On Embeddings of $\ell_1^k$ from Locally Decodable Codes
我们表明，任何$q$查询本地可解码的代码（LDC）给出了一个副本的$\ell_1^k$与小失真的Banach空间中的$q$ -线性形式的$\ell_{p_1}^N\times\cdots\times\ell_{p_q}^N$，提供$1/p_1 + \cdots + 1/p_q \leq 1$和其中$k$，$N$，和失真是简单的功能的代码参数。我们展示了$\ell_1^k$的副本，它直接从“平滑”LDC解码器构建的基础。在此基础上，我们给出了2-查询最不发达国家的长度的已知下界的替代证明。使用类似的技术，我们reprove已知的下限较大的$q$。我们还讨论了关系的替代证明，由于皮西尔，结果Naor，Regev，和作者的cotype性质的投影张量积的$\ell_p$空间。
2016-11-22 cs.CC
Improved Lower Bounds for Locally Decodable Codes and Private Information Retrieval
我们证明了新的下界局部可解码的代码和私人信息检索。我们表明，一个2查询LDC编码的n位字符串在一个l位的字母表，其中解码器只使用b位的每个查询位置的码字，需要码长m = exp（Omega（n/（2 ^b Sum_{i=0} ^b {l choose i}）类似地，具有n位数据库和t位查询的2服务器PIR方案，其中用户仅需要来自两个l位答案中的每一个的b位，对于服务器未知，满足t = Omega（n/（2^b Sum_{i=0} ^b {l choose i}））。这意味着几个已知的PIR方案接近最优。我们的结果推广了Goldreich等人的结果，他们证明了线性最不发达国家和PIR的大致相同的界限。像早期的工作由克伦特洛夫和德沃尔夫，我们的经典下界证明使用量子计算技术。特别是，我们给出了一个严格的分析如何以及2输入函数可以计算从两个输入的量子叠加。
2005-05-19 cs.CC cs.CR quant-ph
Small Even Covers, Locally Decodable Codes and Restricted Subgraphs of Edge-Colored Kikuchi Graphs
针对k一致超图中偶覆盖与超边数量的极值权衡问题，提出纯组合论证恢复偶数k的已知最佳界，引入Kikuchi图新变体改进奇数k的对数因子，并给出3查询二进制线性局部可译码改进下界的纯组合证明。
2024-11-25 cs.CC math.CO
Query-Efficient Locally Decodable Codes of Subexponential Length
我们发展了Yekhanin（2008）和Efremenko（2009）的结构背后的代数理论，试图理解$\mathbb{Z}_m$中的“代数优美”现象。我们发现，每一个整数$m = pq = 2^t -1$，其中$p$，$q$和$t$是素数，具有相同的良好的代数属性，$m=511$，允许节省查询的复杂性。通过计算机搜索，我们确定了50个这种形式的数字，与511一起，然后通过伊藤和铃木的组合方法应用于获得查询复杂度的改进。更准确地说，我们为每个正整数$r<104$构造了一个$3^{\lceil r/2\rceil}$查询LDC，为每个整数$r\geq 104$构造了一个$\left\lfloor (3/4)^{51}\cdot 2^{r}\right\rfloor$查询LDC，两者的长度都是$N_{r}$，改进了Efremenko（2009）使用的$2^r$查询和Itoh和Suzuki（2010）使用的$3\cdot 2^{r-2}$查询。我们还获得了新的高效的私人信息检索（PIR）计划从新的查询效率的最不发达国家。
2010-08-10 cs.CC cs.DM cs.IT
Improved Lower Bounds for all Odd-Query Locally Decodable Codes
本文通过提出t-近似强正则性条件并利用Kikuchi矩阵谱界与贪心分解方法，证明了所有奇数q≥3查询的二进制局部可解码码的块长度下界k≤Õ(n^(1-2/q))，突破了先前方法在q≥5时的瓶颈。
2024-11-21 cs.CC math.CO
Undirected Multicast Network Coding Gaps via Locally Decodable Codes
针对无向图多源多播中编码速率与 Steiner 树装填速率的差距，论文利用低误差局部可译码构造新归约，首次证明超常数编码优势并给出上下界。
