Hierarchical matrix arithmetic with accumulated updates
分层矩阵可以用来构造有效的预条件的偏微分和积分方程，利用低秩结构的三角分解和逆的相应的刚度矩阵。这些预处理器的设置阶段严重依赖于低秩更新，这些更新占算法总运行时间的很大一部分，特别是对于三维问题产生的矩阵。本文提出了一种新的算法，可以显著减少低秩更新的数量，并可以将设置时间减少50%或更多。
2019-06-12 cs.NA math.NA
Min-plus algebraic low rank matrix approximation: a new method for revealing structure in networks
University of Bath（巴斯大学）
本文提出min-plus低秩矩阵近似方法，通过使用min和plus运算代替传统矩阵乘法中的plus和times，能检测到不同于PCA等传统方法的网络结构特征。
2017-08-22 cs.NA cs.SI math.NA
On the equivalence between low rank matrix completion and tensor rank
本文探讨了低秩矩阵补全与张量秩问题的等价性，证明三者可相互转换。
2015-01-09 cs.NA math.NA
Optimal regularized inverse matrices for inverse problems
Virginia Tech（弗吉尼亚理工大学）
本文提出了一种基于低秩正则化逆矩阵的最优近似方法，通过分解问题为更小的秩问题，提高了处理大规模稀疏矩阵反问题的效率与精度。
2016-03-18 cs.NA math.NA
Improved ParaDiag via low-rank updates and interpolation
针对含时线性PDE时空离散产生的矩阵方程，提出基于低秩修正的张量化Krylov子空间法和插值求解法两种改进ParaDiag的方法，无需迭代求精即可获高精度，经多类PDE验证性能优于现有方法。
2023-06-14 cs.NA math.NA
Performance Enhancement of the Recursive Least Squares Algorithms with Rank Two Updates
本文提出了结合指数和瞬时遗忘的秩二更新递归最小二乘算法（RLSR2），建立了信息矩阵逆收敛的新特性，并在谐波干扰下的电网事件估计中验证了其性能提升。
2025-07-15 cs.IT cs.NA math.DS
Construction of high-order conservative basis-update and Galerkin dynamical low-rank integrators
针对动理学问题数值模拟成本高的问题，本研究对常用的基更新与Galerkin动力低秩积分器进行扩展，在几乎不增加计算成本的前提下实现局部守恒，仅需少量修改现有实现，经辐射输运与等离子体物理模拟验证了其特性。
2025-06-15 cs.NA math.NA
A parallel Basis Update and Galerkin Integrator for Tree Tensor Networks
针对高维张量微分方程数值解的计算与内存挑战，本研究将矩阵微分方程的并行基更新与伽辽金积分器扩展到塔克张量和树张量网络，提出鲁棒低秩时间积分算法并验证其在多领域问题中的效率。
2024-12-01 cs.NA math.NA
Exploiting the structure effectively and efficiently in low rank matrix recovery
低秩模型起源于广泛的应用，包括机器学习、信号处理、计算机代数、计算机视觉和成像科学。低秩矩阵恢复是关于从不完整的测量重构低秩矩阵。在这项调查中，我们回顾了低秩矩阵恢复的最新进展，重点放在三个典型的情况下：矩阵传感，矩阵完成和相位检索。综述了该问题的有效和高效的方法，包括核范数最小化，基于矩阵分解的投影梯度下降，以及基于低秩矩阵嵌入流形的黎曼优化。数值配方不同的方法强调，同时伴随着相应的理论恢复保证。
2018-09-11 cs.NA math.NA
High-order robust basis-update & Galerkin integrators for dynamical low-rank approximation
Oak Ridge National Laboratory（橡树岭国家实验室）；Seamless Labs Inc.（Seamless Labs公司）；Norwegian University of Life Sciences（挪威生命科学大学）
本研究提出不依赖显式时间积分的通用阶BUG积分器，经误差界证明和数值基准测试，其性能显著优于现有BUG积分器，可用于动态低秩近似的高阶数值计算。
2026-08-31 cs.NA math.NA
Low-rank updates and a divide-and-conquer method for linear matrix equations
EPF Lausanne（洛桑联邦理工学院）；Department of Mathematics, University of Pisa（比萨大学数学系）；ISTI-CNR（意大利国家研究委员会信息系统技术研究所）
