Atkin and Swinnerton-Dyer congruences and noncongruence modular forms
Atkin同余和Swinnerton-Dyer同余是由非同余模形式的系数满足的特殊同余递归。这些在某种意义上是经典Hecke特征形所满足的Hecke递归的$p$ -adic模拟。它们实际上出现在不同的语境中，有时可以用形式群理论得到。本文介绍了Atkin同余和Swinnerton-Dyer同余，并讨论了这方面的一些最新进展。
2014-09-26 math.NT
Expected Mordell-Weil rank heuristics through Sato-Tate, Birch and Swinnerton-Dyer conjectures
利用Birch和Swinnerton-Dyer的原始猜想和Sato-Tate猜想，给出了数域上椭圆曲线的期望Mordell-Weil秩的一个启发式预测.在某些情况下，我们做计算，并提出问题，他们的关系，如果有的话，与预测的各种平均排名模型，已被认为是。
2022-11-02 math.NT
On the 2-part of the Birch-Swinnerton-Dyer conjecture for elliptic curves with complex multiplication
给定Q上椭圆曲线E的复乘在2处有好约化，研究了一类二次扭转的L值在1处的代数部分的2-adic赋值.特别是，我们证明了一个下界，这个估值的玉川数的形式预测的猜想的桦树和Swinnerton-Dyer。
2013-04-06 math.NT
On the refined `Birch--Swinnerton-Dyer type' conjectures of Mazur and Tate
该研究证明了Mazur和Tate对Birch-Swinnerton-Dyer猜想的精细化猜想的大部分内容，通过等变Tamagawa数猜想的零秩分量方法，还得到了比原预测更精细的结果。
2025-11-10 math.NT
Counterexamples to the local-global principle associated with Swinnerton-Dyer's cubic form
本文模拟Swinnerton-Dyer（Mathematica（1962））首先发现的四维三次型局部-整体原理的一个经典反例.我们的建设给出了新的显式家庭的反例在齐次形式的$4, 5, 6, ..., 2n+2$变量的程度$2n+1$为无穷多个整数$n$。与Swinnerton-Dyer的原始构造不同，我们在证明局部可解性时不需要任何具体的计算。
2019-12-10 math.NT
On the $p$-part of the Birch-Swinnerton-Dyer formula for multiplicative primes
设$E/\mathbf{Q}$是解析秩为1的半稳定椭圆曲线，$p>3$是$E[p]$不可约的素数.本文对Jetchev-Skinner-Wan的方法稍加修改，用Iwasawa理论建立了$E$的Birch和Swinnerton-Dyer公式的$p$部分。特别地，我们推广了loc.cit.的主要结果。到乘性约化的素数。
2017-06-14 math.NT
The Birch and Swinnerton-Dyer conjecture for an elliptic curve over $\mathbb{Q}(\sqrt[4]{5})$
本文证明了对$\mathbb{Q}(\sqrt[4]{5})$上某条椭圆曲线的Birch和Swinnerton-Dyer猜想等价于对$\mathbb{Q}$上亏格为2的某对超椭圆曲线的Birch和Swinnerton-Dyer猜想.我们数值验证了这些超椭圆曲线的猜想。此外，我们解释了用于找到这个例子的方法，结果比预期的要微妙一些。
2018-06-19 math.NT
On the 2-part of the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture for quadratic twists of elliptic curves
本文证明了对于定义在$\mathbb{Q}$上的一大类椭圆曲线，存在一个具有解析秩$0$的显式二次扭无穷族.此外，我们建立了$2$ -Birch和Swinnerton-Dyer猜想的一部分，许多这些无限家庭的二次扭曲。最近，万欣利用我们的结果首次证明了定义在复乘空间$\mathbb{Q}$上的某些显式椭圆曲线无限族的完全Birch-Swinnerton-Dyer猜想.
