What is known about Vertex Cover Kernelization?
University of Bergen（卑尔根大学）；CNRS（法国国家科学研究中心）；Université Paris EST（巴黎东大学）
我们很高兴在Juraj Hromković教授60岁生日之际，将这个关于顶点覆盖问题的核化的调查献给他。顶点覆盖问题通常被称为参数化复杂性的果蝇。它有着悠久的历史。新的和有价值的观点将总是首先在这里以具体的结果得到展示。本文讨论了顶点覆盖核化的几个研究方向。讨论了顶点覆盖核化的障碍度。我们有减少规则，kernelize小度的顶点，包括在本文中的新成果，减少图形几乎到最低程度五。这个过程能永远持续下去吗？多项式时间核化的最小顶点次数障碍是多少？假设指数时间假设，存在最小程度障碍。讨论了自动内核化的想法。我们在这里报告的第一个实验结果的AI指导分支算法的顶点覆盖，其逻辑似乎适用于寻找减少规则，以核化小度顶点。该调查突出了参数化复杂性中的一个核心开放问题。祝你生日快乐！
2019-05-14 cs.AI cs.DS
FAST: Kernelization based on Graph Modular Decomposition
核化算法，通常是在其他更传统的算法之前的预处理步骤，在返回（减少）实例而不是最终结果的意义上非常特殊。这个特性排除了将加权版本的问题的核化算法应用于其未加权实例的自由。因此，只有很少的特殊情况下，核化算法必须分别研究加权和未加权版本的一个问题。{ \sc反馈弧集竞赛图}是近年来参数化、近似计算研究中的一个热门问题，它在许多领域的广泛应用使其出现在各大会议上。图的模分解理论是研究图结构的一般方法，在以往的{ \sc反馈弧集竞赛图}的核化算法研究中，只涉及到它的皮毛。本文进一步研究了图的模分解的性质，并利用这些性质得到了非加权{ \sc反馈弧集竞赛图}问题的第一线性核，该问题只允许线性核的加权形式，而不允许二次核的加权形式.
2010-10-01 cs.DS
WeGotYouCovered: The Winning Solver from the PACE 2019 Implementation Challenge, Vertex Cover Track
我们介绍PACE 2019实施挑战赛的获胜解决方案，顶点覆盖跟踪。最小顶点覆盖问题是核化（通过数据缩减规则反复减少输入大小）在实践中非常有效的少数问题之一。我们的算法使用了一系列技术，包括积极的核化策略，局部搜索，分支和减少，以及最先进的分支和边界求解器。特别有趣的是，我们的几个技术不是从文献上的顶点问题：他们最初发表解决（互补）最大独立集和最大团的问题。除了说明我们的求解器在PACE 2019实施挑战赛中的表现外，我们的实验还提供了文献中尚未看到的几个关键见解。首先，核化可以提高分支定界团求解器的性能，足以超过分支归约求解器。其次，局部搜索可以显着提高分支和减少求解器的性能。最后，有点令人惊讶的是，内核化有时会使分支定界算法的性能比单独运行分支定界算法更差。
2019-08-20 cs.DS
A more versatile model for enumerative kernelization: a case study for Vertex Cover
LIRMM, Université de Montpellier, CNRS（蒙彼利埃大学 LIRMM 实验室）；Universidade Federal de Minas Gerais（米纳斯吉拉斯联邦大学）
本文提出一种更灵活的枚举内核化模型，用于解决顶点覆盖问题，并扩展了内核化二元性理论。
2026-04-25 cs.DS
Kernelization for Treewidth-2 Vertex Deletion
