Pattern formation (I): The Keller-Segel Model
研究了经典Keller-Segel模型中不稳定常平衡点附近的非线性动力学。给定任何一般扰动的幅度$δ$，我们证明了它的非线性演化是由相应的线性动力学沿一个固定的有限数量的最快增长的模式，在一个时间段$ln(1/δ)$。我们的结果可以解释为一个严格的数学表征早期图案形成的Keller-Segel模型。
2005-09-14 math.AP
A short note on maximal regularity for the heat kernel in Besov spaces and a degenerate 3D Keller-Segel system
LaMME, Univ Evry, CNRS, Université Paris-Saclay（拉姆梅，埃夫里大学，法国国家科学研究中心，巴黎萨克雷大学）
本文证明在临界Lorentz空间中具有小初值的退化Keller-Segel方程的整体存在性。
2026-07-03 math.AP
Large self-similar solutions of the parabolic-elliptic Keller--Segel model
我们构造径向自相似的解决方案，所谓的，最小的抛物椭圆Keller-Segel模型在几个空间维度的径向，非负的初始条件下，是低于Ekrasekhar解决方案-奇异稳定的解决方案，这个系统。
2021-11-09 math.AP
Multiple peak aggregations for the Keller-Segel system
在本文中，我们推导出的Keller-Segel系统在两个空间维的质量聚集量为$8πN$，其中$N=1,2,3,...$以前可用的渐近已计算的情况下，N=1的解决方案的匹配渐近展开。
2012-03-05 math.AP
A study of blow-ups in the Keller-Segel model of chemotaxis
本文研究了Keller-Segel趋化模型，发展了一种自适应时间推进的复合粒子网格数值方法，使我们能够精确地求解奇异解。数值结果（在两个维度），然后通过分析与凯勒-西格尔模型相关的随机微分方程的奇异点的形成和相互作用的分析预测进行比较。
2012-04-20 math.AP physics.bio-ph
Blow-Up of Solutions to the Patlak-Keller-Segel Equation in Dimension $ν\geq2$
证明了$ν$维Patlak-Keller-Segel方程解在全空间爆破的准则.这个条件在三维和更高的维度上是新的。在二维空间中，它完全是Dolbeault和Perthame的爆破条件，即，如果总质量超过$8π$，则发生爆破。
2017-03-01 math.AP
Hölder regularity and Uniqueness theorem on weak solutions to the degenerate Keller-Segel system
在本文中，我们给出了退化Keller-Segel方程组\eqref{eq-cases-aligned-main-problem-of-Keller-Segel-System}在解爆破前在$m>1$和$q>1$范围内的局部Hölder估计.为了解决算子退化所带来的困难，我们得到了依赖于密度函数上范数的一致估计，并修正了多孔介质方程中的能量估计和内禀尺度.作为其应用，通过证明$L^1$ -压缩，证明了\eqref{eq-cases-aligned-main-problem-of-Keller-Segel-System}弱解在Hölder连续函数类中的唯一性.
2015-03-25 math.AP
A nonlinear attraction-repulsion Keller-Segel model with double sublinear absorptions: criteria toward boundedness
本文推广并推广到非线性效应和Logistic扰动的情形，得到了在线性和不含Logistic扰动的情况下，双饱和吸引排斥Keller-Segel系统有界性的判别准则.