2019-11-12 math.NT
On anticyclotomic variants of the $p$-adic Birch and Swinnerton-Dyer conjecture
对于Bertolini-Darmon-Prasanna的$p$ -adic $L$ -函数，我们在好的普通约化的素数$p$处将其与椭圆曲线$E/\mathbf{Q}$联系起来，给出了Birch和Swinnerton-Dyer猜想的类似物.利用岩泽理论，我们然后证明在温和的假设下的不等式预测的秩的一部分，我们的turtures，以及预测的首项系数公式高达一个$p$ -进单位。我们的结果与Bertolini-Darmon在1996年为某些Heegner分布所建立的Birch型和Swinnerton-Dyer型的结果有着密切的关系，并且作为我们结果的应用，我们还得到了它们的结果的秩部分的一个不等式的证明.
2019-10-19 math.NT
A divisibility related to the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture
设$E/\mathbb{Q}$是解析秩为零的最优椭圆曲线.由解析秩为零的椭圆曲线的Birch和Swinnerton-Dyer猜想可知，$E/\mathbb{Q}$的挠子群的阶除$E/\mathbb{Q}$的Shafarevich-Tate群的阶、$E/\mathbb{Q}$的（整体）玉川数和$E/\mathbb{Q}$在无穷远处的玉川数的乘积。伯奇和斯温纳顿-戴尔猜想的这一结果在2005年被Agashe和Stein注意到。在本文中，我们证明了这个整除声明在许多情况下，包括曲线$E/\mathbb{Q}$是半稳定的情况下，无条件。
2022-11-15 math.NT
Introduction to the Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture
Universidade Federal de São Carlos（圣卡洛斯联邦大学）
本文简要介绍Birch和Swinnerton-Dyer猜想，通过回顾丢番图方程、定义椭圆曲线的代数秩与解析秩，提出二者相等的核心猜想。
2026-08-27 math.NT
2-Selmer Groups and the Birch-Swinnerton-Dyer Conjecture for the Congruent Number Curve
本文对曲线E_n：y^2=x^3-n^2x具有给定大小的2-Selmer群的n个数进行了计数。这个问题也在一对Invent中讨论过。罗杰·希斯-布朗的数学论文我们讨论了计算这些Selmer群的大小和验证Birch和Swinnerton-Dyer猜想的情况之间的联系。渐近公式的关键成分是勒让德符号的“独立性”，该符号在具有恰好k个素因子的整数的素除子处求值。
2007-06-29 math.NT
Equivariant Birch-Swinnerton-Dyer conjecture for the base change of elliptic curves: An example
设E是定义在$\Q$上的椭圆曲线，$K/\Q$是具有伽罗瓦群G的有限伽罗瓦扩张.对于系数在$\Q[G]$中的$h^1(E\times_{\Q} K)(1)$的等变Birch-Swinnerton-Dyer猜想被看作是对$\Q$的动机，它将与E相关的扭曲L值与E的算术不变量联系起来。在本文中，我们规定了一种方法来验证这一猜想为一个给定的数据。利用这种方法，我们验证了导体11的椭圆曲线和$\Q$的S_3-扩张的猜想.
2007-08-01 math.NT
The Birch and Swinnerton-Dyer Formula for Elliptic Curves of Analytic Rank One
设$E/\mathbb{Q}$是半稳定椭圆曲线，使得$\mathrm{ord}_{s=1}L(E,s) = 1$ .我们证明$p$ -部分的Birch和Swinnerton-Dyer公式$E/\mathbb{Q}$为每个总理$p \geq 5$的良好的减少，使$E[p]$是不可约的：$$ \mathrm{ord}_p \left (\frac{L'(E,1)}{Ω_E\cdot\mathrm{Reg}(E/\mathbb{Q})} \right ) = \mathrm{ord}_p \left (\#\mathrm{Sha}(E/\mathbb{Q})\prod_{\ell\leq \infty} c_\ell(E/\mathbb{Q}) \right ). $$这个公式也适用于$p=3$提供$a_p(E)=0$，如果$E$有超奇异减少在$p$。
2015-12-21 math.NT