本文提出了一种基于张量化的Krylov子空间的新算法，用于快速更新线性矩阵方程在系数发生低秩变化时的解，并展示该算法如何加速连续时间代数Riccati方程的牛顿方法。同时，该算法为具有分层低秩结构的线性矩阵方程提供了新的分治方法，如HODLR、HSS和带状矩阵。数值实验表明，分治方法在计算时间和内存消耗方面优于现有方法。
2019-05-29 cs.NA math.NA
A Rank Revealing Randomized Singular Value Decomposition (R3SVD) Algorithm for Low-rank Matrix Approximations
本文提出R3SVD算法，通过正交高斯采样逐步构建低秩近似，并自适应估计秩以捕捉矩阵主要特征。算法在图像压缩和矩阵补全中验证了有效性。
2016-05-26 cs.NA math.NA
Generalized rank-constrained matrix approximations
本文给出了Frobenius范数下秩约束矩阵逼近的显式解，推广了经典的低秩矩阵逼近问题。
2006-03-29 cs.NA math.NA math.OC
Hierarchical Matrices with Tucker Blocks: Construction and Forward Evaluation
School of Mathematical Sciences, Fudan University（复旦大学数学科学学院）；Shanghai Key Laboratory for Contemporary Applied Mathematics, Fudan University（复旦大学当代应用数学上海市重点实验室）
本文提出分层Tucker低秩矩阵，以线性复杂度逼近非振荡核函数，构造和乘法算法分别达线性和拟线性复杂度，实验验证其内存和运行时间优势，并支持拟均匀网格。
2026-10-30 cs.NA math.NA
Algorithm to compute the rank and a Cartan subalgebra of a matrix Lie algebra with Mathematica
本文提出用Mathematica例程计算矩阵李代数的秩并确定Cartan子代数。
2002-05-22 cs.NA math.NA
Decomposition Approach for Low-rank Matrix Completion
本文提出了一种基于矩阵分解的低秩矩阵完备化方法。将不完全矩阵分解为若干子矩阵，并利用建议的裁剪步骤填充这些子矩阵，然后重新组合形成低秩完全矩阵。分而治之的方法可以显着降低计算复杂度和存储需求。此外，所提出的分解方法可以自然地纳入任何现有的矩阵完成方法，以获得进一步的增益。与大多数现有的方法不同，该方法不是基于范数最小化，也不是SVD分解。这使得它可以应用于实域之外，并可以用于包括有限域在内的任意域。
2010-06-28 cs.NA math.NA
Reduce the rank calculation of a high-dimensional sparse matrix based on network controllability theory
本文受复杂网络可控性理论启发，将矩阵秩计算转化为最大匹配问题，并利用腔方法提出一种低复杂度的高维稀疏矩阵秩快速估计算法，在保持高精度的同时显著快于SVD。
2022-04-06 cs.NA math.NA
Randomized Algorithms for Low-Rank Matrix and Tensor Decompositions
Oden Institute & Dept. of Mathematics, University of Texas at Austin（德克萨斯大学奥斯汀分校奥登研究所与数学系）
本文提出随机算法用于加速低秩矩阵和张量分解，涵盖SVD、ID、CUR等方法，并探讨其在张量分解中的应用。
2025-12-30 cs.NA math.NA
Compact representation of the full Broyden class of quasi-Newton updates
University of California, Merced（加州大学默塞德分校）；Wake Forest University（维克森林大学）
本文提出全Broyden类拟牛顿更新矩阵的紧凑表示，允许每步更新为秩一或秩二。通过数值实验验证了该表示的有效性，并展示了如何计算其逆矩阵及线性系统求解算法。
2017-05-23 cs.NA math.NA
A matrix and its inverse: revisting minimal rank completions
本文重新审视了连接矩阵及其逆的三角部分的最小秩的公式，并将其与结构秩矩阵相关联，同时讨论了泛型最小秩问题。
2006-08-04 cs.NA math.NA math.RA
Adaptive, Matrix-Free Low-Rank Approximation
North Carolina State University（北卡罗来纳州立大学）
研究无矩阵环境下固定容差低秩逼近问题，提出自适应、无矩阵的随机QB算法，通过随机误差指示器、无矩阵秩修剪步骤等，在不同测试矩阵上大概率满足容差并获接近最优的秩。
2026-07-09 cs.NA math.NA
Efficiently updating a covariance matrix and its LDL decomposition