2022-08-11 math.AP
Solvability of the Fractional Hyperbolic Keller-Segel System
我们研究了一种新的非局部方法的趋化性问题的数学建模，它描述了一定的人口由于物质浓度的随机运动。考虑分数阶双曲Keller-Segel模型的初边值问题，证明了问题的可解性.可解性的结果主要依赖于分数阶微积分和标量守恒律的动力学公式。
2022-06-02 math.AP
Global solutions of a Keller--Segel system with saturated logarithmic sensitivity function
研究了有界区域$Ω\subset \mathbb{R}^N$，$N\geq2$中具有修正敏感度函数的Keller-Segel型趋化模型.在细胞趋化系数与细胞运动系数之比不太大的条件下，证明了完全抛物方程组整体经典解的存在性。
2015-02-07 math.AP
On the space-time analyticity of the Keller-Segel-Navier-Stokes system
本文研究周期条带上耦合Keller-Segel-Navier-Stokes系统，通过能量方法证明了解直到边界的同步时空解析性。
2024-02-07 math.AP
Nonlinear diffusion in the Keller-Segel model of parabolic-parabolic type
本文研究$u_t-Δu^m=-\mbox{div}(u^{q}\nabla v),\ v_t-Δv+v=u$系统的初边值问题。这个问题就是所谓的具有非线性扩散的Keller-Segel模型。我们的研究表明，非线性扩散可以防止过度拥挤。更准确地说，我们证明了只要$m>q>0$，解决方案是有界的，从而大大推广了已知的结果在这方面。此外，我们的结果似乎意味着Keller-Segel模型可以同时存在有界解和爆破解。
2020-12-17 math.AP
Large mass self-similar solutions of the parabolic-parabolic Keller--Segel model of chemotaxis
在二维空间中，抛物-抛物型Keller-Segel方程组与抛物-椭圆型Keller-Segel方程组有许多共同的性质.特别地，只要它们的质量小于8 Ω，在这两种情况下都存在全局解。然而，这个阈值是不清楚的抛物的情况下，因为它是在抛物椭圆的情况下，在该解决方案的质量高于8？总是爆炸。本文研究了抛物-抛物Keller-Segel系统的正向自相似解，证明了在某些情况下，即使系统的总质量大于8 Ω，系统的正向自相似解也是整体存在的，这在抛物线-椭圆情况下是禁止的。
2009-08-31 math.AP
Propagation of chaos for the Keller-Segel equation over bounded domains
本文严格证明了抛物-椭圆型Keller-Segel方程在有界凸区域上的混沌传播。所考虑的边界条件是无通量条件。作为中间步骤，我们建立了相关的随机方程的适定性以及有界弱解的Keller-Segel方程的适定性。
2018-09-24 math.AP math.DS math.PR
Minimizing movements for quasilinear Keller--Segel systems with nonlinear mobility in weighted Wasserstein metrics
本文通过最小化运动方法，在加权Wasserstein空间和L²空间的乘积空间中证明了具有非线性迁移的quasilinear Keller--Segel系统弱解的全局存在性，并在临界情况下首次建立了该系统的弱解存在性。
2026-02-12 math.AP
A hybrid variational principle for the Keller-Segel system in $\mathbb R^2$
当总质量低于已知的临界值时，我们构造了经典Keller-Segel系统二维细胞趋化运动的弱整体时间解.我们的构造利用了Keller-Segel系统可以在合适的功能积空间中实现为梯度流的事实。这使我们能够采用混合变分原理，它是Jordan，Kinderlehrer和Otto（1998）引入的Wasserstein距离的最小化隐格式的推广。
2014-07-21 math.AP
Dissipation enhancement of planar helical flows and applications to three-dimensional Kuramoto-Sivashinsky and Keller-Segel equations
本文介绍了三维环面上的平面螺旋流，并研究了这种流的耗散增强。然后，我们使用这样的流动作为运输流来解决三维对流Kuramoto-Sivashinsky和Keller-Segel方程。Kuramoto-Sivashinsky方程的整体适定性是在线性化算子在与流动正交的方向上不具有增长模式时实现的。对于任意大小的环面和任意大的初始数据，保证了三维Keller-Segel方程的整体经典解。
2021-04-26 math.AP
Global radial solutions in classical Keller-Segel model of chemotaxis
我们考虑最简单的抛物椭圆模型的趋化性在整个空间中的几个维度。根据适当的Morrey规范的径向全球时间解的存在性的标准。
2018-07-07 math.AP
Microscopic derivation of the Keller-Segel equation in the sub-critical regime
在亚临界化疗敏感性$χ< 8 π$的情况下，我们从$N$相互作用粒子的随机系统导出了二维Keller-Segel方程。库仑相互作用力用$N^{- α}$大小的截止值正则化，用任意的$α\in (0, 1 / 2)$。特别是，我们得到一个定量的结果之间的最大距离的真实和平均场$N$粒子轨迹。
2017-03-13 math.AP
Large global-in-time solutions of the parabolic-parabolic Keller-Segel system on the plane
众所周知，平面上抛物-椭圆型Keller-Segel趋化系统存在总质量低于临界值$8π$的整体时间正则非负解.质量大于$8π$的解在有限时间内爆炸。我们证明了抛物-抛物Keller-Segel方程的情况是不同的：即使初始数据是有限的带号测度，每个质量都可能导致时间上的全局解。这些解不必是唯一的，即使我们只限于非负解。
2014-01-29 math.AP
Global existence and temporal decay in Keller-Segel models coupled to fluid equations
本文考虑二维和三维空间中不可压Navier-斯托克斯方程耦合的Keller-Segel模型。对于氧浓度方程为抛物型和双曲型两种情况，我们建立了正则解的局部存在性，并给出了爆破准则。在初始数据较小的条件下，证明了该模型的整体存在性和时间衰减估计。
2013-04-28 math.AP
Suppression of blow up by mixing in generalized Keller-Segel system with fractional dissipation
本文考虑一类具有分数阶耗散的广义抛物-椭圆型Keller-Segel方程的Cauchy问题，其中考虑了不可压流对平流的附加混合效应.在平流作用下，在适当的混合条件下，研究了大初值条件下方程解的适定性。利用非线性最大值原理建立了解的整体$L^\infty$估计，得到整体经典解.