Numerical verification of the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture for hyperelliptic curves of higher genus over $\mathbb Q$ up to squares
Flynn，Leprévost，Schaefer，Stein，Stoll和Wetherell等用模方法对32条亏格为2的模超椭圆曲线的Jacobian证明了Birch和Swinnerton-Dyer猜想.在实际周期的计算中，有一点不准确，这可能会给在Néron模型的特殊纤维中具有非约化分量的曲线带来问题。在本文中，我们解释了如何计算的实际周期，以及如何验证已扩展到许多更多的超椭圆曲线，一些亏格3，4和5，而不使用模块的方法。
2018-09-13 math.NT
On Atkin and Swinnerton-Dyer congruence relations (3)
在W. C.利湖，加-地朗，Z. [05 - 15]杨和[05 - 15] Atkin，W.C.利湖，加-地Long）等研究了非同余算术子群的特殊尖形族。结果发现，这些模形式在无穷远处的傅里叶系数满足三项Atkin和Swinnerton-Dyer同余关系，它们是经典Hecke本征形系数所满足的三项递归的$p$ -adic模拟.本文首先考虑Atkin型同余和Swinnerton-Dyer型同余，它们是上述三项同余的推广.对于特殊的非同余算术子群，尖形满足这些弱同余。然后我们将展示一个无限族的非同余尖形，其中每个尖形对几乎每个素数$p$都满足三项Atkin和Swinnerton-Dyer型同余.最后，我们将研究一个特殊的非全等尖形空间。我们将证明附加的$l$ -adic Scholl表示同构于附加到经典自守形式的$l$ -adic表示。此外，对于模12的奇素数的四个剩余类中的每一个，都存在一个基，使得每个基元素的傅里叶系数满足更强原始意义下的三项Atkin和Swinnerton-Dyer同余.
2007-01-10 math.NT
On the $p$-part of the Birch-Swinnerton-Dyer conjecture for elliptic curves with complex multiplication by the ring of integers of $\mathbb{Q}(\sqrt{-3})$
研究了椭圆曲线$E = X_0(27)$的二次和三次扭曲的无限族。对于二次扭曲族，我们建立了复$L$ -级数在$s=1$上的值的代数部分的$2$ -adic赋值的下界，对于三次扭曲族，我们建立了同一$L$ -值的代数部分的$3$ -adic赋值的下界.我们表明，我们的下界正是那些预测的著名猜想的伯奇和Swinnerton-Dyer。
2017-11-08 math.NT
Second Isogeny Descents and the Birch and Swinnerton-Dyer Conjectural Formula
设h是椭圆曲线的p-等距线。我们描述了如何对Shafarevich-Tate群中被对偶Islach '杀死的非平凡元进行h-下降。这使得计算的p-Selmer群的椭圆曲线承认一个p-等距在Q可行的p = 5，7的情况下，等距下降是不够的，一个完整的p-下降将是不可行的。作为应用，我们完成了对Q上秩为0或1且导体小于5000的所有椭圆曲线的Birch和Swinnerton-Dyer全曲率公式的验证.
2012-09-17 math.NT
On the Birch--Swinnerton-Dyer conjecture and Schur indices
对于每一个奇素数$p$，我们展示了一族不可约Artin表示$τ$，它具有这样的性质：对于每一个椭圆曲线$E$，扭曲$L$ -函数$L(E,τ,s)$在$s\!=\!1$的零点的阶必须是~ $p$的倍数.类似地，$E$的塞尔默群中的$τ$的重数也必须能被$p$整除。我们给出进一步的例子，$τ$还可以扭曲的任何字符的因素，通过$p$ -分圆扩展，和例子中的$L$ -功能是那些扭曲的某些希尔伯特模形式的狄利克雷charaters。这些结果是自然的，并依赖于一个标准的概括的伯奇-Swinnerton-Dyer猜想。我们的主要工具是来自表示论的Schur指数理论。
2017-08-05 math.NT
Elliptic logarithms, diophantine approximation and the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture
大多数，如果不是全部，无条件的结果对abc猜想最终依赖于经典贝克的方法。在这篇文章中，我们把我们的注意力转向它的椭圆模拟。利用椭圆Baker方法，我们最近得到了椭圆曲线上S-积分点高度的一个新的上界.这个界限依赖于与曲线的Mordell-Weil群有关的一些参数。我们推断在这里的约束依赖于猜想的伯奇和Swinnerton-Dyer，涉及经典的，更易于管理的数量。然后，我们研究的abc型不等式可以从这个椭圆的方法。
