New lower bounds for matrix multiplication and the 3x3 determinant
令$M_{\langle u,v,w\rangle}\in C^{uv}\otimes C^{vw}\otimes C^{wu}$表示矩阵乘法张量（并写作$M_n=M_{\langle n,n,n\rangle}$），令$det_3\in ( C^9)^{\otimes 3}$表示被视为张量的行列式多项式。对于张量$T$，令$\underline R(T)$表示其边界秩。我们（i）给出了$\underline R(M_2)=7$的第一个可手工检验的代数证明，（ii）证明了$\underline R(M_{\langle 223\rangle})=10$和$\underline R(M_{\langle 233\rangle})=14$，其中以前唯一的边界秩已被确定的非平凡矩阵乘法张量是$M_2$，（iii）证明了$\underline R( M_3)\geq 17$，（iv）证明了$\underline R( det_3)=17$，改进了以前的$12$的下界，（v）证明所有$n\geq 25$的$\underline R(M_{\langle 2nn\rangle})\geq n^2+1.32n$（以前只有$\underline R(M_{\langle 2nn\rangle})\geq n^2+1$是已知的）以及$4\leq n\leq 25$的下界，和（vi）证明所有$ n\g…
2019-11-18 cs.CC math.AG math.RT
Border subrank of higher order tensors and algebras
Institut de Mathématiques de Toulouse（图卢兹数学研究所）；UMR5219 – Université de Toulouse（阿姆斯特丹大学）；CNRS – UPS；University of Amsterdam
研究高阶结构张量的边界子秩，确定k重矩阵乘法和上三角矩阵乘法的紧界，分析多项式代数、空代数及二次的极化代数的高阶结构张量边界子秩，并证明代数结构张量退化从高阶到低阶的传播。
2026-04-21 cs.CC math.AG math.RA
Fixed-parameter debordering of Waring rank
本研究首次获得多项式Waring秩的上界，该上界关于边界Waring秩指数增长、关于次数线性增长，解决了去边界化问题，并改进了常数边界Waring秩情形下的结果。
2024-01-15 cs.CC math.AG
On Matrix Multiplication and Polynomial Identity Testing
本研究揭示矩阵乘法边界秩下界可用于代数电路多项式恒等式测试的去随机化，构造了相应的命中集生成器并给出其种子长度与电路规模的量化关系，拓展了相关算法设计思路。
2022-08-01 cs.CC
On degeneration of tensors and algebras
在所有目前的渐近快速算法矩阵乘法的一个重要的构建块是张量与低边界秩，即张量的边界秩是相等或非常接近其大小。为了找到新的渐近快速矩阵乘法算法，理解那些边界秩尽可能小的张量，即所谓的最小边界秩张量，似乎很重要。研究了结合代数的退化与其结构张量在Strassen意义下的退化之间的联系。它使我们能够描述一个开放的子集的$n \times n \times n$张量的最小边界秩的光滑交换代数。我们描述了与Coppersmith-Winograd张量相关的可平滑代数，并证明了Coppersmith和Winograd的“简单构造”中使用的张量的边界秩的下界。
2016-06-14 cs.CC math.AG
Rank and border rank of Kronecker powers of tensors and Strassen's laser method
证明了小Coppersmith-Winograd张量$T_{cw,q}$的Kronecker方的边秩是它对$q > 2$的边秩的平方，它的Kronecker方的边秩是它对$q > 4$的边秩的立方.这回答了在[Coppersmith-Winograd，1990]中隐含和在[Bläser，2013]中明确提出的问题，并排除了在此范围内使用小Coppersmith-Winograd张量的平方或立方证明矩阵乘法指数的新上界的可能性。在积极的方向上，我们扩大了显式张量的列表可能有用的斯特拉森的激光方法，介绍了斜对称版本的Coppersmith-Winograd张量，$T_{skewcw,q}$。对于$q = 2$，该张量的克罗内克平方与$3\times 3$行列式多项式$\det_3 \in \mathbb{C}^9\otimes \mathbb{C}^9\otimes \mathbb{C}^9$（被视为张量）一致。我们表明，这个张量可能被用来表明，矩阵乘法的指数是2。我们确定新的上限（华林）秩和（华林）边界秩的$\det_3$，表现出严格的submultiplicative行为$T_{skewcw,2}$这是有前途的激光方法。我们建立了张量的Kronecker幂的边界秩的一般结果，并对$\mathbb{C}^3\otimes \mathbb{C}^3\otimes \mathbb{C}^…
2021-12-27 cs.CC math.AG
Inner Rank and Lower Bounds for Matrix Multiplication
