A multiplicative coalescent with asynchronous multiple mergers
Sophie Lemaire
备注：
45 pages, 1 figure. This paper presents in a more general setting some results described in arXiv:1308.4100 [math.PR] and in Section 5 of arXiv:1211.0300 [math.PR] as well as new results. Version 2: results for the subcritical regime have been improved. Examples have been added in Appendix A.4
We define a Markov process on the partitions of $[n]=\{1,\ldots,n\}$ by drawing a sample in $[n]$ at each time of a Poisson process, by merging blocks that contain one of these points and by leaving all other blocks unchanged. This coalescent process appears in the study of the connected components of random graph processes in which connected subgraphs are added over time with probabilities that depend only on their size.
First, we determine the asymptotic distribution of the coalescent time. Then, we define a Bienayme-Galton-Watson (BGW) process such that its total population size dominates the block size of an element. We compute a bound for the distance between the total population size distribution and the block size distribution at a time proportional to $n$. As a first application of this result, we establish the coagulation equations associated with this coalescent process. As a second application, we estimate the size of the largest block in the subcritical and supercritical regimes as well as in the critical window.
The eternal multiplicative coalescent encoding via excursions of Lévy-type processes, with Supplement
乘法合并是一个平均场马尔可夫过程，其中任何一对块体以与它们的质量的乘积成比例的速率合并。Aldous和Limic（1998）用三种不同的方式描述了乘法结合的每一个极端永恒版本，其中一种将其（边际）定律与某个Lévy型过程的过去最小值之上的有序偏移长度的定律相匹配。通过对Aldous（1997）和Aldous and Limic（1998）的广度优先行走结构的修改，以及Uribe（2007）论文中的一些新见解，这项工作解决了Aldous（1997）在Aldous and Limic（1998）更一般背景下的一个开放问题（3）。非正式地说，每一个永恒的版本都完全由它的Lévy型过程编码，与Aldous最初的直觉相反，乘法结合的时间确实对应于Léy型过程漂移的常数部分的线性增加。在Aldous（1997）的“标准乘法合并”背景下，这个结果首先由Armendáriz在2001年宣布，而它的第一个公开证明是由于Broutin和Marckert（2016），他们同时解释了多余（或剩余）边计数的过程。
A new encoding of coalescent processes. Applications to the additive and multiplicative cases
我们重新审视离散的加法和乘法聚结，从单位质量的$n$粒子开始。已知这些情况与一些“组合合并过程”有关：在加法情况下，凯莱树的碎片或停车方案的时间反转，以及乘法情况下的随机图过程$(G(n,p))_p$。在时间固定的情况下，将这些组合对象编码到由直线索引的实值过程中，是将质量的渐近行为描述为$n\to +\infty$的关键。我们建议在顶点上使用Prim顺序而不是经典的宽度优先（或深度优先）遍历来编码组合合并过程。在加法的情况下，这在过程的不同表示之间产生了有趣的联系。在乘法的情况下，它允许一个回答一个更强的版本的一个开放的问题奥尔德斯[安。第25卷，第100页。812- 854，1997年]：我们证明，不仅序列的（重标度）质量，被看作是一个由时间$λ$索引的过程，在分布上收敛到具有抛物线漂移$(B_t+λt - t^2/2, t\geq 0)$的布朗运动的当前最小值以上的偏移长度的重新排序序列，但我们也构建了Bhamidi的标准增广乘法合并的版本，Budhiraja and Wang [Probab.理论关系，出现]使用附加的泊松点过程。
A dynamical approach to spanning and surplus edges of random graphs
Univ Paris Est Créteil, Univ Gustave Eiffel, CNRS, LAMA UMR 8050（巴黎东克雷泰伊大学，古斯塔夫·埃菲尔大学，法国国家科学研究中心，LAMA）；Institut de Recherche Mathématique Avancée, UMR 7501 Université de Strasbourg et CNRS（斯特拉斯堡大学与法国国家科学研究中心联合高级数学研究所）