2025-10-21 cs.CC cs.DM cs.DS
A Near-Cubic Lower Bound for 3-Query Locally Decodable Codes from Semirandom CSP Refutation
本文证明3-查询局部可解码码的块长度具有近似三次下界，通过连接LDC与半随机CSP反驳技术，改进了先前二次下界的结果。
2023-08-29 cs.CC cs.IT math.IT
On Relaxed Locally Decodable Codes for Hamming and Insertion-Deletion Errors
局部可解码码（LDC）是具有超快速解码算法的纠错码$C:Σ^n\rightarrow Σ^m$。它们在理论计算机科学的许多领域中是重要的数学对象，然而迄今为止最好的构造具有码字长度$m$，其对于具有恒定查询复杂度和恒定字母表大小的代码是$n$中的超多项式。在一个非常令人惊讶的结果中，Ben-Sasson等人展示了如何在二进制字母表上构建一个具有恒定查询复杂度和几乎线性码字长度的宽松版本的LDCs（RDCs），并使用它们来获得显着改进的概率可检验证明的构造。在这项工作中，我们研究RDCs在标准的汉明错误设置，并介绍其变种的插入和删除（Insdel）错误设置。Insdel最不发达国家首先由Ostrovsky和Paskin-Cherniavsky研究，并进一步受到DNA随机存取生物技术的最新进展的推动，其目标是从DNA存储数据库中检索单个文件。我们的第一个结果是一个指数下界的长度汉明RDCs 2查询，在二进制字母表。这回答了古尔和拉吉什明确提出的一个问题。我们的结果表现出“相变”型行为的码字长度恒定查询汉明RDCs。我们进一步定义了两个变种的RDCs在Insdel错误设置，弱和强的版本。一方面，我们构造了弱Insdel RDCs，其参数与Hamming变体的参数相匹配。另一方面，我们证明了指数下界强Insdel RDCs。这些结果表明，虽然这些变体在Hamming设置中是等同的，但它们在…
2022-09-19 cs.CC cs.IT math.IT
Some Applications of Coding Theory in Computational Complexity
纠错码和相关的组合结构在计算复杂性理论中的几个最近（和以前）的结果中起着重要的作用。在本文中，我们调查结果的本地可测试和本地可解码的纠错码，以及它们的应用复杂性理论和密码学。局部可解码码是具有次线性时间纠错算法的纠错码。它们与私有信息检索（一种加密协议）有关，并且它们用于平均情况复杂性和构造单向排列的“核心谓词”。局部可测码是具有次线性时间检错算法的纠错码，是概率可检证明的组合核心。
2004-09-24 cs.CC cs.IT math.IT
Exponential Lower Bounds for 2-query Relaxed Locally Decodable Codes
University of Illinois at Chicago（芝加哥伊利诺伊大学）；Purdue University（普渡大学）；Peking University（北京大学）；University of Waterloo（滑铁卢大学）；Johns Hopkins University（约翰斯·霍普金斯大学）
本文证明了在二进制字母表上，2-query RLDCs 的码字长度具有指数下界，并展示了其在理论计算机科学中的意义。
2026-02-28 cs.CC cs.IT math.IT
Exponential Lower Bounds for Locally Decodable and Correctable Codes for Insertions and Deletions
Purdue University（普渡大学）；Center on Frontiers of Computing Studies, Peking University（北京大学前沿计算研究中心）；Advanced Institute of Information Technology, Peking University（北京大学信息技术高级研究院）；Cheriton School of Computer Science, University of Waterloo（滑铁卢大学切里顿计算机科学学院）；Department of Computer Science, Johns Hopkins University（约翰斯·霍普金斯大学计算机科学系）
研究证明了针对插入和删除错误的局部可解和可纠正码的指数下界，揭示了汉明LDCs与Insdel LDCs之间的严格分离。