2019-08-07 math.AP
The one-dimensional Keller-Segel model with fractional diffusion of cells
研究了一维Keller-Segel模型中的扩散被一个非局部算子所代替，即指数为$0<α\leq 2$的分数阶扩散.我们证明了经典的二维Keller-Segel系统的一些特征：爆破可能会发生，也可能不会发生，这取决于初始数据。更确切地说，当$α<1$和细胞的初始构型充分集中时，在有限时间内出现奇点。相反，如果初始密度在$L^{1/α}$范数意义下足够小，则$α\leq1$的全局存在性成立。
2009-06-24 math.AP
Blowing up radial solutions in the minimal Keller-Segel model of chemotaxis
我们考虑最简单的抛物椭圆模型的趋化性在整个空间中的几个维度。根据适当的Morrey空间规范的径向对称解的爆破准则。
2018-09-03 math.AP
Degenerate Cahn-Hilliard and incompressible limit of a Keller-Segel model
Keller-Segel模型是代表生物体中趋化性的众所周知的系统。研究了Keller-Segel方程的一个广义非线性变形到退化Cahn-Hilliard方程组的收敛性。这种分析是可能的，从观察到的凯勒-西格尔系统是等效的放松版本的卡恩-希利亚德系统。此外，后者的等效系统有一个有趣的应用在活组织的建模。实际上，可压缩和不可压缩多孔介质型方程被广泛用于描述活组织的力学性质。松弛的简并Cahn-Hilliard系统可以被视为可压缩的活组织模型，其运动由达西定律驱动，并考虑了组织表面处的粘度和表面张力的影响。我们研究了Keller-Segel方程组到Cahn-Hilliard方程的收敛性以及模型的一些分析性质，如模型的不可压缩极限。我们的分析依赖于先验估计，紧性，并在Keller-Segel系统和放松退化Cahn-Hilliard系统之间的等价性。
2021-12-20 math.AP
The traveling wave solutions of the 1D hyperbolic Keller-Segel equations
Texas A&M University（德克萨斯农工大学）；University of Arkansas at Little Rock（阿肯色州立大学小石城分校）
本文研究具有群体感应的一维双曲Keller-Segel方程在单侧远场条件下的行波解，该解在运动坐标系中分段光滑且在间断处满足熵不等式。
2026-08-13 math.AP
Boundary concentration phenomena for the higher-dimensional Keller-Segel system
研究了具有旋转对称性的$\mathbb R^N,$ $N\ge3,$中光滑有界区域上具有线性化动灵敏度函数的Keller-Segel系统稳态的存在性。我们发现三种不同类型的化学引诱物浓度集中沿适当的$(N-2)-$维极小子流形的边界。相应的密度的细胞黏菌表现出在极限一个或多个狄拉克措施支持这些边界子流形。
2016-03-21 math.AP
On the Cauchy problem for the fractional Keller-Segel system in variable Lebesgue spaces
本文在变指数Lebesgue空间中研究分数阶Keller-Segel系统的Cauchy问题，通过将其化为广义非线性热方程并结合分数阶热核最优衰减估计，建立了两个适定性结果。
2024-05-02 math.AP
Propagation of chaos for a sub-critical Keller-Segel model
本文研究了亚临界Keller-Segel方程。从与之相关的随机粒子系统出发，给出了其适定性结果和混沌性质的传播。更准确地说，我们表明，该系统的经验措施趋于唯一的解决方案的极限方程的粒子数趋于无穷大。
2013-06-17 math.AP math.PR
On Patlak-Keller-Segel system for several populations: a gradient flow approach
研究了多种群抛物椭圆型Patlak-Keller-Segel系统解的整体存在性.我们证明，如果初始质量满足一个适当的亚临界性的概念，那么系统有一个解决方案定义的所有时间。我们探索Wasserstein空间中的梯度流结构来研究存在性问题。此外，我们还证明了所得到的解满足能量耗散不等式。
2019-02-27 math.AP
Stabilization in the Keller--Segel system with signal-dependent sensitivity
本文讨论了具有信号依赖灵敏度\begin{align*} &u_t = Δu - χ\nabla \cdot (uS(v)\nabla v), &v_t = Δv - v + u, \end{align*}的Keller-Segel方程组，其中$χ>0$和$S$是灵敏度$S(s)=\frac{1}{(a+s)^{k}}$，$k>1$，$a\ge 0$的推广函数，并证明了在对$χ>0$附加的小性条件下，整体经典解的指数收敛性.