树宽2顶点删除问题询问是否可以从图中删除至多$t$顶点的集合，使得所得图的树宽至多为2。一个图的树宽最多为2当且仅当它不包含$K_4$子图。因此，该问题对应于使用$\mathcal{F} = \{K_4\}$的NP难$\mathcal{F}$ -次覆盖问题。对于$\mathcal{F}$ -次覆盖问题的任何变体，其中$\mathcal{F}$包含平面图，已知存在多项式核。也就是说，在多项式时间内输出大小为$t^{O(1)}$的等价实例的一种预处理例行程序。然而，这个证明是非构造性的，这意味着这个证明没有给出内核大小的显式界限。$\{K_4\}$ -Minor Cover问题是$\mathcal{F}$ -Minor Cover问题的最简单的变种，具有未知的内核大小。为了开发一个建设性的核化算法，我们提出了一种新的方法来分解图到近突起，这样，在这个新的分解近突起可以减少使用基本的减少规则。我们的方法扩展了van Bevern等人的“近似和整理”框架。[Amicica 2012]提供比该框架和常规突出分解更强的保证。此外，我们提供了Donkers等人[IPEC 2021]引入的$\{K_4, K_{2,3}\}$ -Minor Cover核化算法所使用的基本归约规则的扩展。利用新的分解方法和约简规则，我们得到了一个由$O(t^{41})$顶点组成的核，这是第一个构造性核。这个内核是一个…
2022-03-18 cs.DS
Experimental Evaluation of Parameterized Algorithms for Graph Separation Problems: Half-Integral Relaxations and Matroid-based Kernelization
近年来，我们已经目睹了一个快速发展的新的算法技术的参数化算法的图分离问题。我们目前的实验评估的两个基石的理论成果在这方面：线性时间分支算法指导下的半积分松弛和内核化（预处理）例程的基础上，在拟阵的代表集。边贡献是一组新的（未加权，顶点删除）Multiway Cut的基准实例。
2018-11-19 cs.DS
A randomized polynomial kernelization for Vertex Cover with a smaller parameter
在顶点覆盖问题中，我们给定一个图$G=(V,E)$和一个整数$k$，并且必须确定是否存在一个大小至多为$k$的集合$X\subseteq V$，使得$E$中的每条边在$X$中至少有一个端点。该问题可以很容易地解决的时间$O^*(2^k)$，使其固定参数易处理（FPT）的$k$。虽然最快的已知算法只需要时间$O^*(1.2738^k)$，但通过研究比$k$小的参数，已经获得了更强的改进。除了与树宽相关的结果之外，顶点覆盖的最佳算法可以在时间上运行$O^*(2.3146^p)$，其中$p=k-LP(G)$只是解大小$k$超过最佳分数顶点覆盖的部分（Lokshtanov等人，\ TALG 2014）。由于$p\leq k$ but $k$不能仅根据$p$来定界，这严格地增加了易处理实例的范围。最近，Garg和Philip（SODA 2016）为理解顶点覆盖问题的参数化复杂性做出了巨大贡献。他们证明了$2LP(G)-MM(G)$是$G$的顶点覆盖大小的下界，其中$MM(G)$是$G$的最大匹配的大小，并继续研究参数$\ell=k-(2LP(G)-MM(G))$。给出了运行时间$O^*(3^\ell)$的算法，证明了$\ell$中顶点覆盖是FPT.可以容易地观察到，$\ell\leq p$而$p$不能仅根据$\ell$而有界。我们通过证明顶点覆盖允许$\ell$方面的随机多项式核化来补充Ga…
2016-11-21 cs.DS
Lossy Planarization: A Constant-Factor Approximate Kernelization for Planar Vertex Deletion
在无F-minor-free删除问题中，我们希望在给定的图中找到一个最小顶点集，该顶点集与族F中所有图的minor模型相交。顶点平坦化问题是族F ={K_5，K_{3,3}}的无F-子式删除的一种特殊情况。只要族F包含至少一个平面图，则已知F-minor-free删除允许常数因子近似算法和多项式核化[Fomin，Lokshtanov，Misra和Saurabh，FOCS '12]。顶点平面化问题可以说是F不包含平面图的最简单的设置，并且常数因子近似或多项式核化的存在仍然是一个主要的开放问题。在这项工作中，我们表明，顶点平面化承认一个算法，这是一个组合的两种方法。也就是说，我们提出了一个多项式A-近似核化，对于某个常数A> 1，基于有损核化的框架[Lokshtanov，Panolan，Ramanujan和Saurabh，STOC '17]。简单地说，当给定图G和整数k时，我们展示了如何计算poly（k）顶点上的图G '，使得G'的任何B-近似解都可以提升为G的（A * B）-近似解，只要A * B * OPT（G）<= k。为了实现这一点，我们开发了一个框架，稀疏的平面图，近似保留所有的隔离符和近隔离符之间的子集给定的终端集。我们的结果产生了一个国家的最先进的顶点平面化的近似算法的改进。这个问题允许一个多项式时间O（n ^eps）-近似算法，对于任何eps> 0，和一个准多项式时间（…
