The infinity Quillen functor, Maurer-Cartan elements and DGL realizations

关于指数群与Maurer-Cartan空间

On exponential groups and Maurer-Cartan spaces

本文给出指数群与Maurer-Cartan空间基本性质的简明阐述，证明Maurer-Cartan空间是指数群的去环化，并由此证明该函子是Quillen函子的同伦逆。

An explicit symmetric DGLA model of a triangle

We give explicit formulae for a differential graded Lie algebra (DGLA) model of the triangle which is symmetric under the geometric symmetries of the cell. This follows the work of Lawrence-Sullivan on the (unique) DGLA model of the interval and of Gadish-Griniasty-Lawrence on an explicit symmetric model of the bi-gon. As in the case of the bi-gon, the essential intermediate step is the construction of a symmetric point. Although in this warped geometry of points given by solutions of the Maurer-Cartan equation and lines given by a gauge transformation by Lie algebra elements of grading zero, …

单纯集的Lie模型与Quillen函子的可表示性

Lie models of simplicial sets and representability of the Quillen functor

扩展模型的区间，我们明确地定义为每个$n\ge 0$一个自由的完全微分分次李代数$\mathfrak{L}_n$所产生的单形的$Δ^n$，与dissuspended度，其中的顶点是Maurer-Cartan元素和微分扩展的标准$n$-单形的单纯链复形。$\{\mathfrak{L}_\bullet\}_{n\ge 0}$族被赋予了一个余单微分分次李代数结构，我们利用它构造了$\langle L\rangle_\bullet=\text{ DGL} (\mathfrak{L}_\bullet,L)$和$ \mathfrak{L}(K)=\varinjlim_K\mathfrak{L}_{\bullet} $给出的单纯集范畴和完全微分分次李代数范畴之间的一对伴随函子.这个新的工具，让我们扩展Quillen有理同伦理论的方法，任何单纯集$K$的路径组件不一定是单连通的。我们证明了$\mathfrak{L} (K)$包含$K$的每个组件的模型。当$K$是$1$-连通有限单纯复形时，$K$的Quillen模型可以从$\mathfrak{L} (K)$中提取出来.当$K$是连通的，那么对于扰动微分$\partial_a$，$H_0(\mathfrak{L} (K),\partial_a)$是$π_1(K)$的Malcev李完备化。对于任何完备的$\text{DGL}$的实现$\langle L…

分离李模型与同伦李代数

Separated Lie models and the homotopy Lie algebra

单连通拓扑空间X有同伦李代数$π_*(ΩX) \tensor \Q$ .在Quillen之后，有一个连通的微分分次自由李代数（dgL）称为李模型，它决定了X的有理同伦类型，并且它的同调同构于同伦李代数。我们表明，这样的李模型可以被替换为一个具有特殊的属性，我们称之为分离。分离的dgL的同源性有一种特殊的形式，这种形式适合于计算。

正特征下的更高李理论

Higher Lie theory in positive characteristic

本文发展了正特征下绝对划分 $L_\infty$-代数的积分理论，并展示了其在 $p$-adic 同调类型和映射空间中的应用。

prop（erad）s表示的变形理论

Deformation theory of representations of prop(erad)s

本文研究了适形环和支撑环的态射的变形理论，从而推广到交换环的Quillen变形理论的非线性框架。相应的链复形具有李代数的同伦结构。它的Maurer-Cartan元素对应于变形结构，这使我们能够给出这些结果的几何解释。为此，我们赋予prop（erad）s范畴一个模型范畴结构。我们提供了一个完整的研究模型的道具（erad）。介绍了一种新的有效的方法，使极小模型显式，它扩展了Koszul对偶理论，相关的概念被称为同伦Koszul。作为推论，我们得到了prop（erad）上（al）代数的（co）同调论和同伦（al）代数的（co）同调论.它们的基本链复形在一般情况下具有标准李代数的同伦结构，而仅在Koszul情形下具有李代数的同伦结构.特别地，我们从结合双代数的适定性中明确了态射的变形复形。对这类适形的任意极小模型，证明了这类链复形的边界映射是Gerstenhaber和Schack定义的边界映射.作为推论，本文给出了Gerstenhaber-Schack双复形上与结合双代数的变形相关的李代数的同伦结构的存在性的完整证明.