Distribution of the largest eigenvalue for real Wishart and Gaussian random matrices and a simple approximation for the Tracy-Widom distribution
我们推导出有效的递归公式，给出有限维实Wishart矩阵和高斯正交包络（GOE）的最大特征值的精确分布。在比较大随机矩阵的极限分布的精确分布，我们还发现，特雷西-Widom定律可以近似为一个适当的缩放和移位的伽玛分布，具有很大的准确性，为共同感兴趣的值在统计应用。
2014-04-22 cs.IT math.IT math.ST
On the Square Root of Wishart Matrices: Exact Distributions and Asymptotic Gaussian Behavior
本文研究了Wishart矩阵平方根的精确分布和渐近正态行为，通过Bartlett分解和蒙特卡罗模拟验证了其渐近正态性和收敛速度。
2025-11-25 math.PR math.ST stat.TH
Holonomic Gradient Method-Based CDF Evaluation for the Largest Eigenvalue of a Complex Noncentral Wishart Matrix
利用复非中心Wishart矩阵最大特征值的累积分布函数（CDF）给出了莱斯衰落下多输入多输出（MIMO）无线通信系统中最大比合并（MRC）的中断概率.这个CDF以前被表示为一个行列式，其元素是一个汇合型超几何函数的积分。对于决定因素，传统的评估方法，例如，由超几何函数或数值积分产生的无穷级数的截断，即使对于中等天线数和Rician $ K $因子值，也可能是不可靠和缓慢的。因此，在这里，我们还通过手工和计算机代数推导出微分方程，然后从通过常规方法计算的初始条件求解这些微分方程。这就是完整梯度法。以前基于HGM的MIMO评估依赖于微分方程，理论上不能保证收敛，因此，仅对少数天线或中等$ K $产生可靠的结果。在这里，我们揭示了规范变换可以产生微分方程{ \emph{stabile} }，即，保证HGM收敛。随后的基于HGM的CDF评估被证明是可靠的，准确的，并迅速计算MRC中断概率，即使是非常大的天线数量和值的$ K $。
2018-04-30 math.ST stat.TH
Limiting Statistics of the Largest and Smallest Eigenvalues in the Correlated Wishart Model
相关Wishart模型提供了一个标准的工具，用于分析各种系统的相关性。虽然复杂的相关矩阵是众所周知的，经验上更重要的实际情况仍然构成了巨大的挑战。本文提出了一种新的方法，将任意统计量仅依赖于不变量映射到不变的厄米矩阵模型。为了完整性，我们还包括四元数的情况下，并处理所有三种情况下，在一个统一的方式。作为一个重要的应用，我们研究了关联Wishart模型中最大特征值及其极限分布的统计特性，因为它们有助于估计大型复杂系统的行为。我们表明，即使是完全相关的Wishart合奏，Tracy-Widom分布可以是最大和最小的本征值的极限分布，提供一定的缩放的经验本征值。
2014-12-23 cond-mat.stat-mech math-ph math.MP
Polynomial traces and elementary symmetric functions in the latent roots of a non-central Wishart matrix
超几何函数和带状多项式是处理非中心Wishart特征根中初等对称函数的期望值的常用工具。本文提出的方法通过对适当的多项式矩阵及其累积量的迹应用阴影算子来恢复这些对称函数的期望值。雇佣一个合适的线性算子代替超几何函数和带状多项式是由德瓦尔在1972年提出的。在这里，我们将展示如何本影算子完成这一任务，因此代表了一种替代工具来处理这些对称函数。当在变量中插入特殊形式变量时，通过阴影算子的求值删除了除在初等对称函数中起作用的单项式之外的所有在特征根中的单项式。累积量利用多项式迹的卷积结构进一步简化计算。开放的问题在文件的最后得到解决。
2020-05-22 math.CO math.ST stat.TH
Largest Finite Root of Identity-Scale Doubly Singular Beta Type II Ensembles
The Jackson Laboratory-New York Stem Cell Foundation Research Institute（纽约干细胞基金会研究所杰克逊实验室）