2022-02-04 cs.CC cs.DS
On the Approximate Compressibility of Connected Vertex Cover
连通顶点覆盖问题是一个基本的组合问题，其目标是计算给定图中的最小顶点集，使其形成顶点覆盖并导出连通子图，在算法学的各个子领域都受到了广泛的关注。在核化领域，已知该问题不太可能具有有效的预处理算法，也称为多项式核化。然而，在Lokshtanov等人最近的工作中已经表明。[STOC 2017]，如果考虑近似核化的适当概念，那么这个由解大小参数化的问题确实允许近似多项式核化。事实上，Lokhtanov等人能够获得由解大小参数化的连接顶点覆盖的多项式大小近似核化方案（PSAKS）。PSAKS本质上是一种预处理算法，其误差可以任意接近于0。在本文中，我们重新审视这个问题，并考虑严格小于解决方案的大小的参数，并获得第一个多项式大小的近似核化方案的连通顶点覆盖问题时，删除输入图的类的cographs，类有界树宽图，和类的所有弦图的距离参数化。
2020-04-28 cs.DM cs.DS
A Turing Kernelization Dichotomy for Structural Parameterizations of $\mathcal{F}$-Minor-Free Deletion
对于一个固定的有限图族$\mathcal{F}$，$\mathcal{F}$ -Minor-Free删除问题以一个图$G$和一个整数$\ell$作为输入，并询问是否存在一个大小至多为$\ell$的集合$X \subseteq V(G)$，使得$G-X$是$\mathcal{F}$ -minor-free的。对于$\mathcal{F}=\{K_2\}$和$\mathcal{F}=\{K_3\}$，这分别编码顶点覆盖和反馈顶点集。当参数化的反馈顶点数$G$这两个问题是已知的承认多项式核化。对于任何包含平面图但不包含森林的$\mathcal{F}$，也存在这样的多项式核化。本文证明了以反馈顶点数为参数的$\mathcal{F}$ -Minor-Free Deletion对于$\mathcal{F} = \{P_3\}$是MK[2]-难的.这排除了假设$NP \subseteq coNP/poly$的多项式核的存在，并且也给出了该问题不允许多项式图灵核的证据。我们的硬度结果推广到任何$\mathcal{F}$不包含一个$P_3$ -subgraph-free图，作为参数的顶点删除距离树宽$mintw(\mathcal{F})$，其中$mintw(\mathcal{F})$表示的最小树宽的图在$\mathcal{F}$。对于另一种情况，其中$\mathcal{F}$包含一个$P_3$ -子…
2019-07-16 cs.CC cs.DS
Essentially Tight Kernels for (Weakly) Closed Graphs
研究了当输入图满足三元闭包性质时经典硬图问题的核化问题。更准确地说，我们考虑最近引入的参数闭包数$c$和弱闭包数$γ$ [Fox等人，SICOMP 2020]，以及标准参数解决方案大小$k$。对于容量限制顶点覆盖，连通顶点覆盖，诱导匹配，我们得到的第一个核的大小$k^{\mathcal{O}(γ)}$和$(γk)^{\mathcal{O}(γ)}$，分别，从而扩展以前的核退化图的结果。核本质上是紧的，因为这些问题不太可能通过关于退化图中的核化复杂性的先前结果来承认大小为$k^{o(γ)}$的核[Cygan等人，ACM TALG 2017]。此外，我们还给出了具有常数闭包数~ $c$的图的独立集的核化的下界以及弱闭分裂图和弱闭二部图的支配集的核的下界.
