜。我们用$σ(G)$表示$G$的{ \em包围警察数}，即在图$G$中包围一个抢劫犯所需的最少警察数。我们提出了一些关于这个参数的结果，包括一般的界限以及几类图的精确值。感兴趣的特定类别包括产品图，从组合设计产生的图，和广义彼得森图。
2021-08-05 cs.DM math.CO
Primal-Dual Cops and Robber
研究平面图上警察在相邻面移动、强盗在相邻顶点移动的博弈变体，证明当且仅当最大度 $Δ\leq 4$ 时常数名警察足以抓捕强盗。
2024-01-10 cs.DM math.CO
Cops and robbers pebbling in graphs
Acadia University（阿卡迪亚大学）；Virginia Commonwealth University（弗吉尼亚联邦大学）
本文提出警卫与强盗推石游戏，研究其推石数及图类中的上界、下界和精确值，并探讨相关猜想与新问题。
2026-08-13 cs.DM math.CO
A bound for the cops and robber problem in terms of 2-component order connectivity
本文研究警察与强盗游戏中的警察数界，利用图的2-组件阶连通度刻画删除顶点后组件规模受限的结构，并给出警察数的上界。
2024-12-03 cs.DM math.CO
Cops and Robbers on diameter two graphs
在这篇简短的论文中，我们研究了警察和强盗的游戏，在一些固定的图$G$的阶$n$的顶点。逮捕一个抢劫犯所需的最少警察人数称为警察人数$G$。我们证明了直径为2的图的copnumber至多为$\sqrt{2n}$，改进了Lu和Peng的一个结果.我们猜想这个界仍然不是最优的，并得到了一些关于最优界的部分结果。
2014-09-28 cs.DM math.CO
A note on hyperopic cops and robber
我们探索Bonato等人介绍的警察和强盗游戏的变体。除非在警察的公共区域之外，否则抢劫者是看不见的。的hyperopic警察数是类似的警察数，我们调查这个数量的界限。我们定义了一个小的公共邻域集，并与此图参数的最小基数的远视警察数。我们考虑直径为2的图，特别是两个图的连接，以及笛卡儿积。
2021-07-15 cs.DM math.CO
Cops, robbers, and infinite graphs
警察与强盗是两个玩家之间的游戏，其中一个玩家试图通过沿着图的边缘移动来抓住另一个玩家。众所周知，在有限图上，cop有获胜策略当且仅当图是可构造的，并且有限性是这个结果的必要条件。我们提出了弱cop-win图的概念，这是无限图的一个获胜标准，可以导致推广。事实上，我们推广了一半的结果，也就是说，我们证明了每个可构造图是弱cop-win的。我们还表明，一个类似的概念研究的Chastand等人。（他们也被称为弱cop-win）是不足以推广上述结果无限图。在局部有限的情况下，我们把可构造图看作是cop具有所谓的保护策略的图，并证明了即使对于非局部有限图，这种策略的存在也意味着可构造性。
2015-03-30 math.CO
Cops and an Insightful Robber
《警察与强盗》的“作弊机器人”版本是在一个有限的、简单的、连通图上播放的。球员们在同一时间内移动。然而，在移动之前，机器人观察警察正在移动到哪些顶点，并且它足够快以在时间段内完成其移动。警察也知道机器人会利用这些信息。抓捕一个机器人比抓捕一个强盗需要更多的警察。实际上，最小度是捕获一个机器人所需警察数量的下界。只有在树上，一个警察才能保证抓住一个机器人，尽管在外平面图上，两个警察就足以抓住一个强盗和一个机器人。在图中涉及撤回，我们展示了如何警察对强盗的策略可以修改，以捕获机器人。这种方法给出了超立方体和一般的$k$维网格的精确数字。
2021-03-10 cs.DM math.CO
Cops and Robbers ordinals of cop-win trees
Nowakowski和Winkler在他们关于Cops and Robbers游戏的开创性论文中提供了cop-win图的关系特征。作为该特征的副产品，每个cop-win图被分配一个唯一的序数，我们称之为CR-序数。对于有限图，CR-序数对应于假设最优博弈的博弈长度，其中警察在最不利的初始位置开始博弈。然而，对于无限图，CR-序数的可能值在文献中没有被考虑，直到目前的工作。我们将cop-win树的CR序数分为有限序数和$α+ ω$形式的CR序数，其中$α$是极限序数.对于一般的无限cop-win图，我们提供了一个例子，其CR-序数不是这种形式。最后，我们讨论了在一般情况下的cop-win图的CR-序数的特征问题。