本文针对高维中双重奇异Beta Type II系综，证明其最大有限根恒等于非奇异q维Roy统计量，从而可直接用经典算法计算有限样本分布。
2026-09-09 math.ST stat.TH
Distribution of ratio of two Wishart matrices and evaluation of cumulative probability by holonomic gradient method
研究了具有不同协方差阵的两个中心Wishart矩阵之比的分布。我们首先推导出一个特定的矩阵形式的比率的密度函数，并表明其累积分布函数可以表示在一个矩阵的辐角的超几何函数2F1。然后，我们应用完整梯度法数值计算的超几何函数。这种方法使我们能够计算Roy最大根检验的幂函数，以检验两个协方差阵是否相等。
2016-10-28 math.ST stat.TH
Accuracy of the Tracy--Widom limits for the extreme eigenvalues in white Wishart matrices
$p$ -变量样本协方差阵$S$的最大和最小特征值的分布在统计学中具有重要意义。针对$nS$遵循标准Wishart分布$W_p(I,n)$的空值情形，研究了在$n/p\rightarrow γ\in(0,\infty)$为$n\rightarrow \infty$的情况下，它们的标度极限的准确性.这里的极限是正交Tracy-Widom定律及其对起源的反映。通过仔细选择重标度常数，用极限逼近重标度后的最大特征值分布达到了${\mathrm {O}({\min(n,p)^{-2/3}})}$级的精度。如果是$γ>1$，则在结合额外的对数变换之后，对于最小特征值获得相同的精度阶数。数值结果表明，在传统的显着性水平的近似的相对误差减少了50%以上的矩形和75%以上的“瘦”的数据矩阵设置，即使与$\min(n,p)$小到2。
2012-03-05 math.ST stat.TH
A rate of convergence result for the largest eigenvalue of complex white Wishart matrices
最近已经表明，如果$X$是一个$n\times N$矩阵，其元素是i.i.d.标准复Gaussian和$l_1$是$X^*X$的最大特征值，存在序列$m_{n,N}$和$s_{n,N}$使得$(l_1-m_{n,N})/s_{n,N}$在分布上收敛到$W_2$，这是在高斯酉系综研究中出现的Tracy-Widom定律.这个概率定律有一个已知的、可计算的密度。$W_2$的累积分布函数表示为$F_2$。在本文中，我们表明，在假设$n/N\to γ\in(0,\infty)$，我们可以找到一个函数$M$，连续和非增，和序列$\tildeμ_{n,N}$和$\tildeσ_{n,N}$，使所有真正的$s_0$，存在一个整数$N(s_0,γ)$，如果$(n\wedge N)\geq N(s_0,γ)$，我们有，与$l_{n,N}=(l_1-\tildeμ_{n,N})/\tildeσ_{n,N}$，\[\forall s\geq s_0\qquad (n\wedge N)^{2/3}|P(l_{n,N}\leq s)-F_2(s)|\leq M(s_0)\exp(-s).\]令人惊讶的好2/边界函数的3个速率和定性性质有助于解释极限分布$W_2$是经验分布的一个很好的近似。$l_{n,N}$在模拟中的分布，从（例如，统计）应用。
2007-02-28 math.PR math.ST stat.TH
On Efficient Sampling Schemes for the Eigenvalues of Complex Wishart Matrices
本文指出已有文献提供了两种仅需2n+1个卡方随机变量的高效采样方法，可推广到一般n维复Wishart矩阵特征值采样，并适用于单尖峰方差矩阵和实Wishart矩阵情形。
2024-01-22 math.ST stat.TH
Distribution of the largest root of a matrix for Roy's test in multivariate analysis of variance
