一种用于求解涉及p-拉普拉斯的非线性变分不等式的多网格优化算法
A Multigrid Optimization Algorithm for the Numerical Solution of Quasilinear Variational Inequalities Involving the $p$-Laplacian
AI总结：
本文提出了一种多网格优化算法（MG/OPT），用于求解一类第二类的非线性变分不等式。该方法基于变分不等式的解是某个非光滑能量泛函的极小值，该泛函涉及p-拉普拉斯算子。通过Huber正则化和有限元离散化，分析了离散能量泛函的正则性，并证明其雅可比矩阵是斜可微的，这有助于分析MG/OPT算法的收敛性。最后，将该算法应用于毕肖普流体、卡松流体和赫斯克-布克利流体在管道中的粘塑性流动的数值模拟，并通过多个实验展示了该算法在解决此类流体力学问题中的有效性。
摘要：
在本文中，我们提出了一种多网格优化算法（MG/OPT），用于求解一类第二类的非线性变分不等式。该方法基于变分不等式的解是某个非光滑能量泛函的极小值，该泛函涉及p-拉普拉斯算子。我们提出对泛函进行Huber正则化，并对问题进行有限元离散化。进一步，我们分析了离散能量泛函的正则性，并证明其雅可比矩阵是斜可微的。这一正则性性质有助于分析MG/OPT算法的收敛性。事实上，我们通过半光滑函数的均值定理证明了该算法的全局收敛性。最后，我们将MG/OPT算法应用于毕肖普流体、卡松流体和赫斯克-布克利流体在管道中的粘塑性流动的数值模拟。进行了多个实验，以展示所提出算法在解决此类流体力学问题中的有效性。
英文摘要：
In this paper we propose a multigrid optimization algorithm (MG/OPT) for the numerical solution of a class of quasilinear variational inequalities of the second kind. This approach is enabled by the fact that the solution of the variational inequality is given by the minimizer of a nonsmooth energy functional, involving the $p$-Laplace operator. We propose a Huber regularization of the functional and a finite element discretization for the problem. Further, we analyze the regularity of the discretized energy functional, and we are able to prove that its Jacobian is slantly differentiable. This regularity property is useful to analyze the convergence of the MG/OPT algorithm. In fact, we demostrate that the algorithm is globally convergent by using a mean value theorem for semismooth functions. Finally, we apply the MG/OPT algorithm to the numerical simulation of the viscoplastic flow of Bingham, Casson and Herschel-Bulkley fluids in a pipe. Several experiments are carried out to show the efficiency of the proposed algorithm when solving this kind of fluid mechanics problems.
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