2018-10-21 math.AP
A general existence result for stationary solutions to the Keller-Segel system
考虑光滑有界平面区域上的Liouville型偏微分方程，它与Keller-Segel趋化模型的定态解有关。我们证明了解的存在性在一些代数条件下的参数。特别是，如果域不是单连通的，那么我们可以找到参数的一般选择的解决方案。我们使用变分和莫尔斯理论方法。
2018-12-09 math.AP
Stability of infinite time blow up for the Patlak Keller Segel system
本文考虑二维空间中描述细菌趋化聚集的抛物椭圆Patlak-Keller-Segel（PKS）模型。当质量等于$8π$和二阶矩是有限的（双临界的情况下），我们给出了一个精确的描述的动态时间趋于无穷大，并提取的限制轮廓和速度。证明表明，这种动态是稳定的扰动下。
2016-10-03 math.AP
Existence of solutions for the Keller-Segel model of chemotaxis with measures as initial data
给出了以小于$8π$的所有原子为初始数据的二维Keller-Segel模型解的存在性的一个简单证明.这个结果是由Senba-Suzuki和Bedrossian-Masmoudi用不同的论证得到的。此外，我们还证明了解的存在时间的一致界以及最优超压缩性估计。
2015-10-17 math.AP
Generalised supersolutions with mass control for the Keller-Segel system with logarithmic sensitivity
对任意空间维数具有对数灵敏度的抛物-抛物Keller-Segel方程组，建立了控制总muss的广义整体超解的存在性.证明了这类光滑上解实际上是经典解。与先前存在的构造不同，既不需要趋化敏感性系数小，也不需要初始数据径向对称。关键词：趋化性;广义上解;整体存在性;对数灵敏度
2018-04-15 math.AP
Global Well-posedness of the 2D Stochastic Self-consistent Keller-Segel-Navier-Stokes System with Subcritical Cellular Mass
University of Washington（华盛顿大学）
本文研究了二维随机凯勒-塞格尔-纳维-斯托克斯系统在亚临界细胞质量下的全局适定性问题，通过证明存在唯一的全局时间解，探讨了细胞在随机流体流动中的集体运动机制。
2026-05-16 math.AP
The fractional Keller-Segel model
Keller-Segel模型是模拟细胞系统中的趋化聚集的偏微分方程系统。这个模型在d ≥ 2的维度上有足够大的初始条件的解，但所有的解在一维上都是正则的;这是一个数学事实，对生物系统中可能形成的模式有着至关重要的影响。Keller-Segel模型的最强假设之一是细胞运动的扩散特性，已知在许多情况下是错误的。我们将此模型扩展到这样的情况下，其中的细胞扩散是更好地模拟分数算子。我们分析了这个分数阶Keller-Segel模型，发现所有的解在一维时间上又是全局有界的。这一事实表明了从Keller-Segel模型获得的主要生物学结论的稳健性。
2006-11-16 math.AP nlin.AO q-bio.QM
Stationary solutions to the Keller-Segel equation on curved planes
本文研究曲面上Keller-Segel方程的定常解.我们证明了质量是$8 π$和一个尖锐的衰变界的必要性。值得注意的是，我们的结果不需要解决方案有一个有限的二阶矩，因此已经在平坦的情况下是新颖的。此外，我们提供了一个对应的静态Keller-Segel方程的静态解的曲面和正弯曲的黎曼度量的球。我们用这种对偶性来证明在某些情况下解的不存在性。特别是，我们显示存在的度量，任意接近平面上的平坦的，不支持静态凯勒-西格尔方程（任何质量）的固定的解决方案。最后，作为一个补充的结果，我们证明了一个弯曲版本的对数Hardy-Littlewood-Sobolev不等式，并使用它来表明，凯勒-西格尔自由能是有界的，从下面正好当质量是$8 π$，即使在弯曲的情况下。