2013-01-06 math.NT
From the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture to Nagao's conjecture
设$E$是$\mathbb{Q}$上的椭圆曲线，具有判别式$Δ_E$ .对于具有良好约简的素数$p$，令$N_p$为以$p$为模的点数，并写为$N_p=p+1-a_p$。在1965年，Birch和Swinnerton-Dyer提出了一个猜想，这个猜想暗示了$$\lim_{x\to\infty}\frac{1}{\log x}\sum_{\substack{p\leq x\\ p\nmid Δ_{E}}}\frac{a_p\log p}{p}=-r+\frac{1}{2},$$，其中$r$是$E$的$L$ -函数$L_{E}(s)$在$s=1$处的零点的阶数，它被预测为$E(\mathbb{Q})$的Mordell-Weil秩。我们表明，如果上述限制存在，那么限制等于$-r+1/2$。我们也把这与长尾的猜想。
2021-06-01 math.NT
The Birch and Swinnerton-Dyer conjecture implies Goldfeld's conjecture
本研究确定了有理数域上椭圆曲线二次扭族的2-Selmer秩分布，证明其二次扭的2^∞-Selmer上秩0和1各占50%，进而推出Birch和Swinnerton-Dyer猜想蕴含Goldfeld猜想，部分情形的分布与Poonen-Rains模型不同。
2025-03-22 math.NT
On Rubin's variant of the p-adic Birch and Swinnerton-Dyer conjecture
本文研究了CM椭圆曲线上$p$ -adic Birch猜想的Rubin变式和Swinnerton-Dyer猜想，并讨论了Katz二元$p$ -adic $L$ -函数的某些特殊值在$p$ -adic插值范围之外的情形.
2007-01-22 math.AG math.NT
The conjecture of Birch and Swinnerton-Dyer for certain elliptic curves with complex multiplication
本文在 L(E/F,1) 非零且扭转扩张为阿贝尔的假设下，完整证明了具有复乘的椭圆曲线及 CM 阿贝尔簇的 Birch-Swinnerton-Dyer 猜想及其 Gross 等变细化。
2023-09-04 math.NT
On Atkin and Swinnerton-Dyer Congruence Relations (2)
本文给出一个非同余子群的例子，它的权为3的三维尖点形式空间具有下列性质。对于模8的奇素数的四个剩余类中的每一个，存在其在无穷远处的傅里叶系数满足三项Atkin和Swinnerton-Dyer同余关系的基，该关系是经典Hecke本征形式的系数所满足的三项递归的$p$ -adic模拟。我们还证明了在$\mathbb Q$上存在一个自守的$L$ -函数，它的局部因子与附着在非同余尖点形式空间上的$l$ -adic Scholl表示的局部因子一致.
2007-07-01 math.NT
On a refinement of the Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture in positive characteristic
本文提出正特征函数域上阿贝尔簇的 Birch 和 Swinnerton-Dyer 猜想精细化版本，融合 $L$-级数首项同余与 Selmer 复形 Galois 结构限制，并在假定 Tate-Shafarevich 群有限的条件下对一类重要例子给出完整证明。
2025-04-14 math.NT
Modular forms on noncongruence subgroups and Atkin-Swinnerton-Dyer relations
给出了SL（2，Z）中Scholl表示为模且满足三项Atkin-Swinnerton-Dyer关系的非同余子群上的加权三尖点形式的新例子.
2008-05-14 math.AG math.NT
From global class field concepts and modular representations to the conjectures of Shimura-Taniyama-Weil,Birch-Swinnerton-Dyer and Riemann
基于新的全局类域概念，得到了Langlands二维全局对应，利用R上截断的傅里叶级数的全局椭圆（bisemi）模，给出了尖点形式的一个模表示.作为应用，分析了Shimura-Taniyama-Weil，Birch-Swinnerton-Dyer和Riemann的结构.
