辛群和正交群作用于$\text{GL}(n,{\mathbb C})$ -模的不变量
Invariants of symplectic and orthogonal groups acting on $\text{GL}(n,{\mathbb C})$-modules
摘要：
令$\text{GL}(n) = \text{GL}(n, {\mathbb C})$表示复一般线性群，令$G \subset \text{GL}(n)$是经典复子群$\text{O}(n)$、$\text{SO}(n)$和$\text{Sp}(2k)$之一（在$n = 2k$的情况下）。我们取一个多项式$\text{GL}(n)$ -模$W$，考虑对称代数$S(W)$ .推广了以前关于$G=\text{SL}(n)$的结果，给出了一种确定不变量$S(W)^G$代数的Hilbert级数$H(S(W)^G, t)$的方法.然后给出计算$H(S(W)^G, t)$的显式例子。作为进一步的应用，我们将我们的方法也计算希尔伯特系列的代数的不变量$Λ(S^2 V)^G$和$Λ(Λ^2 V)^G$，其中$V = {\mathbb C}^n$表示标准的$GL(n)$ -模块。
英文摘要：
Let $\text{GL}(n) = \text{GL}(n, {\mathbb C})$ denote the complex general linear group and let $G \subset \text{GL}(n)$ be one of the classical complex subgroups $\text{O}(n)$, $\text{SO}(n)$, and $\text{Sp}(2k)$ (in the case $n = 2k$). We take a polynomial $\text{GL}(n)$-module $W$ and consider the symmetric algebra $S(W)$. Extending previous results for $G=\text{SL}(n)$, we develop a method for determining the Hilbert series $H(S(W)^G, t)$ of the algebra of invariants $S(W)^G$. Then we give explicit examples for computing $H(S(W)^G, t)$. As a further application, we extend our method to compute also the Hilbert series of the algebras of invariants $Λ(S^2 V)^G$ and $Λ(Λ^2 V)^G$, where $V = {\mathbb C}^n$ denotes the standard $GL(n)$-module.
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