方程提出了有效地更新或downdate大量的$m$维观测的协方差阵。对协方差阵的更新和下调以及混合更新/下调被显示为秩- $k$修改，其中$k$是添加的新观测值的数量加上删除的旧观测值的数量。因此，更新和降级方程减少了修改$Θ((k+1)m^2)$而不是$Θ((n+k+1)m^2)$或$Θ((n-k+1)m^2)$所需的乘法次数，其中$n$是初始观测值的数量。具有用于更新的秩- $k$公式还允许应用多个其它已知的恒等式，从而提供将更新和向下更新直接应用于协方差阵的逆和分解的方式。为了说明，我们提供了一种有效的算法，用于将秩$k$更新应用于协方差阵的LDL分解。
2020-02-20 cs.NA math.NA stat.CO
Guaranteed Non-Orthogonal Tensor Decomposition via Alternating Rank-$1$ Updates
University of California, Irvine（加州大学欧文分校）；Microsoft Research, New England（微软新英格兰研究院）
本文提供了一种保证CP张量分解的局部和全局收敛性，通过交替秩-1更新方法，适用于非对称张量，证明了在特定秩条件下可恢复过完备分解。
2015-03-04 cs.LG cs.NA math.NA
Sensitivity of low-rank matrix recovery
本文研究低秩矩阵恢复与秩-r近似问题的一阶灵敏度，给出条件数计算算法和显式公式，并揭示其依赖于相对奇异值间隙。
2021-10-05 cs.NA math.NA
Efficient Orthogonal Decomposition with Automatic Basis Extraction for Low-Rank Matrix Approximation
针对低秩矩阵逼近中矩阵秩未知的问题，提出具有自动基提取的高效正交分解（EOD-ABE）算法，通过随机算法自动提取基以揭示秩，理论与数值验证表明其速度、准确性和鲁棒性优于现有方法，并在图像重建中取得显著成果。
2024-04-26 cs.NA math.NA
Analytical formulas for calculating the extremal ranks of the matrix-valued function $A + BXC$ when the rank of $X$ is fixed
CEMA, Central University of Finance and Economics（中央财经大学经济与管理定量研究中心）
本文利用 $A$, $B$, $C$ 的同步分解和初步结果，建立了当变量矩阵 $X$ 的秩固定时，$A + BXC$ 的最大和最小秩的解析公式，并应用于部分指定分块矩阵的秩补全。
2013-01-16 cs.NA math.NA math.OC
A Variational Method for Conformable Fractional Equations Using Rank-One Updates
该研究针对带可分导数的可分分数阶偏微分方程，提出基于秩一更新的变分方法，通过希尔伯特空间框架与贪心算法实现能量衰减，结合离散化处理两类模型问题，为分数阶方程求解提供了新途径。
2026-09-02 cs.NA math.AP math.NA
Low-Rank Updates of Matrix Square Roots
Tel Aviv University（特拉维夫大学）；Purdue University（普渡大学）
针对稀疏矩阵加低秩扰动的协方差结构，本文将平方根及逆平方根校正转化为代数 Riccati 方程，提出可计算的低秩近似并给出误差界与实验验证。
2023-06-05 cs.LG cs.NA math.NA
Distance to nearest skew-symmetric matrix polynomials of bounded rank
Chalmers University of Technology（查尔姆斯理工大学）；University of Gothenburg（哥德堡大学）；Universidad Carlos III de Madrid（马德里卡洛斯三世大学）
本文提出了一种算法，用于近似给定矩阵多项式为有限秩的反对称矩阵多项式，并通过数值实验验证了其有效性。
2026-01-23 cs.NA math.NA math.OC
A two-phase rank-based algorithm for low-rank matrix completion
本文提出一种两阶段基于秩的矩阵补全算法，结合拟Fejér收敛分析和Nesterov型加速机制，为加速Soft-Impute提供热启动，实验表明其恢复低秩矩阵的精度和速度均优于现有成熟算法。
2022-04-11 cs.NA math.NA math.OC
On the geometry of border rank algorithms for n x 2 by 2 x 2 matrix multiplication
研究n×2与2×2矩阵乘法的边界秩算法几何特性，提出新的分析方法和优化策略。
2015-09-28 cs.NA math.AG math.NA
Additive Update Algorithm for Nonnegative Matrix Factorization
针对非负矩阵分解问题，提出一种比乘法更新算法计算速度更快的加法更新算法。