2017-01-11 math.CO
A Covering Pursuit Game
本文研究图上的覆盖追捕博弈，针对二维网格证明$n^{1.999}$个警察足够，并改进快速强盗博弈的界。
2025-04-19 math.CO
Cops and Robbers on Geometric Graphs
《警察与强盗》是一款回合制的追击游戏，在图形$G$上进行。一个强盗被一群警察追捕。在每一轮中，这些代理沿着图的边在顶点之间移动。警察人数$c(G)$表示在有限时间内抓住劫匪所需的最少警察人数。研究了几何图的copnumber。对于点$x_1, ..., x_n \in \R^2$和$r \in \R^+$，几何图$G(x_1, ..., x_n; r)$的顶点集是这些$n$点上的图，当$ \norm{x_i -x_j} \leq r$时，$x_i, x_j$相邻。本文证明了对于$R^2$中的任意连通几何图$G$，都有$c(G) \leq 9$，并给出了一个具有$c(G) = 3$的连通几何图的例子。我们改进了我们的随机几何图，是足够密集的上界。令$G(n,r)$表示$n$顶点独立于$[0,1]^2$而均匀选择的几何图的概率空间。对于$G \in G(n,r)$，我们表明，以高概率（whp），如果$r \geq K_1 (\log n/n)^{1/4}$，那么$c(G) \leq 2$，如果$r \geq K_2(\log n/n)^{1/5}$，那么$c(G) = 1$其中$K_1, K_2 > 0$是绝对常数。最后，我们提供了一个下界附近的$G(n,r)$的连接制度：如果$r \leq K_3 \log n / \sqrt{n} $那么$c(G) > 1$ whp，其中$K_3 …
2011-09-08 math.CO
$k$-Hyperopic Cops and Robber
本文提出$k$-远视警察与强盗游戏，定义$k$-远视警察数，刻画警察获胜图，并给出匹配数、树的直径及外平面图等情形下的上界。
2024-10-23 cs.DM math.CO
The game of Cops and Robbers on directed graphs with forbidden subgraphs
传统的警匪游戏是在无向图上进行的。近年来，同样的博弈在有向图上得到了越来越多的关注。我们知道，如果我们禁止某个子图，我们就可以限制相应图类的cop数。本文分析了$\Vec{H}$ -free有向图上的警匪博弈。然而，它与无向图的情况不同。因此，我们提出了一个新的概念（$\Vec{H}^*$ -free），得到了关于无向图的类似结论。
2020-01-27 cs.DM math.CO
Cops, robbers, and burning bridges
我们考虑一个变种的警察和强盗，其中每个边缘遍历的强盗从图中删除。重点是确定在图$G$上捕获抢劫犯所需的最小警察数量，称为$G$的{ \em烧桥警察数量}，记为$c_b(G)$。本文对几类初等图精确地确定了$c_b(G)$，并给出了当$T$是树时计算$c_b(T)$的多项式时间算法.我们还研究了二维正方形网格和环面，以及超立方体，我们给出了一个图的捕获时间的界限（一个警察在$G$上捕获一个强盗所需的最小回合数，前提是$c_b(G) = 1$）。
2018-12-24 cs.DM math.CO
Cops and Robber -- When Capturing is not Surrounding
本文研究了经典Cops and Robber游戏的四种“包围”版本，通过关联不同版本的警察数，证明其均不受经典警察数与图最大度数的函数所界，从而反驳了Crytser等人的猜想。
2024-10-11 cs.DM math.CO
Catching a fast robber on the grid
我们在网格上研究警察和强盗的问题，允许强盗比警察移动得更快。众所周知，当抢劫犯具有单位速度时，两个警察是必要的，也是足够的。在这里，我们证明，当抢劫犯的速度是一个足够大的常数，警察的数量需要抓住抢劫犯的$n \times n$网格是$\exp(Ω(\log n / \log \log n))$。
2017-06-05 cs.DM math.CO
Some Game Theoretic Remarks on Two-Player Generalized Cops and Robbers Games