我们开发了一个概念{ \em内秩}作为一种工具，获得下界矩阵乘法张量的秩。我们用它来给出一个简短的证明，即在任意域上与$n\times n$矩阵乘法相关的张量的边界秩（因此秩）至少是$2n^2-n+1$。虽然内部排名并不能改善目前已知的下限，但我们认为这个概念值得进一步研究。
2019-05-13 cs.CC cs.DS
Bad and good news for Strassen's laser method: Border rank of the 3x3 permanent and strict submultiplicativity
我们确定的边界秩张量，可能会提前已知的上界矩阵乘法的指数$ω$。小$q=2$ Coppersmith-Winograd张量的克罗内克平方等于$3\times 3$永久式，并且可以潜在地用于显示$ω=2$。我们证明了复杂性理论的否定结果，即它的边界秩是$16$，解决了一个长期存在的问题。关于它在$ C^5\otimes C^5\otimes C^5$中的$q=4$偏斜表兄弟，它可能被用来证明$ω\leq 2.11$，我们证明了它的克罗内克平方的边界秩至多是$42$，这是一个显著的次乘法结果，因为它的边界秩的平方是$64$。我们还确定了小Coppersmith-Winograd张量的模空间$\underline{VSP}$。
2020-09-23 cs.CC math.AG
Geometric Complexity Theory and Tensor Rank
Mulmuley和Sohoni（GCT 1 in SICOMP 2001，GCT 2 in SICOMP 2008）提出将积算与行列式问题看作一个特殊的轨道闭合问题，并从几何不变量和表示理论的角度对其进行求解。我们采用这些想法的目标，显示特定张量的边界秩的下界，特别是矩阵乘法。因此，我们研究特定的轨道闭合问题的组$G = GL(W_1)\times GL(W_2)\times GL(W_3)$作用于复杂的有限维向量空间的张量积$W=W_1\otimes W_2\otimes W_3$。让$G_s = SL(W_1)\times SL(W_2)\times SL(W_3)$。GCT 2的一个关键思想是，在稳定张量$w\in W$的$G$ -轨道闭包的坐标环中出现的不可约$G_s$ -表示恰好是那些相对于$w$的稳定子群具有非零不变量的表示。然而，我们证明，通过考虑$G_s$ -表示，如GCT 1 -2中所建议的，只有平凡的边界秩的下界可以显示。因此，有必要研究$G$ -表示，这将导致几何扩展问题，超出了GCT 1 -2中强调的子群限制问题的范围。我们证明了一个非常温和的下界矩阵乘法张量使用$G$ -表示的边界秩。这至少表明$G_s$ -表示的障碍是可以克服的。为了推进，我们建议用一个张量的矩多面体来代替它的表示半群。我们证明了第一个结果对确定矩多面体的矩阵乘法和单位张量。
2010-11-05 cs.CC math.RT
Recent Advances in Debordering Methods
本文综述了去边界化方法的最新进展，该方法通过边界复杂度证明非边界复杂度上界，应用于复杂度下界和算法设计，重点介绍了各种受限边界复杂度度量的去边界化技术。
2025-10-15 cs.CC cs.SC math.AG
Tensor Rank and Complexity
这些课堂讲稿旨在介绍张量秩的几个概念，以及它们与矩阵乘法的渐近复杂性的关系。后者是用矩阵乘法的指数来研究的，它将用张量的（边）秩、（边）对称秩和某些张量的渐近秩来表示。引入了张量的多线性秩，讨论了张量等价的概念，并利用Castling变换研究了准齐次向量空间。此外，我们还讨论了无极性理论，并用它来确定某些对称张量的对称秩（Waring秩）。
2022-07-29 cs.CC math.AG
Bounds on complexity of matrix multiplication away from CW tensors
我们提出了三个家庭的最小边界秩张量：他们来自最高权向量，光滑代数，或单项式代数。我们用Strassen的激光方法分析了它们，得到了$ω$上的一个上界$2.431$.我们还解释了如何在某些单项的情况下，直接使用激光方法比第一次退化更有利可图。我们的结果形成可能的路径中寻找有价值的张量的激光方法远离Coppersmith-Winograd张量。
2022-04-11 cs.CC math.AC math.AG
Certified local rank and uniqueness barriers for a 48-term matrix-multiplication decomposition
本研究针对4×4矩阵乘法的48项分解，通过穷举支撑约简和核证书等方法，证明了秩半径至少12、强半径11、边界半径至少8的局部障碍，并揭示了相关判据的不可比性。
2026-09-15 cs.CC cs.SC
The moment polytope of matrix multiplication is not maximal
本文证明矩阵乘法张量的矩多胞形严格包含于克罗内克多胞形，即非极大，并推广至迭代情形，同时给出渐近限制下包含关系的不可行性结果，并利用新证明方法得到矩阵乘法最优边界子秩界。
2025-03-28 cs.CC math.AG math.RT
Disjoint and nearly disjoint sums of matrix multiplication tensors and their centroids