2012-12-25 cs.DS cs.NA math.NA
Low Rank Pure Quaternion Approximation for Pure Quaternion Matrices
四元数矩阵在彩色图像处理中有着广泛的应用。特别地，可以使用纯四元数矩阵来表示彩色图像的红色、绿色和蓝色通道。利用四元数奇异值分解可以得到纯四元数矩阵的低秩逼近。然而，这种近似不是最佳的，因为得到的低秩近似矩阵可能不是纯四元数，即，低秩矩阵包含对于彩色图像的表示无用的实分量。本文的主要贡献是找到一个最佳的秩- $r$纯四元数矩阵逼近的纯四元数矩阵（彩色图像）。我们的想法是使用一个低秩四元数矩阵流形上的投影和一个零实分量的四元数矩阵上的投影，并开发一个交替投影算法来找到这样的最佳低秩纯四元数矩阵近似。投影算法的收敛性可以通过证明低秩四元数矩阵流形和零实分量四元数矩阵流形具有非平凡交点来建立。对合成纯四元数矩阵和彩色图像的数值算例表明，该投影算法可以为纯四元数矩阵或彩色图像找到最优的低秩纯四元数逼近。
2020-12-30 cs.NA math.NA math.OC
Color image recovery using low-rank quaternion matrix completion algorithm
四元数作为一种新的彩色图像表示工具，在彩色图像处理问题中取得了很好的效果。本文提出了一种新的低秩四元数矩阵补全算法来恢复彩色图像的丢失数据。受传统矩阵方法中的两种低秩近似方法（低秩分解和核范数最小化）的启发，我们将这两种方法结合到我们的四元数矩阵模型中。进一步地，用四元数矩阵的两个低秩因子四元数矩阵的Frobenius范数之和代替四元数矩阵的核范数。根据四元数矩阵与其等价复矩阵的关系，将问题最终从四元数数域转化为复数域。应用交替极小化方法求解该模型。对实际彩色图像恢复的仿真结果表明，该算法的性能和效率优于一些最先进的基于张量的算法。
2019-09-14 cs.NA eess.IV math.NA
Greedy Approach for Low-Rank Matrix Recovery
我们描述了简单的贪婪矩阵完成算法提供了一个有效的方法，从不完整的损坏的条目恢复低秩矩阵。我们提供的数值证据表明，即使在最简单的实现，贪婪的方法可能会增加现有算法的恢复能力显着。
2013-04-15 cs.IT cs.NA math.IT
A Schatten-$q$ Low-rank Matrix Perturbation Analysis via Perturbation Projection Error Bound
本文研究了扰动下低秩矩阵奇异值分解估计的Schatten- $q$误差。我们通过扰动投影误差界建立了低秩矩阵估计的扰动界。然后，我们建立了下界来证明低秩矩阵估计误差的上界的紧性。基于矩阵扰动投影误差界，我们进一步给出了奇异子空间扰动的正弦$Θ$界。最后，我们通过模拟证明了我们的结果比文献中的结果的优势。
2021-08-12 cs.NA math.NA math.ST
GNMR: A provable one-line algorithm for low rank matrix recovery
Weizmann Institute of Science（魏茨曼科学研究所）
低秩矩阵恢复问题，包括矩阵补全和矩阵检测，出现在广泛的应用。在这项工作中，我们提出了GNMR -一个非常简单的迭代算法低秩矩阵恢复，基于高斯-牛顿线性化。在理论方面，我们得到恢复保证GNMR在矩阵检测和矩阵完成设置。其中一些结果改进了目前已知的其他方法。GNMR的一个关键属性是它在整个迭代过程中隐式地保持因子矩阵近似平衡。在经验方面，我们表明，对于均匀采样的矩阵完成，GNMR比几种流行的方法表现得更好，特别是当给出非常少的观测接近信息限制时。
2022-04-27 cs.LG cs.NA math.NA
Typical and Generic Ranks in Matrix Completion
我们从几何的角度考虑低秩矩阵的精确完备化问题：给定一个部分填充矩阵M，我们保持指定和未指定元素的位置固定，并研究最小完备秩如何依赖于已知元素的值.如果矩阵的元素是复数，则对于指定和未指定元素的位置的固定模式，存在以正概率出现的唯一完成秩。我们称这个等级为通用完成等级。在实数上，可以有多个以正概率出现的秩;我们称之为典型的完成秩。我们正式介绍这些概念，并提供了一些不等式和确切的结果，典型的和通用的不同家庭的模式的已知和未知的条目的排名。
2019-09-22 cs.NA math.AG math.NA
RLS Framework with Segmentation of the Forgetting Profile and Low Rank Updates
针对滑动窗口最小二乘估计问题，提出基于遗忘剖面三段分割的正则化RLS框架，结合低秩更新递推算法，有效提升估计精度稳定性与温度预测可靠性。
2025-11-19 cs.IT cs.NA math.DS
Structured low-rank matrix completion for forecasting in time series analysis
Cardiff University（卡迪夫大学）；CNRS（法国国家科学研究中心）
本文研究了低秩矩阵补全问题，应用于时间序列预测。基于Hankel矩阵的补全方法和核范数松弛，通过理论和实验证明了适当选择已知观测加权方案的重要性。
2018-02-22 cs.NA cs.SY eess.SY