2022-01-03 math.AP
Phase transitions and bump solutions of the Keller-Segel model with volume exclusion
我们发现，在一维的Keller-Segel模型与Neumann边界条件和二次细胞扩散有一个复杂的相变图依赖于化学敏感性的强度。显式计算使我们能够找到无数的对称和非对称的定态，其稳定性主要是通过自由能减少的数值方案进行研究。通过这些数值模拟也说明了亚稳态行为和阶梯自由能衰减。
2019-04-26 math.AP
Uniqueness of solutions for Keller-Segel system of porous medium type coupled to fluid equations
利用对偶论证和消失粘性方法证明了三维多孔介质型方程组与Stokes方程组耦合的Hölder连续弱解的唯一性.一个重要的步骤是估计的格林函数的抛物型方程的低阶项的变系数，这似乎是独立的兴趣。
2018-01-02 math.AP
Global existence of free-energy solutions to the 2D Patlak--Keller--Segel--Navier--Stokes system with critical and subcritical mass
考虑$\mathbb{R}^2$中的Patlak-Keller-Segel-Navier-Stokes耦合系统，该系统描述细胞和流体的集体运动，其中细胞被化学物质吸引并被环境流体速度输送，流体流动由细胞引起的摩擦力推动.本文的主要结果是证明了具有临界和次临界质量的二维Patlak-Keller-Segel-Navier-Stokes方程组整体自由能解的存在性。
2021-06-22 math.AP
Global existence of large solutions for the parabolic-elliptic Keller-Segel system in Besov type spaces
该数学研究聚焦抛物-椭圆型Keller-Segel系统，在齐次Besov型空间框架下提出一类初值，突破初值范数限制，证明其可生成任意大初值对应的全局光滑解。
2023-11-09 math.AP
Global weak solutions in a three-dimensional Keller-Segel-Navier-Stokes system with nonlinear diffusion
在三维光滑边界有界区域$Ω\subseteq \mathbb{R}^3$中，考虑了拟线性耦合Keller-Segel-Navier-Stokes方程组在$n$和$c$的Neumann边界条件和$u$的无滑移边界条件下的解，其中$m>0,κ\in \mathbb{R}$是给定的常数，$ϕ\in W^{1,\infty}(Ω)$ .若$ m> 2$，则对所有合理正则的初值，相应的$(KSNF)$初边值问题具有全局定义的弱解.
2017-04-08 math.AP
Uniqueness of the stochastic Keller-Segel model in one dimension
在最近的一篇论文（J.微分方程，310：506-554，2022）中，作者证明了一维（1D）经典Patlak-Keller-Segel系统在时间齐次空间Wiener过程驱动下的随机版本的鞅解的存在性。本文是一维随机Patlak-Keller-Segel系统的两个结果的继续。首先，我们建立了解的一些额外的正则性结果。额外的规律性对于它的数值建模是重要的。然后，作为第二个结果，我们得到了一维随机Patlak-Keller-Segel系统解的路径唯一性。最后，我们得到了该方程组在一维空间的强解的存在性。
2022-09-27 math.AP math.PR
Suppression of blow up by a logistic source in $2$D Keller-Segel system with fractional dissipation
本文考虑一类具有分数阶扩散和Logistic强迫的二维抛物椭圆型Keller-Segel方程.对于任意初始数据，不带大小限制，$c<α\leq 2$，我们得到了整体及时正则解的存在性，其中$c \in (0,2)$依赖于方程的参数。对于更大范围的$α's$，我们证明了在一般初值条件下整体时间弱解的存在性.