2021-03-05 cs.DS
Approximate Turing Kernelization for Problems Parameterized by Treewidth
我们扩展了Lokshtanov等人[STOC 2017]引入的有损核化概念，以近似图灵核化。$α$ -用于参数化优化问题的近似图灵内核是一种多项式时间算法，当允许访问在$O(1)$时间中输出$c$ -近似解的Oracle时，使用对仅取决于参数的某些函数$f$的大小最多为$f(k)$的Oracle的调用，获得所考虑问题的$(α\cdot c)$ -近似解。使用这个定义，我们证明了由树宽$\ell$参数化的独立集具有一个带有$O(\frac{\ell^2}{\varepsilon})$顶点的$(1+\varepsilon)$ -近似图灵核，回答了Lokshtanov等人提出的一个悬而未决的问题。[STOC 2017]。此外，我们给出了以下图问题的$(1+\varepsilon)$ -近似图灵核的树宽参数：顶点覆盖，边团覆盖，边不相交三角形包装和连通顶点覆盖。我们推广的结果独立集和顶点覆盖，通过显示，所有的图形问题，我们将称之为“友好”承认$(1+\varepsilon)$ -近似图灵内核的多项式大小时，参数树宽。我们使用它来获得近似图灵核的顶点不相交$H$ -包装的连通图$H$，团覆盖，反馈顶点集和边支配集。
2020-04-27 cs.CC cs.DS
A $5k$-vertex Kernel for $P_2$-packing
$P_2$ -packing问题要求图是否包含长度为2的$k$顶点不相交路径。我们继续研究其核化算法，并开发了一个$5k$ -顶点核。
2022-02-04 cs.DS
Smaller parameters for vertex cover kernelization
我们重新讨论顶点覆盖的多项式核与结构参数的关系。我们的出发点是Fomin和Strømme最近的一篇论文[WG 2016]，他们给出了一个具有$\mathcal{O}(|X|^{12})$顶点的核，当$X$是一个顶点集，使得$G-X$的每个连通分量最多包含一个循环，即，$X$是假森林的调节剂。我们通过使用调制器将这一结果强有力地推广到$d$ -准森林，即，图，其中每个连通分量具有大小至多为$d$的反馈顶点集，并获得具有$\mathcal{O}(|X|^{3d+9})$顶点的核。我们的结果依赖于证明$d$ -拟森林中的最小阻塞集的大小至多为$d+2$。这个界是紧的，并且在内核的位大小上存在$\mathcal{O}(|X|^{d+2-ε})$的相关下界。事实上，我们也得到了更一般的图类的最小阻塞集的界：对于$d$ -拟二部图，其中每个连通分支可以通过删除最多$d$顶点而成为二部图，我们得到了$d+2$顶点的相同紧界。对于图的连通组件每个有一个顶点覆盖的成本最多$d$超过最好的分数顶点覆盖，我们称之为$d$ -拟积分，我们表明，最小阻塞集的大小最多$2d+2$，这也是紧的。与现有的随机多项式核化相结合，这导致调制器的随机多项式核化为$d$ -准二部图和$d$ -准整数图。对于这样的内核的位大小，存在$\mathcal{O}(|X|^{d+2-ε})$和$\mathcal{O}(|X|^{2…
2017-11-13 cs.CC cs.DS
Lossy Kernelization for (Implicit) Hitting Set Problems
本文研究 $d$-命中集问题的核化复杂性，通过有损核化和近似图灵核化突破精确核化的比特大小下界，并为 FVST 和 CVD 获得线性顶点数的 $(1+ε)$-近似核化。
2023-08-11 cs.DS
Triangle packing in (sparse) tournaments: approximation and kernelization