令${\bf X, Y} $表示两个独立的实高斯矩阵$\mathsf{p} \times \mathsf{m}$和$\mathsf{p} \times \mathsf{n}$，其中$\mathsf{m}, \mathsf{n} \geq \mathsf{p}$均由零均值i.i.d.构成。具有共同协方差的列。在多元方差分析（MANOVA）中使用的Roy最大根准则是基于${\bf{(A+B)}}^{-1} \bf{B}$的最大特征值$Θ_1$的统计量，其中${\bf A =X X}^T$和${\bf B =Y Y}^T$是独立的中心Wishart矩阵。我们导出了$Θ_1$的精确分布的一个新的表达式和有效的递归公式。该表达式可以很容易地计算，即使是大参数，消除了需要预先计算表的应用罗伊的测试。
2017-04-02 math.ST stat.TH
Extreme principal minors of Wishart and deformed GOE matrices
School of Data Science, The Chinese University of Hong Kong, Shenzhen（香港中文大学深圳数据科学学院）；Department of Statistics and Data Science, University of Texas, Austin（德克萨斯大学奥斯汀分校统计与数据科学系）
该研究针对Wishart与变形GOE矩阵的极端主子式问题，提出基于Hausdorff距离收敛的确定性集合识别方法，解决了二阶矩论证未覆盖区域的问题，确定了变形GOE矩阵的相变及Wishart矩阵的极限。
2026-08-17 math.PR math.ST stat.TH
Numerical computation for the exact distribution of Roy's largest root statistic under linear alternative
本文讨论了多元方差分析~（MANOVA）中Roy检验的精确把握度的计算。本文给出了奇异非中心Beta矩阵的最大特征值用带状多项式乘积表示的精确表达式。该分布的数值计算通过将带状多项式的乘积展开为带状多项式的线性组合的算法进行。此外，我们提供了一个精确的分布的最大特征值的形式，是方便的数值计算下的线性替代。
2022-11-08 math.ST stat.TH
Exact Distribution of the Noncentral Complex Roy's Largest Root Statistic via Pieri's Formula
本研究借助组合学中的Pieri公式显式计算线性化系数，推导了可表为复带状多项式乘积的非中心复Roy最大根统计量的精确分布与矩，并将其应用于复MANOVA的检验功效计算。
2025-07-29 math.ST stat.TH
Roy's Largest Root Test Under Rank-One Alternatives
Roy最大根是多元分析、统计信号处理等领域中常用的检验统计量。尽管其无处不在，提供准确和易于处理的近似下的替代其分布一直是一个长期的开放问题。假设高斯观测值和一阶替代方案或集中非中心性，我们可以推导出最常见低维设置的简单而准确的近似值。这些方法包括噪声中的信号检测、多响应回归、多元方差分析和典型相关分析。一个小的噪声扰动的方法，可能在统计学中使用不足，导致标准的单变量分布的简单组合，如中心和非中心$χ^2$和$F$。我们的研究结果允许近似的权力和样本量计算罗伊的检验秩一效应，这正是它是最强大的。
2015-07-03 math.ST stat.TH
Distribution Functions for Edge Eigenvalues in Orthogonal and Symplectic Ensembles: Painlevé Representations II
我们推导出Painlevé-型表达式的分布的$m^{th}$最大特征值的高斯正交和辛合奏的边缘缩放限制。这项工作将Tracy和Widom [23]的$m=1$结果推广到一般的$m$。Johnstone和Soshnikov的结果（见[15]，[19]）暗示了我们的公式对于适当Wishart分布的$m^{th}$最大特征值的直接相关性。
2005-07-05 math.PR math.ST stat.TH
Algorithm for the product of Jack polynomials and its application to the sphericity test
在这项研究中，我们推导出的密度和分布函数的比例的最大和最小的特征值的奇异β-Wishart矩阵的球形测试。这些函数可以用杰克多项式的乘积表示。我们提出了一个算法，扩大积的杰克多项式的线性组合的杰克多项式。利用该算法对导出的分布进行了数值计算。
2021-08-30 math.ST stat.TH