2006-08-03 math.NT math.RT
A formulation for p-adic versions of the Birch and Swinnerton-Dyer conjectures in the supersingular case
给定一个椭圆曲线E和一个（好的）超奇异约化的素数p，我们用一对岩泽函数L^ \sharp（E，T）和L^ \flat（E，T）来表示Birch和Swinnerton-Dyer猜想的p-adic类似物.它们相当于Perrin-Riou和Bernardi的猜想。我们还推广了栗原和波拉克的工作，给出了这些功能之间的商的值的正秩的标准，并得出一个结果走向非零猜想。我们还推广了栗原和波拉克关于两个函数的最大公因数的猜想到一般的超奇异情况。
2015-12-31 math.NT
Is there a Birch and Swinnerton-Dyer conjecture for Dedekind zeta functions?
本文探讨数域K/Q的Birch和Swinnerton-Dyer猜想，假设V_K具有上同调性质并验证Serre关于ζ_K(s)在s=1/2处消失阶的猜想，证明存在自然的 functor K→V_K 并且它们同构，其共同自同构群是2- torsion 和 Abel 的。
2026-04-01 math.NT
A Weil-etale version of the Birch and Swinnerton-Dyer formula over function fields
利用Neron模型中系数曲线的Weil-etale上同调，给出了整体函数域上的Birch和Swinnerton-Dyer猜想的一个新的形式，并证明了在Tate-Shafarevich群有限的假设下该猜想成立.
2019-09-18 math.AG math.NT
Computing the Mazur and Swinnerton-Dyer critical subgroup of elliptic curves
设$E$是定义在$\mathbb{Q}$上的最优椭圆曲线。$E$的临界子群是由Mazur和Swinnerton-Dyer定义的，它是$E(\mathbb{Q})$在$E$的模参数化下由分支点迹生成的子群.我们证明了对于所有导体数小于1000的秩为二的椭圆曲线，临界子群是挠的。首先，我们定义了一个家庭的关键多项式附加到$E$和描述两个算法来计算这样的多项式。然后利用临界多项式的因式分解给出了临界子群是挠子群的一个充分条件。最后，对导体小于1000的所有二阶椭圆曲线，给出了临界多项式表，并由此导出了我们的结果.
2015-01-16 math.NT
Atkin and Swinnerton-Dyer congruences for meromorphic modular forms
Wesleyan University（卫斯理安大学）；Louisiana State University（路易斯安那州立大学）
本文将Atkin和Swinnerton-Dyer同余推广到亚纯模形式，证明p-进递推关系包含Scholl同余与万有椭圆曲线极点纤维的贡献，并在CM极点情形约化为二项关系，部分证明磁性猜想。
2025-11-07 math.NT
A visual perspective on the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture through a family of approximations of $L$-functions
本文通过一族 $L$-函数近似，给出了椭圆曲线解析秩的视觉解释，并精确刻画了近似误差，为 Birch 和 Swinnerton-Dyer 猜想提供了新的视角。
2023-11-13 math.NT
Derived Bockstein regulators and anticyclotomic $p$-adic Birch and Swinnerton-Dyer conjectures
本文借助 Nekovář 的思想定义导出 Bockstein 调节子并建立下降形式体系，据此由相关主猜想推出两类 p-adic BSD 猜想，并将一般 motive 的 Euler 系统导数理论推广至导出情形。
2023-08-17 math.NT
On the Birch-Swinnerton-Dyer quotients modulo squares
设A是数域K上的阿贝尔簇. K的扩张K_i的L-函数L（A/K_i，s）之间的恒等式导出了Birch-Swinnerton-Dyer恒等式之间的关系。我们证明了这些关系的模有限性的沙，并给出了类似的声明Selmer群。在此基础上，我们发展了一种方法，用于确定A在K的扩张上的秩的各种组合的奇偶性。作为应用之一，我们在假设Sha[6^ \infty ]有限性和对素数大于2和3的约化的一些限制条件下，建立了椭圆曲线的奇偶猜想：E/K的Mordell-Weil秩的奇偶性与解析秩的奇偶性一致，由根数决定.证明了Q上所有椭圆曲线和素数p的p-奇偶猜想：p^ \infty -Selmer秩的奇偶性与解析秩一致.