给定竞赛图T和一个正整数k，C_3-Pakcing-T问题是问T中是否存在至少k个顶点不交的有向3-圈。这是经典的最小反馈点集问题的竞赛图中的对偶问题。令人惊讶的是，C_3-Pakcing-T在文献中没有得到很多关注。我们表明，它不承认一个PTAS，除非P = NP，即使我们限制所考虑的实例稀疏比赛，即比赛与反馈弧集（FAS）是一个匹配。针对稀疏竞赛图，我们提出了一个（1 + 6/（c-1））近似算法，用于稀疏竞赛图的线性表示，其中所有后向弧的"长度"至少为c。关于核化，我们证明了C_3-Pakcing-T允许一个O（m）顶点的核，其中m是给定反馈弧集的大小。特别地，我们得到了C_3-Pakcing-T在稀疏情况下的O（k）顶点核.在负的大小上，我们证明了C_3-Pakcing-T不允许（总比特）大小为O（k ^{2-ε}）的核，除非NP是coNP/Poly的子集. C_3-Pakcing-T的O（k）个顶点核的存在性仍然是一个悬而未决的问题。
2017-07-13 cs.DS
Boundaried Kernelization via Representative Sets
本研究利用基于拟阵的技术，为四类已知常规随机多项式核化的图问题得到了随机多项式带边界核化，验证了局部边界划分足以支撑原本依赖全局连通性的核化方法的局部应用。
2025-10-01 cs.DS
Tight Kernel Bounds for Problems on Graphs with Small Degeneracy
在本文中，我们考虑核化问题的d-退化图，即图，使任何子图包含一个顶点的度至多$d$。这个图类推广了许多已知存在有效核化的图类，例如平面图、H-子自由图和H-拓扑-子自由图。我们发现，对于d-退化图上的几个自然问题，最著名的核化上界基本上是紧的。
2013-06-23 cs.DS
Space-Efficient Graph Kernelizations
针对参数化图问题，提出在多项式时间内使用 $O(\rm{poly}(k) \log n)$ 比特内存计算多项式大小核的方法，并通过核级联获得已知最佳核。
2024-02-20 cs.DS
Representative sets and irrelevant vertices: New tools for kernelization
奇圈变换多项式核的存在性是参数复杂性中一个著名的公开问题。最近，这是由本作者（Kratsch和Wahlström，SODA 2012）解决的，该问题具有随机多项式内核，使用拟阵理论对终端数量的大小多项式中的一组终端上的流问题进行编码。在目前的工作中，我们进一步建立了拟阵理论的核化的有用性，通过展示Lovász（Combinatorial Surveys 1977）和Marx（TCS 2009）的代表集的结果的应用。我们展示了如何代表集可以用来给一个难以捉摸的几乎2-SAT问题的多项式内核。我们进一步将代表集工具应用于图割问题中寻找不相关顶点的问题，即，可以使其不可删除而不影响问题状态的顶点。这给出了Multiway Cut问题的多项式核的第一个重要进展;特别地，我们得到了至多s个终端的Multiway Cut实例的O（k^{s+1}）个顶点的核。这两个核化结果都有显著的副产品效应，为一系列相关问题产生了第一个多项式核。更一般地说，不相关顶点的结果有覆盖图中的最小割的影响。对于有向图G=（V，E）且集合S，T \subseteq V，设r是最小（S，T）-点割（它可能与S和T相交）的大小.我们可以找到一个大小为O（|S| * |T| *r）的集合Z \subseteq V，它包含每个A \subseteq S，B \subseteq T的最小（A，B）-顶点割。类似地，对于一个无向图…
2012-06-26 cs.DS
Introducing lop-kernels: a framework for kernelization lower bounds
