Chains conditions in algebraic lattices
Ilham Chakir
本文研究了代数格的链与其紧元的并半格的序结构之间的关系。研究结果分为四章，每一章都对应于与Maurice Pouzet合作撰写的一篇论文。
This work studies the relationship between the chains of an algebraic lattice and the order structure of the join-semilattice of its compact elements. The results are presented into four chapters, each corresponding to a paper written in collaboration with Maurice Pouzet.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Multicolour chain avoidance in the boolean lattice
给定一个色链偏序集集合，我们估计了布尔格中避开所有链的色子集的个数。
Huffman coding as an algorithm to construct chains in partition lattices
霍夫曼编码算法在源字母表的分区的晶格中解释。分划格中的最大链对应于树序的线性扩展，而链中表现出简单贪婪性质的那些链精确地对应于霍夫曼算法的执行。
Chain lengths in the type $B$ Tamari lattice
我们找到了最大的联盟中的两个链的类型$B$塔玛里格通过推广的技术用于经典（类型$A$）塔玛里格的描述类型$B$的情况下，由于休托马斯。
Chain enumeration, partition lattices and polynomials with only real roots
有限偏序集的链多项式的系数通过链的元素个数枚举偏序集中的链。证明了分划格及其标准型$B$类似物的链多项式只有实根。证明了链多项式在所有几何格上的实根性，并证明了它在Cohen-Macaulay偏序集上的金字塔和棱柱运算是保持的.结果，提出了面格具有实根链多项式的新的凸多胞体族。文中还应用于单形边界复形的第二次重心重分剖分的面计数。
On chain polynomials of geometric lattices
本文验证了几何格链多项式仅含实零点的猜想，并探讨了其在不同操作下的性质。
The length of chains in algebraic lattices
我们研究如何存在于一个代数格$L$链的一个给定的类型是反映在联合半格$K(L)$的紧凑元素。我们证明了对于每个链$α$的大小$κ$，有一个集合$\B$最多$2^κ$连接半格，每个有一个最小的元素，使得一个代数格$L$不包含链的顺序类型$I(α)$当且仅当连接半格$K(L)$的紧凑的元素包含任何连接子半格同构的$\B$。我们证明了在属于$\B$的$[ω]^{<ω}$的并子半格中，有一个可嵌入到所有其他的并子半格中.我们猜想，如果$α$是可数的，则存在有限集$\B$ .
Chain polynomials of distributive lattices are 75 % unimodal
本文证明了长度为$\ell +2$的分配格$L$的固有部分$L\setminus\{0,1\}$中长度为$i$的链的个数$c_i$满足不等式$$c_0<...<c_{\lfloor{\ell /2}\rfloor} \quad{and}\quad c_{\lfloor{3 \ell /4}\rfloor}>...>c_{\ell}.$$，从而证明了Neggers单峰猜想所包含的75%的不等式.
Lumpings of Algebraic Markov Chains arise from Subquotients
如果只观察函数值给出马尔可夫链，则马尔可夫链的状态空间上的函数是“集总”。我们给出了一大类代数定义的马尔可夫链，其中包括群上的随机游动和其他常见的结构的集块非常一般的条件。我们专门这些标准的情况下，下降算子链从组合霍普夫代数，并作为一个例子，构建一个“顶随机与标准化”链的排列，肿块到一个流行的限制，然后归纳链分区，使用的事实是，对称函数的代数是一个subquotient的Malvenuto-Mittenauer代数。
Equivariant Algebraic Morse Theory
本文将代数学莫尔斯理论推广到群作用于自由链复形的情形。代数莫尔斯理论是离散莫尔斯理论在自由链复形上的一种应用。
A recursion on maximal chains in the Tamari lattices
自1960年左右由Dov Tamari引入以来，Tamari晶格一直受到广泛的研究。然而奇怪的是，一个公式的数量最大的链仍然是未知的。这在很大程度上是由于$n$第Tamari晶格$\mathcal{T}_{n}$中的最大链的长度范围从$n-1$到${n \choose 2}$。在本说明中，我们把格中的顶点作为Young图，并确定极大链作为某些tableaux。对于每个$i\geq-1$，我们将$\mathcal{C}_{i}(n)$定义为长度为$n+i$的$\mathcal{T}_{n}$中的最大链的集合。给出了$\#\mathcal{C}_{i}(n)$的一个递推式和一个基于预定初值的显式公式。该公式是次数为$3i+3$的$n$中的多项式。例如，$\mathcal{T}_{n}$中长度为$n$的最大链的数目是$\#\mathcal{C}_{0}(n)={n \choose 3}$。根据极大链的一个特殊性质，该公式具有组合解释。
Algebraic Combinatorics of Magic Squares
我们描述了如何构造和枚举幻方，富兰克林广场，魔术立方体，魔术图作为多面体锥内的格点使用代数组合学的技术。我们的方法的主要工具是希尔伯特庞加莱级数来枚举格点和希尔伯特基生成格点。定义了图和有向图的幻标号的多面体，并给出了Birkhoff多面体的面是有向图的幻标号的多面体的描述。
A characterization of well-founded algebraic lattices
利用良基代数格的紧元构成的并半格的禁子半格刻画良基代数格。更具体地说，我们证明了一个代数格$L$是良基的当且仅当$L$的紧元素的并半格$K(L)$是良基的，并且既不包含$[ω]^{<ω}$，也不包含$\underlineΩ(ω^*)$作为并子半格。作为直接推论，我们得到代数模格$L$是良基的当且仅当$K(L)$是良基的且不含无限独立集.如果$K(L)$是$I_{<ω}(Q)$的并子半格，$L$是良基偏序集$Q$的初始段的集合，则$L$是良基的当且仅当$K(L)$是良准序的。