2025-12-29 cs.CC cs.IT math.IT
A $k^{\frac{q}{q-2}}$ Lower Bound for Odd Query Locally Decodable Codes from Bipartite Kikuchi Graphs
针对奇数q≥3时q-查询局部可译码的下界问题，现有技术无法扩展到q≥5的情况，本文利用不平衡二部Kikuchi图，证明任意奇数q时q-LDC的下界n≥Ω̃(k^(q/(q-2)))，填补了相关研究空白。
2025-08-25 cs.CC cs.IT math.IT
A Combination of Testability and Decodability by Tensor Products
Ben-Sasson和Sudan（RSA 2006）证明了具有非常大距离的线性码的重复张量积是局部可测试的。由于需要非常大的距离，相关的张量积只能应用于足够大的场。然后Meir（SICOMP 2009）使用这个结果（作为一个黑盒子）来提出一个匹配最佳已知参数的局部可测试代码的组合结构。因此，这种构造是在足够大的场上获得的。本文改进了Ben-Sasson和Sudan的结果，证明了\emph{any}线性码的张量积是局部可测的.因此，Meir的构造可以在任何域上进行，包括二元域。此外，我们的结果与斯皮尔曼（IEEE IT，1996年）的结果相结合，意味着一个结构的线性码（在任何领域），结合了以下属性：有恒定的速率和恒定的相对距离;有块长度$n$和可测试的$n^ε$查询，对于任何常数$ε> 0$ ;线性时间编码和线性时间解码从一个恒定的错误分数。此外，我们的结果与Guruswami等人的结果（STOC 2009）的组合意味着关于列表可解码码的类似推论。
2011-05-29 cs.CC
3-Query RLDCs are Strictly Stronger than 3-Query LDCs
Department of Computer Science and Technology, University of Cambridge（剑桥大学计算机科学与技术系）；Department of Mathematics, Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院数学系）；EPFL（洛桑联邦理工学院）
本文提出了一种3-query RLDCs构造，通过改进的PCPPs和转换方法，实现了与LDCs的分离。
2025-12-15 cs.CC
High rate locally-correctable and locally-testable codes with sub-polynomial query complexity
在这项工作中，我们构建了第一个本地可纠正的代码（LCC），和本地可测试的代码（LTC）与恒定速率，恒定的相对距离，和子多项式查询复杂度。具体来说，我们发现，存在二进制LCC和LTC块长度$n$，恒定速率（甚至可以任意接近1），恒定的相对距离，查询复杂度$\exp(\tilde{O}(\sqrt{\log n}))$。以前，这样的代码只存在于$Ω(n^β)$查询复杂度（对于常数$β> 0$），并且有几种非常不同的结构。我们的编码是基于Alon和Luby~ \cite{AL96_codes}的一般距离放大方法。我们表明，这种方法与当地的校正和测试，并获得我们的主要结果，通过将其应用到适当构造的LCC和LTC的非标准制度的\emph{sub-constant relative distance}。在此过程中，我们还在大字母表上构建LCC和LTC，具有相同的查询复杂度$\exp(\tilde{O}(\sqrt{\log n}))$，它们还具有接近Singleton界的特性：它们的速率和距离之间几乎有最好的关系。这具有令人惊讶的结果，即要求大字母纠错码进一步成为具有$\exp(\tilde{O}(\sqrt{\log n}))$查询复杂度的LCC或LTC在速率和距离方面不需要任何牺牲！对于任何$o(n)$查询复杂度，这样的结果以前都是未知的。我们的结果LCC也立即给本地可解码的代码（LDC）…
2015-04-22 cs.CC
When Relaxation Does Not Help: RLDCs with Small Soundness Yield LDCs
Peking University（北京大学）；Johns Hopkins University（约翰斯·霍普金斯大学）
该研究证明了具有小正确性的RLDCs能产生LDCs，并扩展到LCCs和RLCCs，同时改进了RLDCs和RLCCs的下界。
