Estimating the distribution of Galaxy Morphologies on a continuous space
星系形状的多样性令人难以置信，如果用人类定义的离散形状分类来概括，就可能造成大量的信息丢失。字典学习和稀疏编码使我们能够将形状的高维空间减少到可管理的低维连续向量空间。通过概率分布估计和流形估计，可以在约简空间中进行统计推断。
2014-06-29 astro-ph.CO astro-ph.GA stat.AP
Manifold Density Estimation via Generalized Dequantization
Yale University（耶鲁大学）；York University（约克大学）
密度估计是描述给定观测值分布的一种重要方法。许多现有的研究密度估计的情况下，其中的数据位于欧几里德空间集中。然而，某些类型的数据不能很好地建模，假设它们的底层几何是欧几里得的。相反，将此类数据建模为位于具有某种已知结构的{ \it流形}上可能是有用的。例如，某些类型的数据可能已知位于球体的表面上。研究了流形上密度的估计问题。我们提出了一种方法，灵感来自文献的“反量化”，我们解释通过镜头的坐标变换的环境欧几里德空间和光滑的感兴趣的流形。使用规范化流的方法，我们将这种方法应用到光滑流形结构的去量化，以模拟球体，环面和正交群上的密度。
2021-07-09 cs.LG stat.ML
Minimax Rates for Homology Inference
Carnegie Mellon University（卡内基梅隆大学）；INRIA（法国国家信息与自动化研究所）
通常，高维数据靠近低维子流形，理解这些子流形的几何是很有意义的。流形的同调群是重要的拓扑不变量，它提供了流形的代数概括。这些群包含丰富的拓扑信息，例如，关于连通的组件，孔，隧道，有时是流形的尺寸。本文考虑了在几种不同的噪声模型下，由噪声样本估计流形同调的统计问题。我们推导出这个问题的极小极大风险的上界和下界。我们的上界是基于估计，这是从一个工会球的适当半径周围精心挑选的点。在每种情况下，我们建立互补的下限使用Le Cam引理。
2011-12-23 cs.LG stat.ML
Estimating a density near an unknown manifold: a Bayesian nonparametric approach
针对欧几里得空间中未知子流形偏移内的数据，提出一种基于高斯位置-尺度混合的贝叶斯非参数密度估计方法，引入新的各向异性Hölder概念，获得自适应于密度正则性、流形维度和偏移大小的极小极大最优后验速率，且实现简便、实际效果好。
2024-07-17 math.ST stat.TH
Minimax rates for cost-sensitive learning on manifolds with approximate nearest neighbours
University of Manchester（曼彻斯特大学）
我们研究了嵌入在高维特征空间中的低维流形上的成本敏感分类的近似最近邻方法。我们确定的极小极大学习率分布在光滑流形上，在成本敏感的设置。这推广了Audibert和Tsybakov的一个经典结果。最近的工作的Chaudhuri和Dasgupta的基础上，我们证明了这些极大极小率的近似近邻算法，其中邻居计算在一个随机投影的低维空间。此外，我们给出了一个约束的数量上的尺寸所需的投影，这完全取决于达到和尺寸的流形，结合边缘的规律性。
2018-03-01 cs.LG stat.ML
Universally consistent estimation of the reach
集合$M \subset \mathbb R^d$的可达性，当$M$是流形时也称为条件数，是由费德勒在1959年引入的。范围是几何测度论、集合估计、流形学习等领域的核心概念。我们引入了一个普遍的相合估计的范围，只是假设的范围是积极的。在一个额外的假设下，我们提供了收敛速度。我们还表明，它是不可能的，以确定有限样本的基础上，如果达到的支持密度是零或没有。我们提供了一个小的模拟研究和偏差校正方法的情况下，当$M$是一个流形。
2022-11-22 math.ST stat.TH
Convergence of Hessian estimator from random samples on a manifold with boundary
本文证明了在温和条件下，从带边界流形随机样本局部拟合二次多项式估计Hessian算子的方法渐近收敛，且非均匀采样和曲率效应可忽略，并简化了理论分析。
2025-04-08 math.DG math.ST stat.TH
Minimax Rate for Diffusion-Guided Local Intrinsic Dimension Estimation based on Fokker-Planck Equation
Seoul National University（首尔大学）
本文针对基于扩散的局部固有维数估计问题，在正则流形模型下建立了极小极大下界，明确了有限尺度场与流形维数的偏差，为该领域的统计难度研究提供了关键理论依据。
2026-11-03 cs.LG math.ST stat.ML
Conformal geometry of statistical manifold with application to sequential estimation
我们提出了一种分析序贯估计过程的几何方法。它基于Okamoto，Amari和Takeuchi（1991）提出的二阶有效序贯估计的设计原理。通过引入对偶共形曲率量，阐明了序贯估计的协方差最小化的条件。这些条件进一步推广到多维曲指数族。然后，通过使用典型的统计模型，冯Mises-Fisher和双曲面模型的理论结果进行数值检验。
2011-02-17 math.ST stat.TH
Fitting a manifold of large reach to noisy data