在最大最小顶点覆盖（MMVC）问题中，给定一个图$G$和一个正整数$k$，目标是判定图$G$是否包含一个大小至少为$k$的最小顶点覆盖.出于MMVC的核化参数$k$，我们的主要贡献是引入一个简单的通用框架，以获得核化下界的某种类型的内核优化问题，我们称之为洛普内核。非正式地说，这种类型的内核需要在减少的情况下保持大的最优解，并捕获文献中现有的内核的绝大多数。作为这个框架的结果，我们证明了MMVC的平凡二次核本质上是最优的，回答了Boria等人的问题。Appl.Math.2015]，并且已知的用于最大最小反馈顶点集的立方核也基本上是最优的。本文给出了树删除集和最大独立集在$K_t$ -free图上的进一步应用。回到MMVC问题，鉴于MMVC在一般图上的次二次核（似乎）不存在，我们通过利用Erdös-Hajnal性质，为几个图$H$（如公牛、爪子或完全图）提供了无$H$图上的次二次核。最后，我们证明了MMVC不承认多项式核参数化的输入图的最小顶点覆盖的大小，即使在二分图，除非${\sf NP} \subseteq {\sf coNP} / {\sf poly}$。
2021-12-17 cs.CC cs.DS
Meta-Kernelization with Structural Parameters
元核化定理是为大类参数化问题提供多项式核的一般结果。已知的元核化定理，特别是Bodlaender等人（FOCS'09）和Fomin等人（FOCS'10）的结果，适用于由解大小参数化的优化问题。我们提出了第一个元核化定理，使用的输入结构参数，而不是解决方案的大小。设C是一个图类。我们定义图的C-覆盖数为顶点集所能划分的最小模块数，使得每个模块导出一个属于类C的子图。我们表明，每个图的问题，可以表示在一元二阶（MSO）逻辑有一个多项式核与线性数量的顶点时，参数化的C-覆盖数为任何固定类C的有界秩宽度（或等价地，有界的cnc宽度，或有界布尔宽度）。许多图的问题，如独立支配集，c-染色，c-Domatic数，这一元核化的结果涵盖。我们的第二个结果适用于MSO可表达的优化问题，如最小顶点覆盖，最小支配集，最大团。我们发现，这些问题承认一个多项式标注的核与线性数量的顶点。
2013-04-19 cs.DS cs.LO
Vertex Cover Kernelization Revisited: Upper and Lower Bounds for a Refined Parameter
多项式时间预处理研究中的一个重要结果表明，存在一个算法，给定顶点覆盖的实例（G，k），在多项式时间内输出等价实例（G '，k'），保证G'至多有2k'个顶点（从而O（（k '）^2）条边），k' <= k.使用参数化复杂度的术语，我们说k-顶点覆盖有一个2k个顶点的核。有复杂性理论的证据表明，2k个顶点和Theta（k^2）条边都是核大小的最佳选择。本文考虑了顶点覆盖问题中的最小反馈顶点集的大小fvs（G）。该细化参数在结构上小于与顶点覆盖数vc（G）相关联的参数k，因为fvs（G）<= vc（G），并且差值可以任意大。我们给出了顶点覆盖的一个核函数，它的顶点数在fvs（G）中是立方的：顶点覆盖的一个实例（G，X，k），其中X是G的一个反馈顶点集，可以在多项式时间内变换成一个等价的实例（G '，X'，k '），使得|V（G '）|<= 2k，|V（G '）|<= 0（|X'|^3）。当反馈顶点集X不与输入一起给出时，类似的结果成立。与此形成鲜明对比的是，我们表明，加权顶点覆盖问题没有一个多项式的内核时，由一个给定的顶点覆盖的图形的基数参数化，除非NP是在coNP/聚和多项式层次崩溃到第三级。
2013-09-26 cs.CC cs.DS
Quasipolynomial multicut-mimicking networks and kernelization of multiway cut problems
我们证明了一个精确的模仿网络的$k^{O(\log k)}$边缘的最小multicuts在一组终端的无向图，其中$k$是终端的总容量，以及一种方法用于计算一个模仿网络的quasipolynomial大小在多项式时间。作为后者的结果，几个问题被证明有quasipolynomial内核，包括边缘多路切割，组反馈边缘设置为任意组，和边缘Multicut参数化的解决方案和切割请求的数量。结果结合了基于矩阵的不相关边缘的方法在内核中使用的$s$ -多路切割的递归分解和稀疏化的图沿稀疏切割。这是自$s$的内核-$s$常数值的多路切割（Kratsch and Wahlström，FOCS 2012）以来，多路切割问题的内核化的第一个进展。