本文研究了Bonato和MacGillivray提出的两人广义Cops and Robber（GCR）对策。我们的主要目标是提出一个完整的，自成一体的博弈论分析这样的游戏。
2020-11-19 cs.DM cs.GT math.CO
A faster algorithm for Cops and Robbers
我们提出了一个时间复杂度为$O(kn^{k+2})$的算法来决定$n$顶点上的图$G$是否为$k$ -copwin。迄今为止最快的算法具有时间复杂度$O(n^{2k+2})$。
2021-12-21 cs.DS math.CO
Guarding isometric subgraphs and Cops and Robber in planar graphs
本文引入子图中宽阴影概念刻画所有1-可保护图，并证明在最多两名警察同时移动的限制下3名警察可在任何平面图中捕获强盗，从而证明了Yang的猜想并加强了Aigner和Fromme的经典结果。
2024-06-03 cs.DM math.CO
Cops against a cheating robber
本文研究警察与作弊机器人博弈，提出推挤数以刻画最少需多少警察登上强盗顶点，并建立其与包围式警察强盗博弈的关系，给出平面图界、多项式判定算法及图积界。
2024-09-17 cs.DM math.CO
Cops and robbers on oriented toroidal grids
警察和强盗的游戏是一个著名的游戏玩图表。本文考虑环面和克莱因瓶的4-正则四边形剖分的直前定向，证明了它们的cop数是有界的。我们还表明，每个k-规则定向的环形网格的cop数是最多13。
2020-05-12 cs.DM math.CO
The Petersen graph is the smallest 3-cop-win graph
在图$G = (V,E)$上的\emph{cops and robbers}游戏中，$k$警察试图抓住一个强盗。在警察回合中，每个警察可以移动到相邻的顶点或保持原位。轮到强盗的时候，他的动作也是一样。如果有一段时间警察和强盗在同一个顶点，警察就赢了。否则，强盗就赢了。捕获抢劫犯所需的最小警察数量称为$G$的\emph{cop number}，并表示为$c(G)$。设$m_k$是满足$c(G) \geq k$的连通图的最小阶.最近，Baird和Bonato通过计算机搜索确定了$m_3=10$，并且该值由Petersen图唯一地获得。在这里，我们给出了这个结果的一个完备的数学证明。在此基础上，我们给出了具有$c(G) >2$和非常高的最大度的图的一些特征。
2012-04-02 math.CO
Accelerated Cops and Robbers
本文研究了Cops and Robbers变体中双方每回合可遍历最多 $s$ 条边（$s \ge 2$）的新模型，给出了网格与超立方体的警察数界限，并确定了 $s=2$ 时警察获胜图的捕获时间。
2025-06-25 cs.DM math.CO
The Game of Cops and Eternal Robbers
我们介绍的游戏警察和永恒的强盗玩的图形，有无限多的强盗，顺序出现在不同的游戏。一个正整数$t$是固定的，并且要求警察在每次游戏中最多在$t$时间步长内捕获抢劫犯。相关的优化参数是永恒的警察数，表示为$c_t^{\infty},$，它等于永恒的控制数的情况下，$t=1,$和足够大的$t.$的警察数我们研究了警察和永恒的强盗的复杂性，并表明，游戏是NP-困难的，当$t$是一个固定的常数和大值的$t$的EXPTIME-完全。我们确定路径和循环的$c_t^{\infty}$的精确值。永恒的警察数研究的缩回，这种方法是适用于给树木的界限，以及强和笛卡尔网格。
2020-03-10 cs.DM math.CO
Cops and Robbers is EXPTIME-complete
研究了图G上判定k个警察能否抓住一个抢劫犯的计算复杂性。1995年，Goldstein和Reingold提出当G和k都是输入的一部分时，这个问题是EXPTIME完全的;我们证明了这个猜想。
2014-12-04 cs.CC cs.DM math.CO
The Game of Cops and Robber on (Claw, Even-hole)-free Graphs
本文研究了一类没有偶数洞（偶数长度的诱导圈）和爪（三叶星）的图上的警察与强盗的对策。图$G$的警察数被定义为捕获强盗所需的最小警察数。在这里，我们证明了所有的无爪偶无洞图的cop数最多为2，此外，捕获时间最多为$2n$轮，其中$n$是图的顶点数。此外，我们的结果可以被看作是研究无爪偶无洞图结构的第一步。