Partial mirror symmetry, lattice presentations and algebraic monoids
这是第二次在一系列的文件，发展理论的反射monoid，动机理论的反射群。反射幺半群在arXiv：0812.2789中首次引入。在本文中，我们研究他们的表现为抽象幺半群。一路上，我们也发现一般介绍某些联合半格（作为monoid下加入），我们解释了两个特殊类别的例子：面对凸多胞体和几何格，特别是交叉格超平面安排。另一个副产品是一般介绍伦纳幺半群的代数幺半群，我们说明在特殊情况下的“经典”代数幺半群。
Enumeration of saturated chains in Dyck lattices
我们确定了一个计算Dyck格中饱和链个数的一般公式，并应用它求出了长度为2和3的饱和链的个数。我们还计算了我们称之为Dyck格的Hasse指数（2阶和3阶），它是饱和链（长度为2和3）的总数与底层偏序集的基数之间的比率。
Lattice points in algebraic cross-polytopes and simplices
研究了格点个数$\left| tP \cap \mathbb{Z}^d \right|$作为实变量$t>1$的函数，其中$P \subset \mathbb{R}^d$属于代数交叉多面体和单形的一个特殊类型.它表明，格点的数量可以近似由一个明确给定的多项式$t$只依赖于$P$。误差项与代数数的同时丢番图逼近问题有关，如施密特定理。证明的主要成分是一般代数多面体的泊松求和公式，以及以复线积分形式的任意单纯形的特征函数的傅里叶变换的表示。
On maximal chains in the non-crossing partition lattice
引入并研究了不相交分划格极大链集上的弱序。一个$0$ -Hecke代数作用是用来计算这些链上的图的半径，其中两个链是相邻的，如果他们在恰好一个元素不同。
The algebraic area of closed lattice random walks
给出了一个包含给定代数区域的长度为$n$的闭格随机游动的计数公式。信息包含在编码的Kreft系数，在相称的情况下，Hofstadter长期方程的量子粒子跳跃的晶格耦合到一个垂直的磁场。代数区域枚举是可能的，因为它被分成$2^{n/2-1}$部分，每个部分都可以用显式的组合表达式来处理。
Algebraic aspects of unconditional lattice polytopes
本文研究了反阻多格点多面体与其关联的无条件格点多面体之间的代数关系，证明了反阻多面体的 торic 圎环正常当且仅当关联的无条件多面体的 toric 圎环正常，并且反阻多面体的 toric 理想由二次二项式生成当且仅当关联的无条件多面体的 toric 理想也由二次二项式生成。
On Orbital variety closures in sl_n. III Geometric properties
这是该系列的第三篇论文。在这里，我们定义了几个组合的顺序杨tableaux。第一阶是由诱导Duflo序通过Vogan T_{α, β}程序的帮助下的扩展获得的。我们称之为杜弗洛-沃根秩序。第二阶是从Spaldom构造的推广中得到的，通过考虑作为幂零轨道的双链的轨道簇。我们称之为连锁秩序。同样，我们使用Vogan的T_{α, β}过程，但是，这一次是为了限制链顺序。我们称之为沃根链秩序。由轨道簇闭包的包含所定义的Young tableaux上的阶称为几何阶，由本原理想的逆包含所定义的Young tableaux上的阶称为代数阶。我们得到了序之间的关系：Duflo-Vogan序是诱导Duflo序的扩张;代数序是Duflo-Vogan序的扩张;几何序是代数序的扩张; Vogan-chain序是几何序的扩张;最后，链序是Vogan-chain序的扩张。计算结果表明，当n<10时，duflo-Vogan序和Vogan链序在sl_n上是一致的;当n=10时，有一种情形（直到T_{α,β}过程和转置），Vogan链序是duflo-Vogan序的真推广.只有在这种情况下，代数序才与沃根链序一致。这些计算使我们可以猜想，在sl_n中，代数序与几何序是一致的。我们还猜想，在Young tableaux上，本原理想和轨道簇闭包上的包含的组合学都是由Vogan链序定义的.
Lattice convex chains in the plane
对平面格点凸折线进行了详细的组合分析。这使得有可能回答一个开放的问题Vershik关于存在一个极限形状时，顶点的数量受到约束。所使用的方法强调了组合分析与zeta函数零点的联系。它示出了如何黎曼假设导致凸链的数量的渐近等价。
On the number of lattice convex chains
给出了连接原点和对角线远点的平面格子凸多边形线数的渐近公式。该公式涉及zeta函数的非平凡零点，并导致黎曼假设成立的充要条件。
Polyptych lattices and marked chain-order polytopes
本文研究标记链序多面体的转移映射构成的多面体格，获得项目ive变元到标记链序多面体的扭棱退化，并计算了该项目ive变元的Cox环。
Algebraic area enumeration for open lattice walks
本文扩展算符方法，计算方形格点上固定长度与代数面积的开放行走数量，并推导端点位于特定直线及完全固定端点情形的计数方法。
On the algebraic area of cubic lattice walks
本研究提出立方格点上指定长度与3D代数面积的闭合随机游走的显式枚举公式，该公式可映射到三类量子排斥统计粒子的集团系数，满足两类g=1费米子数量相等的约束。
From lattice Quantum Electrodynamics to the distribution of the algebraic areas enclosed by random walks on $Z^2$
在世界线形式主义中，二维晶格上的标量量子电动力学与该晶格上的闭合回路的面积有关。我们利用这种关系，以确定的一般结构的时刻的代数领域的一组循环，具有固定数量的边缘在两个方向上。我们表明，这些时刻是产品的组合因子，计数这样的循环的数量，由一个多项式在每个方向上的步骤的数量。我们的方法导致一个算法获得明确的公式的时刻的低阶。
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