2021-03-05 cs.DS
Preprocessing for Treewidth: A Combinatorial Analysis through Kernelization
树宽的概念在图问题的理论和实际研究中起着重要的作用。人们已经认识到，特别是在实际环境中，当计算一个图的树宽是非常宝贵的，首先应用一系列的预处理规则，简化和收缩it. This工作旨在证明严格的性能保证，这样的预处理规则，已知的和新的，通过研究它们的框架内的核化参数化的复杂性。已知的是，确定给定图G是否具有至多k的树宽的NP完全问题不允许多项式时间预处理算法将任何输入实例减少到k中的大小多项式，除非NP在coNP/poly中并且多项式层次结构崩溃到其第三级。因此，在本文中，我们考虑结构图的措施大于树宽，并确定是否有效的预处理可以缩小实例大小的多项式在这样的参数值。我们证明了给定树宽的实例（G，k），我们可以有效地将它的大小缩减到O（fvs（G）^4）个顶点，其中fvs（G）是G中最小反馈顶点集的大小.我们还可以证明一个降维为O（vc（G）^3）个顶点，其中vc（G）是最小顶点覆盖的大小。在参数化的复杂性的语言中，我们表明，树宽有一个多项式的内核参数化时，一个给定的反馈顶点集的大小，也由顶点覆盖的大小。相反，我们表明，树宽参数化的顶点删除距离到一个单一的集团，加权树宽参数化的顶点覆盖的大小，不承认多项式核化，除非NP是在coNP/聚。
2013-09-26 cs.CC cs.DS
Hitting forbidden minors: Approximation and Kernelization
我们研究一类一般的问题，称为F-删除问题。在一个F-删除问题中，我们被问到是否可以从图$G$中删除至多$k$顶点的子集，使得所得到的图不包含来自禁止子族F的任何图作为子族。当F包含平面图时，我们得到了F-删除问题的一些算法结果。本文给出了（1）不含具有$t$级的星形图$t$ -claw $K_{1,t}$的图的线性点核作为导出子图，其中$t$为固定整数. (2)一种近似算法，其近似比为$O(\log^{3/2} OPT)$，其中$OPT$是一般无向图上的最优解的大小。最后，我们得到多项式核的情况下，F包含图$θ_c$作为一个固定的整数$c$的子。图$θ_c$由两个顶点通过$c$平行边连接而成。尽管这可能看起来是一类非常有限的问题，但它已经包含了研究得很好的问题，如{ \sc顶点覆盖}、{ \sc反馈顶点集}和菱形命中集。通用核化算法是基于一个非平凡的应用程序的突出技术，以前只用于拓扑图类的问题。
2010-10-07 cs.DM cs.DS
Bridge-Depth Characterizes which Structural Parameterizations of Vertex Cover Admit a Polynomial Kernel
该研究引入新图参数bridge-depth，完整刻画了存在多项式核的、以输入图到 minor-闭图类的顶点删除距离为参数的顶点覆盖问题的minor-闭图族特征。
2023-07-24 cs.CC cs.DS math.CO
Efficient Kernelization Algorithm for Bipartite Graph Matching
针对KaSi算法处理二分图最大匹配时时间复杂度高、存储结构低效的问题，提出融合三种优化策略的MVM算法，通过理论分析和实验验证其近线性时间复杂度及在实际与合成图上的优越性。
2024-12-01 cs.DS
Kernelization for Orthogonality Dimension
