MSTD sets and Freiman isomorphisms

Order-preserving Freiman isomorphisms

An order-preserving Freiman 2-isomorphism is a map $ϕ:X \rightarrow \mathbb{R}$ such that $ϕ(a) < ϕ(b)$ if and only if $a < b$ and $ϕ(a)+ϕ(b) = ϕ(c)+ϕ(d)$ if and only if $a+b=c+d$ for any $a,b,c,d \in X$. We show that for any $A \subseteq \mathbb{Z}$, if $|A+A| \le K|A|$, then there exists a subset $A' \subseteq A$ such that the following holds: $|A'| \gg_K |A|$ and there exists an order-preserving Freiman 2-isomorphism $ϕ: A' \rightarrow [-c|A|,c|A|] \cap \mathbb{Z}$ where $c$ depends only on $K$. Several applications are also presented.

小和集与纠正集

Sets with small sumset and rectification

我们研究在何种程度上集A在Z/NZ，N素数，类似于集合的整数从添加剂的角度来看（"高达弗赖曼同构“）。我们给出了Freiman的一个结果的直接证明，即如果|A + A| < K |A|且|A| < c（K）N则A是Freiman同构于一个整数集。因为我们避免诉诸Freiman的结构定理，我们得到了一个合理的界限：我们可以取c（K）> exp（-cK^2 log K）。作为我们的论点的副产品，我们得到了锐化第二作者的结果集与小和扭转群。例如，如果A是F_2^n的子集，并且如果|A + A| < K |A|，则A包含在大小不超过2^{CK^2} |A|的子空间的陪集中。

映射发生率

Mapping Incidences

我们证明了特征零整环中的任何有限集S都可以映射到p阶有限域上，对无穷多个素数p，保持S中的所有代数关联。这可以被看作是一个推广的著名的Freiman同构引理，我们给出了几个组合应用（如和产品估计）。