设${\mathcal M}\subset {\mathbb R}^n$是维数为$d$的$C^2$ -光滑紧致子流形.假设${\mathcal M}$的体积至多为$V$，并且${\mathcal M}$的到达范围（即，正常注入半径）大于$τ$。此外，设$μ$是${\mathcal M}$上的概率测度，其在${\mathcal M}$上的密度是严格正的Lipschitz光滑函数.令$x_j\in {\mathcal M}$、$j=1,2,\dots,N$是来自分布$μ$的$N$独立随机样本。同样，令$ξ_j$、$j=1,2,\dots, N$是来自具有协方差$σ^2I$的${\mathbb R}^n$中的高斯随机变量的独立随机样本，其中$σ$小于$d, V$和$τ$的某个指定函数。我们假设给定数据点$y_j=x_j+ξ_j,$ $j=1,2,\dots,N$，用测量噪声对${\mathcal M}$的随机点进行建模。我们开发了一种算法，从这些数据中产生，具有高概率，$d$维子流形${\mathcal M}_o\subset {\mathbb R}^n$的Hausdorff距离${\mathcal M}$小于$Cdσ^2/τ$，其范围大于$cτ/d^6$与通用常数$C,c > 0$。所需随机样本的数量$N$几乎线性地依赖于$n$，多项式地依赖于$σ^{-1}$，指数地依赖于$d$。
2022-04-18 math.ST stat.TH
Manifold estimation and singular deconvolution under Hausdorff loss
Carnegie Mellon University（卡内基梅隆大学）；Sapienza University of Rome（罗马第一大学）
我们发现下和上界的风险估计一个流形的Hausdorff距离下几个模型。我们还表明，流形估计和奇异测度反卷积问题之间有密切的联系。
2012-06-05 cs.LG math.ST stat.ML
Scalable Bayesian inference for heat kernel Gaussian processes on manifolds
针对流形上热核高斯过程的贝叶斯推断，提出基于图拉普拉斯转移矩阵降秩近似与截断奇异值分解的高效估计方法，在保留数据内在几何结构的同时将计算复杂度从O(n^3)降至O(n)，有效提升了大规模数据流形学习的可扩展性与准确性。
2025-09-12 math.ST stat.ME stat.TH
Bayesian Manifold Regression
具有高维预测变量的非参数回归问题越来越受到人们的关注。当预测因子$D$的数量很大时，在试图基于有限的数据估计$D$维表面时会遇到令人生畏的问题。幸运的是，在许多应用中，数据的支持都集中在一个具有$d \ll D$的$d$维子空间上.流形学习试图估计这个子空间。我们的重点是在这种情况下，开发计算上易于处理和理论支持的贝叶斯非参数回归方法。当子空间对应于一个局部欧几里德紧黎曼流形，我们表明，高斯过程回归方法可以应用，导致极小极大最优自适应率估计的回归函数在某些条件下。所提出的模型绕过了需要估计的流形，并可以实现使用标准算法的高斯过程中的后验计算。有限样本性能在示例数据分析中说明。
2014-06-16 math.ST stat.TH
Asymptotic lower bounds in estimating jumps
研究随机过程跳跃的有效估计问题。我们假设随机跳跃过程$(X_t)_{t\in[0,1]}$是离散观测的，采样步长为$1/n$。在Hajek卷积定理的精神，我们显示了一些下界的跳跃序列的估计误差$(ΔX_{T_k})_k$。作为一个中间结果，我们证明了一个LAMN属性，与率$\sqrt{n}$，当底层跳转组件的标记是确定性的。然后，我们推导出卷积定理，与一个明确的渐近最小方差的情况下，标记的跳跃组件是随机的。为了证明这个下界是最优的，我们证明了基于离散观测的跳跃序列的阈值估计$(ΔX_{T_k})_k$，达到了前卷积定理的最小方差。
2014-07-01 math.ST stat.TH
Optimal Reach Estimation and Metric Learning
研究了流形估计和几何数据分析中普遍存在的正则性参数可达的估计。根据身份证。对$\mathbb{R}^D$的一个未知$d$维$\mathcal{C}^k$ -光滑子流形上的一个样本，我们给出了它的可达性估计的最优非渐近界。我们一方面建立在最大曲率方面的范围，另一方面建立在测地度量失真方面的范围。导出的速率是自适应的，速率取决于$M$的范围是由曲率引起还是由瓶颈结构引起。在这个过程中，我们得到最佳的测地度量估计界。
2022-07-13 math.MG math.ST stat.TH
Multiscale regression on unknown manifolds
Georgia Institute of Technology（佐治亚理工学院）；Johns Hopkins University（约翰斯·霍普金斯大学）；University of Genova（热那亚大学）
本文考虑了$\mathbb{R}^D$上的估计函数的回归问题，但该估计函数是在具有$ d \ll D $的$d$维流形$ \mathcal{M} \subset \mathbb{R}^D $上支持的.借鉴多分辨率分析和非线性逼近的思想，我们在多个尺度上构建$\mathcal{M}$的低维坐标，并通过局部多项式拟合进行多尺度回归。我们提出了一个数据驱动的小波阈值方案，自动适应未知的规律性的功能，允许有效的估计功能表现出不均匀的规律性在不同的位置和尺度。我们分析了我们的方法的推广误差，证明有限样本界的高概率丰富类的先验。我们的估计达到最佳的学习率（对数因子），如果功能定义在一个已知的欧几里得域的尺寸$d$，而不是一个未知的流形嵌入在$\mathbb{R}^D$。所实现的算法具有准线性复杂度的样本量，常数线性的$D$和指数的$d$。因此，我们的工作建立了一个新的框架，回归低维集嵌入在高维，快速实现和强有力的理论保证。
2021-01-13 cs.LG math.ST stat.ML
Estimating the Convex Hull of the Image of a Set with Smooth Boundary: Error Bounds and Applications
该研究针对光滑边界紧集经光滑淹没映射后的像的凸包估计问题，推导了采样点像凸包与真实像凸包间Hausdorff距离的新界，所得误差界更紧更通用，可应用于鲁棒优化、动力系统可达性分析等多个领域。
2024-03-01 cs.CG cs.SY eess.SY
