Nonlocal Representation of the $sl(2,R)$ Algebra for the Chazy equation

The Chazy XII Equation and Schwarz Triangle Functions

Dubrovin [Lecture Notes in Math., Vol. 1620, Springer, Berlin, 1996, 120-348] showed that the Chazy XII equation $y'''- 2yy''+3y'^2 = K(6y'-y^2)^2$, $K \in \mathbb{C}$, is equivalent to a projective-invariant equation for an affine connection on a one-dimensional complex manifold with projective structure. By exploiting this geometric connection it is shown that the Chazy XII solution, for certain values of $K$, can be expressed as $y=a_1w_1+a_2w_2+a_3w_3$ where $w_i$ solve the generalized Darboux-Halphen system. This relationship holds only for certain values of the coefficients $(a_1,a_2,a_3…

Schwarz triangle functions and duality for certain parameters of the generalised Chazy equation

Schwarz triangle functions play a fundamental role in the solutions of the generalised Chazy equation. Chazy has shown that for the parameters $k=2$ and $3$, the equations can be linearised. We determine the Schwarz triangle functions that represent the solutions in these cases. Some of these Schwarz triangle functions also show up in the dual cases where $k=\frac{2}{3}$ and $k=\frac{3}{2}$, which suggests intriguing connections between the solutions for $k=2$ and $k=3$ with dihedral and tetrahedral symmetry respectively, and $k=\frac{2}{3}, \frac{3}{2}$ with $G_2$ symmetry. Integrating the so…

Painleve VI方程的Picard和Chazy解

Picard and Chazy solutions to the Painleve' VI equation

我研究了一个特殊的家庭的Painlevé VI方程的参数$β=γ=0, δ=1/2$和$2α=(2μ-1)^2$的解决方案，为$2μ\in\interi$。我表明，半整数$μ$的情况下是可积的，解决方案有两种类型：所谓的皮卡德解决方案和所谓的Chazy解决方案。给出了它们的显式公式，并完全确定了它们在奇点$0,1,\infty$附近的渐近行为和它们的非线性单值性。本文研究PVI $μ$方程解的解析延拓的结构，对于任何$μ$使得$2μ\in\interi$。作为一个应用，我对所有的代数解进行了分类。对于$μ$半整数，证明了它们与平面上的正多边形或星形多边形一一对应。对于$μ$整数，证明了所有的代数解都属于一个单参数有理解族。

Painlevé VI的共形场论

Conformal field theory of Painlevé VI

广义Painlevé VI tau函数τ（t）可以解释为二维连续傅里叶变换中任意维初级场的四点相关器，c=1。利用共形块的AGT组合表示，通过确定相应的结构常数，得到了τ（t）在奇点附近的完全显式展开式.检查后，这种扩展，我们讨论的例子所产生的共形块Riccati，皮卡德，Chazy和代数解决方案Painlevé六。

具有非局部耦合的振荡器大阵列中的起搏器

Pacemakers in large arrays of oscillators with nonlocal coupling

我们模拟了具有非局部耦合的一维振子阵列中代数局部异质性的起搏器效应。我们假设振荡器服从简单的相位动力学，并且阵列足够大，使得它可以近似为一个连续的非局部发展方程。我们专注于与积极的平均异质性的情况下，并表明稳定的解决方案的非局部问题存在。特别是，我们表明，这些异质性作为一个波源，在远场发出波。这种效应在三维系统中是不可能的，例如复杂的金-朗道方程，其中弱源的波数在无穷远处衰减。为了获得我们的结果，我们使用一系列同构将非局部问题与粘性程函方程联系起来。然后，我们使用Fredholm性质的拉普拉斯算子在Kondratiev空间获得的程函方程的解决方案，并通过扩展到非局部问题。