2008-10-20 math.NT
On the Identification of Elliptic Curves That Admit Infinitely Many Twists Satisfying the Birch-Swinnerton-Dyer Conjecture
Temple University（天普大学）
本文基于Burungale-Skinner-Tian-Wan的研究，提出一个显式算法，应用于LMFDB数据库，识别出所有导数不超过500,000的椭圆曲线，这些曲线有无限多个二次扭曲满足强Birch-Swinnerton-Dyer猜想，并提供了Radziwiłł和Soundararajan猜想的数值证据。
2026-06-04 math.NT
On pairs of p-adic analogues of the conjectures of Birch and Swinnerton-Dyer
对于一个权为2的模形式和一个好素的$p$，我们构造了一个由Iwasawa函数组成的向量$(L_p^\sharp,L_p^\flat)$ .在椭圆曲线的情况下，我们使用这个向量把$p$ -adic类似物的伯奇和Swinnerton-Dyer的结构的普通[MTT]和超奇异[BPR]素数在一个立足点。分别观察$L_p^\sharp$和$L_p^\flat$会导致一个包含额外零现象的更强的猜想。我们还给出了分圆方向上解析秩的一个明确的上界和一个渐近公式的$p$ -部分解析大小的Šafareviš-Tate群的岩泽不变量的$L_p^\sharp$和$L_p^\flat$。在模形式的相应公式中出现了一个非常令人困惑的现象。当$p$是超奇异的时，我们证明了两个经典的$p$ -adic $L$ -函数（[AV 75]，[VI 76]）有2个公共零点，正如Greenberg所指出的那样.
2015-12-31 math.NT
The Birch-Swinnerton-Dyer Conjecture
我们给出了一个简单的描述的Birch和Swinnerton-Dyer猜想，这是七个克莱问题之一。
2006-11-14 math.HO math.NT
The Birch--Swinnerton-Dyer exact formula for quadratic twists of elliptic curves
本文研究了二次 twists 椭圆曲线的 Birch--Swinnerton-Dyer 精确公式，推导了 $2$-adic 估值下界，并证明了存在显式无限族的二次 twists 具有解析秩 0。
2025-12-31 math.NT
Towards an 'average' version of the Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture
Birch和Swinnerton-Dyer猜想指出，椭圆曲线E的Mordell-Weil群的秩等于相关L-函数L（s，E）在中心点处消失的阶。以前的研究集中在界定我们必须在中心点之上走多远才能确保找到零，界定固定曲线的秩或界定一个族中的平均秩。梅斯特指出，第一个零点的出现时间为O（1/loglog（N_E）），其中N_E是E的导体，尽管我们希望研究中心点附近零点的正确尺度是明显更小的1/log（N_E）。我们显着改善Mestre的结果平均超过一个参数的椭圆曲线，获得非平凡的上限和下界的平均数的归一化零的间隔上的顺序为1/log（N_E）（这是预期的规模）。我们的结果可以解释为提供进一步的证据，支持伯奇和Swinnerton-Dyer猜想，以及Katz Sarnak密度猜想从随机矩阵理论（随机矩阵理论预测的零的数量位于我们的上限和下界之间）。这些方法可以应用于其他的L-函数族。
2009-11-21 math.NT
From the Birch & Swinnerton-Dyer Conjecture over the Equivariant Tamagawa Number Conjecture to non-commutative Iwasawa theory - a survey
我们给出了一个调查的非交换岩泽理论和等变玉川数猜想的工作（按字母顺序）伯恩斯/Flach，科茨/Sujatha，Kato，Huber/Kings和其他人之间的关系。
2005-07-13 math.HO math.NT
A $p$-part Birch and Swinnerton-Dyer Formula over Totally Imaginary Quadratic Extension of Totally Real Fields
Jiangsu Police Institute（江苏警官学院）
