Leighton和Moitra的一个熵猜想的证明
Proof of an entropy conjecture of Leighton and Moitra
摘要：
我们证明了Leighton和Moitra的猜想。设$T$是$[n]$上的竞赛图，$S_n$是$[n]$的置换集。对于$T$的弧$uv$，设$A_{uv}=\{σ\in S_n \, : \, σ(u)<σ(v) \}$。对于固定的$\textbf{Theorem.}$，如果$\mathbb{P}$是$S_n$上的概率分布，使得对于$T$的每个弧$uv$，$\mathbb{P}(A_{uv})>1/2+\varepsilon$，则对于某些（固定的）正$\vartheta_\varepsilon$，$\mathbb{P}$的二进制熵至多为$(1-\vartheta_{\varepsilon})\log_2 n!$。当$T$是传递的定理是由于莱顿和Moitra;在这种情况下，我们给出了一个简短的证明与更好的$\vartheta_\varepsilon$。
英文摘要：
We prove the following conjecture of Leighton and Moitra. Let $T$ be a tournament on $[n]$ and $S_n$ the set of permutations of $[n]$. For an arc $uv$ of $T$, let $A_{uv}=\{σ\in S_n \, : \, σ(u)<σ(v) \}$. $\textbf{Theorem.}$ For a fixed $\varepsilon>0$, if $\mathbb{P}$ is a probability distribution on $S_n$ such that $\mathbb{P}(A_{uv})>1/2+\varepsilon$ for every arc $uv$ of $T$, then the binary entropy of $\mathbb{P}$ is at most $(1-\vartheta_{\varepsilon})\log_2 n!$ for some (fixed) positive $\vartheta_\varepsilon$. When $T$ is transitive the theorem is due to Leighton and Moitra; for this case we give a short proof with a better $\vartheta_\varepsilon$.
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