2016-09-13 math.AP
A note on the variational analysis of the parabolic-parabolic Keller-Segel system in one spatial dimension
我们证明了一维抛物-抛物Keller-Segel系统在时间上全局弱解的存在性。如果系统的耦合是适当的弱，我们证明了这些解决方案的唯一的平衡点的指数速度收敛。我们的证明是基于一个潜在的梯度流结构的混合Wasserstein- $L^2$距离。
2015-02-06 math.AP
The Flux Limited Keller-Segel System; Properties and Derivation from Kinetic Equations
通量限制的Keller-Segel（FLKS）系统是一个宏观模型，它考虑了饱和的速度，描述细菌的趋化运动。从描述细菌运动的运动方程出发，导出了双曲型和一些特殊的抛物线型。FLKS模型还具有如实验观察到的行进脉冲解存在的优点。它最近引起了许多作者的注意。我们设计并证明了一个一般推导的FLKS离开的动力学模型下刚度假设的趋化反应和重新缩放的动力学方程，根据这个刚度参数。与经典的Keller-Segel系统不同，FLKS系统的解在有限或无限时间内不会爆破。然后我们研究了这个通量受限的Keller-Segel系统的径向对称定态的存在性和长时间行为。
2018-01-22 math.AP
Large mass boundary condensation patterns in the stationary Keller-Segel system
本文考虑具有Neumann边界条件的$Ω$中的边值问题$-Δu + u =λe^u$，其中$Ω$是$\mathbb R^2$，$λ>0.$中的有界光滑区域。我们建立了一个解决方案$u_λ$的存在，它表现出一个尖锐的边界层沿整个边界$\partialΩ$作为$λ\to 0$。这些溶液具有大质量，因为$ \int_Ωλe^{u_λ} \sim |\logλ|.$
2016-03-11 math.AP
Existence of global solutions for a Keller-Segel-fluid equations with nonlinear diffusion
本文考虑一个由Navier-斯托克斯方程和多孔介质类型的Keller-Segel系统组成的耦合系统，该系统模拟了生活在流体中并消耗氧气的游动细菌的运动。我们建立了三维系统Cauchy问题的弱解的整体存在性。另外，如果考虑Stokes方程组，而不是Navier-Stokes方程组，我们证明了有界弱解在时间上的全局存在性。
2015-04-09 math.AP
A simple proof of non-explosion for measure solutions of the Keller-Segel equation
利用{ \it双粒子}矩计算，我们给出了一个简单的证明：当从任意初始测度$f_0$出发，使得$f_0(\mathbb{R}^2)< 8 π$，$2$维抛物椭圆型Keller-Segel方程存在整体弱解.
2022-03-28 math.AP
Boundedness of solutions to the critical fully parabolic quasilinear one-dimensional Keller-Segel system
本文考虑一类具有临界非线性扩散的一维全抛物拟线性Keller-Segel方程组。我们显示均匀的时间有界的解决方案，这意味着，不像在更高的维度，有没有临界质量的情况下，临界扩散现象。为此，我们利用了[3]中著名的李雅普诺夫泛函和最近引入的新的类似李雅普诺夫泛函的估计。
2018-03-26 math.AP
On the $8π$-critical mass threshold of a Patlak-Keller-Segel-Navier-Stokes system
本文提出了一个具有耗散自由能的Patlak-Keller-Segel-Navier-Stokes耦合系统。在平面$\rr^2$上，如果胞元的总质量严格小于$8π$，则经典解对任何有限时间都存在，并且它们的$H^s$ -Sobolev范数在时间上几乎一致有界.对于径向对称的解决方案，这个$8π$质量阈值是关键的。在圆环面$\mathbb{T}^2$上，在相同的质量约束下，解在时间上一致有界。
2021-01-17 math.AP
Critical mass on the Keller-Segel system with signal-dependent motility
研究了具有密度依赖运动的Keller-Segel方程组在二维有界光滑区域上的整体有界性和解的爆破性.我们表明，如果运动函数呈指数衰减，那么一个临界质量的现象类似于最小的Keller-Segel模型将出现。也就是说，存在一个数$m_*>0$，使得如果初始细胞质量（即细胞密度的初始值的$L^1$ -范数）小于$m_*$，则解将以均匀的时间边界全局存在，而如果初始细胞质量大于$m_*$，则解可能爆炸。
2020-05-13 math.AP
Finite-time blow-up for the three dimensional axially symmetric Keller-Segel system
本文通过调整粘合技术构造了三维轴对称Keller-Segel系统的有限时间爆破解，推导出Type II奇异性的精确渐近展开，推广了前人工作，并发现质量沿多个环集中且获得了爆破速率的精细展开。
2025-08-11 math.AP
