颜色跨越环：正方形，矩形和等边三角形
Color Spanning Annulus: Square, Rectangle and Equilateral Triangle
摘要：
本文研究了$I\!\!R^2$中的一组点$P=\{p_1,p_2,\ldots,p_n\}$之间的最小宽度颜色生成环问题，其中每个点在$\{1, 2, \ldots, k\}$中被赋予一种颜色.我们提出的算法，找到一个最小宽度的颜色跨越轴平行方形环$(CSSA)$，最小宽度的颜色跨越轴平行矩形环$(CSRA)$，和最小宽度的颜色跨越等边三角形环的固定方向$(CSETA)$。计算（i）$CSSA$的时间复杂度是$O(n^3+n^2k\log k)$，这是对这个问题的现有结果的一个因子$n$的改进，（ii）对于$CSRA$的时间复杂度是$O(n^4\log n)$，并且对于（iii）$CSETA$的时间复杂度是$O(n^3k)$。所有算法的空间复杂度均为$O(k)$。
英文摘要：
In this paper, we study different variations of minimum width color-spanning annulus problem among a set of points $P=\{p_1,p_2,\ldots,p_n\}$ in $I\!\!R^2$, where each point is assigned with a color in $\{1, 2, \ldots, k\}$. We present algorithms for finding a minimum width color-spanning axis parallel square annulus $(CSSA)$, minimum width color spanning axis parallel rectangular annulus $(CSRA)$, and minimum width color-spanning equilateral triangular annulus of fixed orientation $(CSETA)$. The time complexities of computing (i) a $CSSA$ is $O(n^3+n^2k\log k)$ which is an improvement by a factor $n$ over the existing result on this problem, (ii) that for a $CSRA$ is $O(n^4\log n)$, and for (iii) a $CSETA$ is $O(n^3k)$. The space complexity of all the algorithms is $O(k)$.
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