本文在Iwasawa主猜想及其他假设下，证明了全实域的全虚二次扩域上，模半稳定椭圆曲线$E$的Birch和Swinnerton-Dyer公式的$p$部分变体，给出了相关$p$进单位范围内的等式关系。
2026-08-13 math.NT
A p-adic analogue of the conjecture of Birch and Swinnerton-Dyer for modular abelian varieties
Mazur、Tate和Teitelbaum给出了一个关于椭圆曲线的Birch和Swinnerton-Dyer猜想的p-adic模拟。通过构造模交换簇的p-adic L-函数并证明它满足适当的插值性质，将他们的猜想推广到有理数上的高维模阿贝尔簇.这依赖于p-adic L函数的仔细归一化，我们通过比较周期来实现。我们的推广与Mazur，Tate，Teitelbaum在1维的猜想和经典的Birch Swinnerton-Dyer猜想Tate在秩0。我们描述的理论技术，用于制定猜想，并给出数值证据支持猜想的情况下，当模块化的阿贝尔簇是2维。
2014-12-30 math.AG math.NT
On Birch and Swinnerton-Dyer's cubic surfaces
本文推广了 Birch 和 Swinnerton-Dyer 1975 年的工作，利用现代计算机代数软件证明了更大范围的三次曲面存在 Brauer--Manin 障碍以阻碍 Hasse 原理，从而对无限多个三次曲面验证了 Colliot-Thélène--Sansuc 猜想。
2017-03-02 math.AG math.NT
Birch and Swinnerton-Dyer conjecture in the complex multiplication case and the congruent number problem
对于$K$上的椭圆曲线$E$，Birch和Swinnerton-Dyer猜想预言Mordell-Weil群$E(K)$的秩等于$L(E_{/ K},s)$在$s=1$的零点的阶。本文给出了具有复乘的椭圆曲线的一个证明。证明的关键是利用$p$ -adic Hodge理论将椭圆曲线Tate模上的无限级Galois作用化为有限级Galois作用。作为推论，我们可以确定一个给定的自然数是否是一个全等数（全等数问题）。这个问题是数学中最古老的未解决的问题之一。
2022-11-29 math.AG math.NT
Visibility and the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture for analytic rank zero
令$E$是具有解析秩零的导体$N$的$\Q$上的最优椭圆曲线，即，使得$E$的$L$函数$L_E(s)$在$s=1$处不消失。假设在同一导体$N$的$\Q$上存在另一个最优椭圆曲线，其Mordell-Weil秩大于零，并且其相关联的新形式与$E$以整数$r$为模的相关联的新形式全等。可见性理论则表明，在某些附加的假设下，$r$划分$E$的Shafarevich-Tate群的阶数与$E$的算术分量群的阶数的乘积。我们从Birch和Swinnerton-Dyer的乘积的代数公式中提取出一个显式的整数因子，并在类似于上述情形的假设下，证明了$r$能整除这个整数因子.这为Birch和Swinnerton-Dyer猜想的第二部分在解析秩为零的情况下提供了理论证据。
2009-10-22 math.AG math.NT
On Rubin's variant of the p-adic Birch and Swinnerton-Dyer conjecture II
设E是Q上的椭圆曲线，复乘为虚二次域K的整数环. 1991年，通过研究Katz二元p-adic L-函数在$p$插值范围之外的一个特殊值，K.当$E(K)$是无穷大时，鲁宾提出了伯奇和斯温纳顿-戴尔猜想的一个p-adic变体，并证明了他的猜想对秩为1的E（K）是正确的。然而，当E（K）是有限的时，鲁宾最初猜想的陈述不再适用，并且适当的$p$ -adic L-函数的相关特殊值等于零。在本文中，我们推广了我们以前的工作，并给出了一个无条件证明的类似鲁宾猜想时，E（K）是有限的。
2010-04-16 math.AG math.NT
Finiteness of the Tate-Shafarevich Groups for Elliptic Curves over the Field of Rational Numbers