Convergence rate to the Tracy--Widom laws for the largest eigenvalue of sample covariance matrices
本文建立了高维样本协方差阵最大特征值的Tracy-Widom定律的定量形式。为了更准确地说，我们表明，样本协方差矩阵$X^*X$的最大特征值的波动收敛到其Tracy-Widom限制的速度接近$N^{-1/3}$，其中$X$是一个$M \times N$随机矩阵，其条目是独立的实数或复数随机变量，假设$M$和$N$都趋于无穷大以恒定的速率。该结果改进了Wang [73]获得的先前估计值$N^{-2/9}$。我们的证明依赖于使用迭代累积量展开的格林函数比较方法[27]，格林函数的局部定律和白色Wishart系综相关核的渐近性质。
2021-08-05 math.PR math.ST stat.TH
Asymptotic Coincidence of the Statistics for Degenerate and Non-Degenerate Correlated Real Wishart Ensembles
相关Wishart模型在分析任何类型的时间序列时提供了标准基准。不幸的是，实际情况下，这是最相关的应用程序，提出了严重的挑战，分析计算。通常这些挑战是由于平方根奇异性，不能使用常见的随机矩阵技术处理。我们提出了一种新的方法来解决这个问题。利用超对称性，我们进行了分析研究，我们支持的数值模拟。对于大的，但有限的矩阵维数，我们表明，统计性质的完全相关的真实Wishart模型一般接近那些相关的真实Wishart模型与双矩阵维数和双退化的经验特征值。这适用于局部和全局谱统计。与蒙特卡罗模拟，我们表明，这是甚至近似为真的小矩阵尺寸。我们明确调查的$k$点关联函数以及分布的最大特征值，我们发现一个令人惊讶的紧凑的公式在双退化的情况下。此外，我们表明，在局部尺度上的$k$ -点关联函数表现出的正弦和艾里核在散装和软边缘，分别。我们还讨论了数据中可能的异常值的位置和波动。
2017-04-26 cond-mat.stat-mech math-ph math.MP
On the Domain of Attraction of a Tracy-Widom Law with Applications to Testing Multiple Largest Roots
最大根统计量在多个多元分析设置中作为检验统计量出现。假设存在由不同的独立子零假设组成的全局原假设，并且假设最大根统计量用作每个子原假设的检验统计量。当对协方差阵的相等性进行一批MANOVA或几批成对检验时，可能会出现这样的问题。使用联合交叉测试的方法，并让问题的尺寸趋于无穷快于批量的数量，我们表明，全球零可以使用Gumbel分布来近似的临界值进行测试。虽然理论结果是渐近的，模拟研究表明，即使是小到中等尺寸的近似是非常好的。结果是通用的，可以应用于任何使用最大根统计量的设置，而不仅仅是我们用于说明目的的两种方法。
2015-10-29 math.ST stat.TH
Multivariate analysis and Jacobi ensembles: largest eigenvalue, Tracy--Widom limits and rates of convergence
设$A$和$B$是$p$变量中独立的中心Wishart矩阵，具有共同协方差，分别具有$m$和$n$自由度。$(A+B)^{-1}B$最大特征值的分布在多元统计中有着广泛的应用，但很难精确计算。假设$m$和$n$与$p$成比例增长。我们表明，中心和缩放后，分布近似为二阶，$O(p^{-2/3})$，由特雷西-Widom法律。利用随机矩阵理论的方法研究了Jacobi酉系综和正交系综的最大特征值，得到了复数据和实数据的结果。最大零点附近的雅可比多项式的渐近逼近起着核心作用。
2009-01-21 math.PR math.ST stat.TH
Large deviations for the largest eigenvalues and eigenvectors of spiked random matrices
我们考虑由随机$N\times N$矩阵从高斯正交包络（或高斯酉包络）加上一个秩一扰动强度$θ$，并专注于最大的特征值，$x$，和组件，$u$，相应的特征向量的方向与秩一扰动。我们得到了控制$x$和$u$非典型联合涨落的大偏差原理。有趣的是，对于$θ>1$，在由小的$u$值表征的大偏差中，即$u<1-1/θ$，第二大特征值从维格纳半圆中弹出，并且相关联的特征向量在对应于秩1扰动的方向上定向。我们将这些结果推广到WishartEnsemble，并将它们推广到第一个$n$特征值和相关的特征向量。