2026-09-11 cs.CC cs.IT math.CO
Relaxed vs. Full Local Decodability with Few Queries: Equivalence and Separations for Linear Codes
University of Waterloo（滑铁卢大学）；University of Texas at Austin（德克萨斯大学奥斯汀分校）；The Institute for Advanced Study（高等研究院）
本文研究了线性RLDC与LDC在不同查询数下的等价性与分离性，证明了3查询下两者等价，但15查询时存在非等价情况。
2025-11-25 cs.CC
Relaxed Locally Correctable Codes with Improved Parameters
局部可解码码（LDC）是纠错码$C : Σ^k \to Σ^n$，其允许局部解码算法，该局部解码算法通过从噪声码字中仅查询几个比特来恢复消息的每个单独比特。在这条线的研究的一个重要问题是要了解最不发达国家的查询复杂性和它们的块长度之间的最佳权衡。尽管这些对象的重要性，常数查询最不发达国家的最佳结构具有超多项式长度，并且在块长度方面的最佳结构和已知的下限之间存在显着的差距。对于许多应用来说，考虑松弛最不发达国家（RDCs）的较弱概念就足够了，如果通过查询几个比特检测到输入不是码字，则允许本地解码算法中止。这种放松原来允许解码算法与恒定的查询复杂度几乎线性长度的代码。具体地，[BGH+06]构造了$O(q)$查询RLDC，其使用块长度$n = O(k^{1+1/\sqrt{q}})$的码字来编码长度为$k$的消息。在这项工作中，我们通过构建$O(q)$查询RLDC来改进[BGH+06]的参数，该RLDC使用块长度$O(k^{1+1/{q}})$的码字来编码长度为$k$的消息。该构造匹配（直到乘法常数因子）恒定查询LDC的[KT00，Woo07]的下限，从而在理解恒定查询机制中LDC和RDCs之间的差距方面取得进展。事实上，我们的构造扩展到[GRR 18]中引入的更强的放松局部可校正码（RLCC）概念，其中给定噪声码字，校正算法通过仅读取输入的一小部分来恢复码字的每个单独位，或者如果检测…
2020-09-15 cs.CC
Combinatorial lower bounds for 3-query LDCs
如果存在随机化解码算法，该随机化解码算法在给定索引$i$和接近于消息$x$的编码的接收字$w$的情况下，通过仅查询$w$的至多$q$坐标来输出$x_i$，则代码被称为$q$ -查询局部可解码代码（LDC）。了解最不发达国家的尺寸，长度和查询复杂度之间的权衡是一个迷人的和未解决的研究挑战。具体地，对于维度为$k$且长度为$n$的$3$ -查询二进制LDC，最佳已知界限是：$2^{k^{o(1)}} \geq n \geq \tildeΩ(k^2)$。在这项工作中，我们需要在二进制$3$查询最不发达国家的第二个看看。研究了一类等价于强二元3-查询最不发达国家的3-一致超图。我们证明了这些超图的边数的上界，重现了已知的$\tildeΩ(k^2)$的强$3$查询最不发达国家的长度的下界。与以前的工作相比，我们的技术是纯粹的组合，不依赖于直接减少$2$查询最不发达国家，开辟了一个潜在的不同的方法来分析3查询最不发达国家。
2019-11-25 cs.CC math.CO
An Exponential Lower Bound for Linear 3-Query Locally Correctable Codes
本文证明线性3查询局部可校正码的块长必须随维度呈指数增长，首次给出常数查询下LCC与LDC的强分离，方法上通过长链推导升级了基于Kikuchi矩阵的谱反驳技术。
2023-11-01 cs.CC
Lower bounds for 2-query LCCs over large alphabet
局部可校正码（LCC）是一种纠错码，其允许通过仅查询几个坐标来校正损坏码字的任意坐标。我们表明，任何{ \em零错误} $2$查询本地可纠正的代码$\mathcal{C}: \{0,1\}^k \to Σ^n$，可以纠正一个常数部分损坏的符号必须有$n \geq \exp(k/\log|Σ|)$。如果存在非自适应校正器算法，当输入是未损坏的码字时，该算法以概率$1$成功，则我们说LCC是零误差的。所有已知的LCC结构都是零误差的。我们的结果是紧到常数因子的指数。以前关于大字母表上2-查询LCC长度的唯一下限是由Katz和Trevisan（STOC 2000）提出的$Ω\left((k/\log|Σ|)^2\right)$。我们的界限意味着零错误LCC不能产生$2$ -服务器私有信息检索（PIR）计划与子多项式通信。由于存在基于零错误$2$查询本地可解码码（LDC）的具有子多项式通信的$2$ -服务器PIR方案（STOC 2015），我们还获得了大字母表上的LDC和LCC之间的分离。对于我们的结果的证明，我们需要一个新的分解引理的有向图，可能是独立的利益。给定一个稠密有向图$G$，我们的分解使用了Alon和Shapira（STOC 2003）的Szemerédi正则性引理的有向版本，将几乎所有的$G$划分为一个常数数量的子图，这些子图要么是边扩张的，要么是空的。
