近似最接近稳定的离散时间系统
Approximating the nearest stable discrete-time system
AI总结：
本文研究了通过计算接近不稳定矩阵的稳定矩阵来稳定离散时间线性系统的问题，提出了一种新的稳定矩阵集合的特征化方法，并设计了高效的投影梯度法来求解非凸优化问题。
摘要：
在本文中，我们考虑通过计算接近不稳定矩阵的稳定矩阵来稳定离散时间线性系统的问题。为此，我们提供了一个新的稳定矩阵集合的特征化方法。我们证明，一个矩阵A稳定当且仅当它可以表示为A=S⁻¹UBS，其中S是正定的，U是正交的，B是一个正半定收缩矩阵（即B的奇异值小于或等于1）。这一特征化导致了一个等价的非凸优化问题，其可行集易于投影。我们提出了一种非常高效的快速投影梯度法来处理变量(S,U,B)并生成局部最优解。我们展示了所提出方法与其他方法相比的有效性。
英文摘要：
In this paper, we consider the problem of stabilizing discrete-time linear systems by computing a nearby stable matrix to an unstable one. To do so, we provide a new characterization for the set of stable matrices. We show that a matrix $A$ is stable if and only if it can be written as $A=S^{-1}UBS$, where $S$ is positive definite, $U$ is orthogonal, and $B$ is a positive semidefinite contraction (that is, the singular values of $B$ are less or equal to 1). This characterization results in an equivalent non-convex optimization problem with a feasible set on which it is easy to project. We propose a very efficient fast projected gradient method to tackle the problem in variables $(S,U,B)$ and generate locally optimal solutions. We show the effectiveness of the proposed method compared to other approaches.
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