2019-04-03 cond-mat.dis-nn cond-mat.stat-mech math-ph
Roy's largest root under rank-one alternatives:The complex valued case and applications
Wishart矩阵的最大特征值，即Roy最大根（RLR），在许多应用中起着重要的作用。迄今为止，大多数作品在各种渐近制度下推导出其分布的近似值，如自由度、维数或两者都趋于无穷大。然而，一些应用涉及有限的和相对小的参数，对于这些参数，上述近似可能是不准确的。最近，通过一个小的噪声扰动的方法与固定的尺寸和自由度，Johnstone和Nadler推导出简单而准确的随机逼近的分布罗伊的最大根在真正的价值的情况下，排名一的替代品。本文将他们的结果推广到复值情形。此外，我们分析的行为的领导特征向量，通过开发新的随机逼近。具体而言，我们得出简单的随机逼近的最大特征值的分布下五个常见的复杂的单矩阵和双矩阵的情况。然后，我们应用这些结果来研究信号检测和通信中的几个问题。特别是，我们分析了RLR检测器在认知无线电频谱感知和恒模信号检测在高信噪比（SNR）制度的性能。此外，我们解决的问题，确定最佳的发射-接收天线配置（这里的最优性是在中断最小化的意义上）的秩一多输入多输出莱斯衰落信道在高信噪比。
2014-11-16 cs.IT math.IT math.ST
Expected Euler characteristic method for the largest eigenvalue: (Skew-)orthogonal polynomial approach
本文利用单位向量二次型表示最大特征值，提出带辅助条件的斜正交多项式并建立一大类正交不变随机矩阵的 EEC 尾概率近似，且证明其在经典矩阵系的边缘渐近下近似 Tracy-Widom 分布。
2023-08-16 math.PR math.ST stat.TH
The Tracy-Widom law for the Largest Eigenvalue of F Type Matrix
设$\mathbb{A}_p=\frac{\mathbb{Y}\mathbb{Y}^*}{m}$和$\mathbb{B}_p=\frac{\mathbb{X}\mathbb{X}^*}{n}$是两个独立的随机矩阵，其中$\mathbb{X}=(X_{ij})_{p \times n}$和$\mathbb{Y}=(Y_{ij})_{p \times m}$分别由实（或复）独立随机变量组成，且$\mathbb{E}X_{ij}=\mathbb{E}Y_{ij}=0$，$\mathbb{E}|X_{ij}|^2=\mathbb{E}|Y_{ij}|^2=1$。用$λ_{1}$表示行列式方程$\det(λ\mathbb{A}_p-\mathbb{B}_p)=0$的最大根。当$p/m$和$p/n$趋近于正常数$p\rightarrow\infty$时，在$X_{ij}$和$Y_{ij}$上的某些矩条件下，建立了$λ_{1}$的Tracy-Widom型普适性.
2015-05-30 math.ST stat.TH
On the Log Determinant of Sample Correlation Matrices under Gaussianity
School of Statistics, University of Minnesota（明尼苏达大学统计学院）
该研究在总体相关矩阵正定且样本自由度不小于维度的条件下，证明了高斯皮尔逊样本相关矩阵对数行列式的中心极限定理，其几何意义与随机平行六面体对数体积相关。
2026-08-04 math.PR math.ST stat.TH
Limits of spiked random matrices I
给定来自加标总体的大的高维样本，已知顶部样本协方差特征值表现出相变。我们证明了在秩为1的尖峰实Wishart设置及其一般beta模拟中，最大特征值在相变附近具有渐近分布，证明了Baik，Ben Arous和Péché（2005）的猜想。我们还处理移动平均高斯正交和β系综。这样的结果是全新的，在真实的情况下，在复杂的情况下，我们加强现有的结果，提供最佳的缩放假设。我们得到了半直线上已知的极限随机薛定谔算子，但边界条件现在取决于微扰。我们得到了几个特征的极限定律中，β出现作为一个参数，包括一个简单的线性边值问题。这种PDE描述恢复了beta= 2，4时的已知显式公式，特别是对这些Tracy-Widom分布的Painlevé表示给出了一个新的简单证明。
2011-09-16 math-ph math.MP math.PR