设$E$是$\mathbb{Q}$上的椭圆曲线。设$\underline{III}(E)$是$E$的齐性空间的等价类的一个群，称为它的Tate-Shafarevich群。本文证明了这个群具有有限的基数，并讨论了它在Birch猜想和Swinnerton-Dyer猜想中的作用。特别地，我们的结果暗示奇偶猜想，或Birch和Swinnerton-Dyer猜想模2。它也消除了$\underline{III}(E)$的有限性条件，使强Birch猜想和Swinnerton-Dyer猜想的计算问题成为可能.此外，我们还给出了三次平面曲线的Hasse-Minkowski定理的一个类似定理。
2013-09-29 math.NT
Two proofs of the Cassels--Swinnerton-Dyer conjecture for cubic surfaces
University of Georgia（佐治亚大学）；Leibniz University Hannover（汉诺威莱布尼茨大学）
本文给出Cassels--Swinnerton-Dyer猜想在三次曲面情形（含光滑与奇异）的完整证明，通过两则独立证明补全缺失的4次点情形，并利用Ma的提升论证推广至任意域。
2026-09-28 math.AG math.NT
Visibility and the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture for analytic rank one
令$E$是导体$N$的$\Q$上的具有解析秩1的最优椭圆曲线，即，使得$E$的$L$函数$L_E(s)$消失，以在$s=1$处为1。设$K$是一个二次虚域，其中所有的素数划分$N$分裂，使得$E$在$K$上的$L$ -函数在$s=1$处为零。假设在同一导体$N$的$\Q$上存在另一条最优椭圆曲线，其Mordell-Weil秩大于1，并且其相关联的新形式与$E$以整数$r$为模的新形式全等。可见性理论表明，在某些附加假设下，$r$将$E$的Shafarevich-Tate群的阶划分为$K$。我们发现，在有些类似的假设下，$r$划分的顺序的Shafarevich-Tate组的$E$在$K$。我们证明了在类似的假设下，$r$也将$E$的Shafarevich-Tate群的Birch和Swinnerton-Dyer { \em结构}阶划分为$K$，这为Birch和Swinnerton-Dyer猜想的第二部分在解析秩为1的情况下提供了新的理论证据.
2008-10-14 math.AG math.NT
On refined conjectures of Birch and Swinnerton-Dyer type for Hasse-Weil-Artin L-series
考虑一般数域上阿贝尔簇的Hasse-Weil-Artin L-级数的Birch型和Swinnerton-Dyer型的精化图.我们将，特别是，制定几个新的这样的命题，并建立其精确的关系，以前的命题，包括相关的特殊情况下，等变玉川数猜想。我们还得到了广泛的具体的解释和明确的后果，这些profitures，在一般情况下，涉及到彻底的混合困难阿基米德的考虑有关的Deligne和格罗斯的猜想和微妙的p-adic同余关系，涉及双扩展高度配对的Mazur和泰特和非交换岩泽理论的关键方面。在重要的特殊情况下，我们提供了强有力的证据，理论和数值，在支持的acquitures。我们还指出了Bradshaw和Stein关于Heegner点上张氏定理的一个猜想中的一个不一致之处，并提出了一个可能的修正。
2021-10-28 math.AG math.NT
On an analogue of the conjecture of Birch and Swinnerton-Dyer for Abelian schemes over higher dimensional bases over finite fields
我们对特征$p$的有限域上高维基上处处好约化化的Abel格式给出了Birch和Swinnerton-Dyer猜想的一个类似结果.在Tate-Shafarevich群的$p$ -准素部分的有限性或解析秩与代数秩相等的条件下，证明了素数到$p$部分.如果基是曲线、阿贝尔簇和K3曲面的积，我们证明了常数或等常数阿贝尔方案猜想的素数到$p$部分，特别是（1）具有好约化的相对椭圆曲线或（2）具有常数同构类型的阿贝尔方案或（3）具有超奇异通用纤维的阿贝尔方案的素数到$p$部分。$\mathscr{A}[p]$，以及曲线上具有好约化的相对椭圆曲线和任意基上的常数Abel格式的完全猜想。我们还减少了猜想的情况下，表面作为基础。
2019-04-07 math.AG math.NT
On the Birch-Swinnerton-Dyer conjecture for modular abelian surfaces
本文利用亏格2 Siegel模形式spin表示的Euler系统，证明模阿贝尔曲面在中心L值非零等条件下的BSD有限性结论及Iwasawa主猜想的部分包含关系。
2023-07-13 math.NT
