检测线性算子的局域本征态
Detecting localized eigenstates of linear operators
AI总结：
本文提出通过分析函数f_α检测大绝对值本征值对应的局域本征向量位置，利用随机算法实现高效计算，适用于带状矩阵和非局部算子等场景。
摘要：
我们描述了一种检测线性系统Ax=λx中大绝对值本征值对应的局域本征向量位置的方法。定义了函数f_α: {1,2,…,n}→R，其中f_α(k)=log(‖A^αe_k‖_{ℓ^2})，其中α≥0为参数，e_k为第k个标准基向量。证明了大绝对值本征值对应的本征向量会局部最大化f_α：幂迭代法中的亚稳态可用于预测局域化。我们提出了一种快速随机算法，并讨论了不同示例：随机带状矩阵、局部算子-Δ+V和非局部算子(-Δ)^{3/4}+V的离散化。
英文摘要：
We describe a way of detecting the location of localized eigenvectors of a linear system $Ax = λx$ for eigenvalues $λ$ with $|λ|$ comparatively large. We define the family of functions $f_α: \left\{1.2. \dots, n\right\} \rightarrow \mathbb{R}_{}$ $$ f_α(k) = \log \left( \| A^α e_k \|_{\ell^2} \right),$$ where $α\geq 0$ is a parameter and $e_k = (0,0,\dots, 0,1,0, \dots, 0)$ is the $k-$th standard basis vector. We prove that eigenvectors associated to eigenvalues with large absolute value localize around local maxima of $f_α$: the metastable states in the power iteration method (slowing down its convergence) can be used to predict localization. We present a fast randomized algorithm and discuss different examples: a random band matrix, discretizations of the local operator $-Δ+ V$ and the nonlocal operator $(-Δ)^{3/4} + V$.
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