2017-04-28 cs.CC cs.DM
Matching-Vector Families and LDCs Over Large Modulo
当$m$是一个大整数时，我们证明了具有限制模内积的$\Z_m^n$中向量族的大小的新的上界。更正式地说，如果$\vec{u}_1,\ldots,\vec{u}_t \in \Z_m^n$和$\vec{v}_1,\ldots,\vec{v}_t \in \Z_m^n$满足$\langle\vec{u}_i,\vec{v}_i\rangle\equiv0\pmod m$和$\langle\vec{u}_i,\vec{v}_j\rangle\not\equiv0\pmod m$的所有$i\neq j\in[t]$，我们证明了$t \leq O(m^{n/2+8.47})$。这通过\cite{BDL13}改进了$t \leq m^{n/2 + O(\log(m))}$的最近界限，并且当$m$充分大于$n$时，这是最好的可能，直到常数8.47。这种家族的最大尺寸，称为“匹配向量家族”，出现在最近的本地可解码的纠错码（LDC）的结构，并确定了代码的速率。使用我们的结果，我们能够表明，这些代码，称为匹配向量码，必须有编码长度至少$K^{19/18}$的$K$位消息，无论其查询的复杂性。这改进了在\cite{DGY11}中证明的$ K2^{Ω({\sqrt{\log K}})}$的已知超线性界。
2013-04-18 cs.CC cs.DM math.CO
Near-Tight Bounds for 3-Query Locally Correctable Binary Linear Codes via Rainbow Cycles
本文利用正常边着色图中的彩虹循环定理，通过界定对偶码覆盖半径，证明3查询二进制线性LCC维数近紧上界为 $O_δ(\log^2 n\log\log n)$。
2024-04-08 cs.CC cs.IT math.CO
New Lower Bounds for Matching Vector Codes
匹配向量（MV）族模$m$是一对有序列表$U=(u_1,...,u_t)$和$V=(v_1,...,v_t)$，其中$u_i,v_j \in \mathbb{Z}_m^n$具有以下内积模式：对于任何$i$，$< u_i,v_i>=0$，并且对于任何$i \ne j$，$< u_i,v_j> \ne 0$。如果内积$< u_i,v_j>$至多取$q$不同的值，则MV族被称为$q$受限的。我们的兴趣MV家庭源于他们最近的应用在建设的次指数局部可解码码（最不发达国家）。在那里，$q$限制的MV家族用于构建具有$q$查询的最不发达国家，并且对$q$恒定的制度特别感兴趣。当$m$是素数时，已知这样的构造产生具有指数块长度的码。然而，对于复合材料$m$，其行为则截然不同。Efremenko [STOC 2009]最近的工作（基于Yekhanin [JACM 2008]发起的方法）给出了第一个具有恒定查询的次指数LDC。它基于Grolmusz [Combinatorica 2000]模复合$m$的超多项式大小的MV族的构造。在这项工作中，我们证明了两个下界的块长度的最不发达国家，这是基于黑盒建设MV家庭。当$q$是常数（或足够小），我们证明了这样的最不发达国家必须有一个二次块长度。当模$m$是常数（因为它是在建设Efremenko），我们证明了一个超多项式下界的块长度的最不发达国家，假设一个著名…
2013-03-29 cs.CC cs.DM math.CO
Matrix hypercontractivity, streaming algorithms and LDCs: the large alphabet case
本文证明大字母表上矩阵值函数的超压缩不等式，并应用于隐藏超匹配通信复杂性、超图Unique Games流式算法的量子空间下界及局部可解码码的指数下界。
2024-11-11 cs.CC math.FA quant-ph