Cornell University（康奈尔大学）；Texas A&M University（德克萨斯农工大学）；Sidney Sussex College, Cambridge（剑桥大学西丁尼思学院）
本文构造了具有大质心的矩阵乘法张量等，开发了利用质心的几何技术，证明相关张量的最小边界秩，为矩阵乘法指数上界及Strassen激光方法提供了新进展。
2026-08-28 cs.CC math.AC math.AG
Geometric rank of tensors and subrank of matrix multiplication
本文提出几何秩这一新工具，证明其可上界张量子秩与超图独立数，并用于给出矩阵乘法张量（边界）子秩的紧上界。
2023-04-26 cs.CC math.AG math.CO
Nondeterministic quantum communication complexity: the cyclic equality game and iterated matrix multiplication
我们研究非确定性多方量子通信与量子广义广播。我们表明，与数字在手的经典输入，在这个通信模型中的布尔函数的通信复杂度等于相应的张量的支持秩的对数，而在这个模型中的近似复杂度等于边界支持秩的对数。这个特征使我们能够证明Villagra等人提出的对数秩猜想。对于具有消息传递的非确定性多方量子通信。通信模型的支持秩刻画将量子通信复杂性与渐近纠缠变换理论和代数复杂性理论紧密联系起来。在这种情况下，我们介绍了graphwise平等问题。对于一个循环图，这个通信问题的复杂度与矩阵相乘计算问题的复杂度密切相关，或者更准确地说，它等于迭代矩阵乘法张量的渐近支持秩的对数。我们采用Strassen的激光方法表明，渐近存在非平凡的协议，每一个奇数玩家循环等式问题。我们展示了一个有效的协议，为5-玩家的问题，小的投入，我们展示了如何杨双胞胎产生非平凡的复杂性下界。
2016-04-02 cs.CC quant-ph
Tensor surgery and tensor rank
我们介绍了一种将低阶张量转化为高阶张量的方法，并将其应用于由图和超图定义的张量。变换过程类似于外科手术，它分割顶点，创建和吸收虚拟边，并插入新的顶点和边。我们表明，张量手术是能够保持初始张量分解的低秩结构，从而允许证明非平凡的上界张量秩，边界秩和渐近秩的最终张量。我们用一些例子说明我们的方法。三角图上的张量手术，它对应于矩阵乘法张量，导致所有奇循环图的非平凡的秩上界，它对应于迭代矩阵乘法的张量。在渐近设置中，我们得到的矩阵乘法指数$ω$和矩形矩阵乘法参数$α$的上界。如果$ω$等于2，则这些界限是最优的。我们还给出了例子，说明张量手术一般图可能涉及虚拟超边的吸收，我们提供了一个超图张量手术的例子。除了在代数复杂性理论中的相关性外，我们的工作在量子信息论和通信复杂性中也有应用。
2018-01-26 cs.CC math.CO quant-ph
Irreversibility of Structure Tensors of Modules
确定矩阵乘法指数$ω$是理论计算机科学中最大的开放问题之一。我们表明，这是不可能的证明$ω= 2$由结构张量的模块的固定程度和使用任意的限制。这意味着，同样的是不可能的，从$1_A$开始-通用的非对角张量的固定大小与最小的边界秩。这概括了Bläser和Lysikov的工作[3]。我们的方法来自交换代数和复杂性理论。
2022-01-28 cs.CC math.AG
Asymptotic Rank Speedup Theorems, Revisited
Columbia University（哥伦比亚大学）
本文基于快速矩阵乘法和渐近张量秩与细粒度复杂性之间的联系，重新审视经典矩阵乘法文献中的工具，并开发了一个框架，以获得比矩阵乘法更优的张量渐近秩上界。
2026-09-24 cs.CC cs.DS
Two-Cut Coherence of Quintic Forms: Lifting Separations and Second-Derivative Completeness
Independent researcher San Jose California USA；Independent researcher
该研究定义五次型双割相干性参数，证明其与压缩传输网络等的等价性，推导割点(1,3)处的完备性定理，构造实例否定C_{k,l}≤C_k+C_l的通用边界。
2026-08-11 cs.CC
Unrestricted Boolean Multiplicative Complexity of Four-Term Binary Polynomial Multiplication: Rational Places, Hasse Jets, and the Failure of Nonlinear Feedback
Eötvös Loránd University（罗兰大学）
该研究确定四项二元多项式乘法的无限制异或-与布尔乘法复杂度为9，解决了Boyar-Find问题，其证明采用结构性方法，且有Lean 4形式化验证，还推导了三项乘法的复杂度为6。
2026-09-01 cs.CC cs.DS
New results in canonical polyadic decomposition over finite fields
本文针对有限域上规范多元分解（CPD）提出保持精确性的多项式时间搜索算法，显著降低搜索复杂度，并研究边界CPD及最大秩问题的新上下界。
2025-11-09 cs.CC