2022-01-11 cs.DM math.CO
Cops and Robbers on graphs of bounded diameter
警察和强盗的游戏是一个众所周知的游戏玩的图形。本文考虑一类直径有界的图。本文改进了Cops的策略和以前使用的概率方法，得到了有界直径图的Cops数的一个改进的上界。特别地，对于直径为4的图，我们将上界从$n^{\frac{2}{3}+o(1)}$提高到$n^{\frac{3}{5}+o(1)}$，对于直径为3的图，将上界从$n^{\frac{2}{3}+o(1)}$提高到$n^{\frac{4}{7}+o(1)}$。
2019-12-16 cs.DM math.CO
Chasing robbers on random geometric graphs---an alternative approach
我们研究了\emph{Cops and Robbers}的顶点追踪博弈，其中警察试图在图的顶点上抓住一个强盗。在给定的图$G$上获胜所需的最小cops数称为$G$的cops数。本文研究了随机几何图$G_{d}(n,r)$，其中$n$的顶点是独立于$[0,1]^d$的随机均匀选取的，如果两个顶点之间的欧氏距离至多为$r$，则两个顶点相邻.主要的结果是，如果$r^{3d-1}>c_d \frac{\log n}{n}$，则cop数是$1$，随着$n$趋于无穷大，概率趋于$1$。病例$d=2$在\cite{bdfm}中使用不同的方法较早且独立地得到证实。我们的方法提供了一个严格的$O(1/r^2)$上限的轮数需要抓住强盗。
2014-06-11 math.CO
The directional localization game on graphs
University of Rhode Island（罗德岛大学）
本文提出定向定位游戏，研究弦图、笛卡尔积图等图类的定向定位游戏，并基于退化度和树宽界定图的定向定位数。
2026-09-03 math.CO
Some remarks on cops and drunk robbers
Aristotle University of Thessaloniki（亚里士多德大学）；Ryerson University（瑞尔森大学）
在警察和强盗都是最优博弈的假设下，警察和强盗博弈已经得到了广泛的研究。在本文中，我们研究的问题，其中警察正在追逐一个喝醉了的强盗（即，强盗谁执行随机行走）上的一个图。我们的主要目标是描述“醉酒的代价。“具体来说，我们研究了最佳版本和醉酒抢劫者的预期捕获时间之比。我们还研究了算法方面的问题，也就是说，如何计算接近最佳的搜索时间表的警察。最后，我们提出了一个初步的调查无形的强盗游戏，并指出这种游戏和图搜索之间的差异。
2011-06-13 cs.DM cs.GT cs.RO
Cops and Robbers for Graphs on Surfaces with Crossings
本文研究带交叉的曲面图上的警察与强盗博弈，提出距离d变体，证明当交叉边对之间存在短路径连接时，1-平面图、k-平面图等图类的警察数在较小d值下有界。
2025-07-02 cs.DM math.CO
Cops and Robbers on 1-Planar Graphs
研究1-平面图上的警察与强盗追逃博弈，证明一般1-平面图警察数无界，极大1-平面图警察数为3，并刻画了外1-平面图的警察数。
2023-09-07 cs.DM math.CO
A note on Cops and Robbers, independence number, domination number and diameter
本文研究了连通图$G$的直径$D(G)$、控制数$γ(G)$、独立数$α(G)$和copnumber $c(G)$之间的关系，证明了（i.）$c(G) \leq α(G)-\lfloor \frac{D(G)-3}{2} \rfloor$，和（ii.）$c(G) \leq γ(G) - \frac{D(G)}{3} + O (\sqrt{D(G)})$。
2022-03-31 cs.DM math.CO
Cops and robber on variants of retracts and subdivisions of oriented graphs
研究定向图上 Cops and Robber 博弈的三种变体（强、普通、弱警察模型），证明强和普通警察数在相应收缩变体中保持不变，并证实所有变体在 2-degenerate 二部图上仍具计算难度。
2023-07-02 cs.DM math.CO