该研究针对以顶点覆盖数为参数的$d$-Ortho-Dim$_\u211d$问题，证明了$d\u22653$时存在$O(k^{d-1})$顶点规模的核及对应比特规模上界，同时给出几乎匹配的下界，并拓展研究了一般域等场景下的核化性。
2024-08-15 cs.DS
Polynomial kernelization for removing induced claws and diamonds
一个图称为（claw，diamond）-free，如果它既不包含一个claw（一个$K_{1,3}$）也不包含一个diamond（一个去掉边的$K_4$）作为导出子图.无等距（爪形，菱形）图可以被表征为无三角形图的线图，或线性多米诺骨牌，即，图中的每一个顶点是在最多两个最大团和每一个边缘是在一个最大团。本文研究了无（claw，diamond）边删除问题的参数化复杂性，其中给定一个图$G$和一个参数$k$，问题是能否从$G$中最多删除$k$边以得到一个无（claw，diamond）图.我们的主要结果是，这个问题承认一个多项式核。我们补充这一发现证明，即使在最大程度$6$的情况下，问题是NP完全的，不能在时间$2^{o(k)}\cdot |V(G)|^{O(1)}$解决，除非指数时间假设失败
2015-03-02 cs.DS
Elimination Distances, Blocking Sets, and Kernels for Vertex Cover
顶点覆盖问题在参数化复杂性的多项式核化研究中起着至关重要的作用，即，NP难问题的可证明和有效预处理的研究。出于各种各样的正面和负面的结果的顶点覆盖的核化受到不同的参数和图类，我们试图统一和推广他们使用所谓的块集，其中发挥了显式和隐式的作用，在许多结果。我们表明，在大多数研究的设置，删除集的大小参数化到一个指定的图形类$\mathcal{C}$，有界的最小块集的大小是必要的，但不足以得到一个多项式核化。在温和的技术假设下，有界最小阻塞集的大小表明，允许一个本质上紧有效的减少连接组件的数量。然后，我们确定确切的最大尺寸的最小块集的图形有界消除距离的任何遗传类$\mathcal{C}$，包括有界树深度的图形的情况。我们得到了类似的，但不紧的界限，某些非遗传类$\mathcal{C}$，包括类$\mathcal{C}_{LP}$的图的整数和分数顶点覆盖大小一致。这些界限允许我们导出顶点覆盖的多项式核，该顶点覆盖由删除集的大小参数化到有界消除距离的图，例如，森林图、二分图或$\mathcal{C}_{LP}$图。
2019-05-09 cs.CC cs.DS
Kernelization Complexity of Solution Discovery Problems
本文研究了图上 Vertex Cover、Independent Set 等问题的 solution discovery 变体在令牌数、预算和 pathwidth 等参数下的核化复杂性。
2024-09-25 cs.CC cs.DS math.CO
A Note on Max $k$-Vertex Cover: Faster FPT-AS, Smaller Approximate Kernel and Improved Approximation
在Maximum $k$ -Vertex Cover（Max $k$ -VC）中，输入是边加权图$G$和整数$k$，目标是找到$k$顶点的子集$S$，该子集最大化由$S$覆盖的边的总权重。在这里，我们说边被$S$覆盖，只要它的至少一个端点位于$S$中。我们提出了一个FPT近似方案（FPT-AS），运行在$(1/ε)^{O(k)} poly(n)$时间的问题，这改善了古普塔等人。的$(k/ε)^{O(k)} poly(n)$ -时间FPT-AS [SODA'18，FOCS'18]。我们的算法很简单：只需使用蛮力来找到最好的$k$ -顶点子集的$O(k/ε)$顶点与最大的加权度。我们的算法自然地产生$O(k/ε)$顶点的有效近似核化方案;先前，$O(k^5/ε^2)$ -顶点近似核仅对于Max $k$ -VC的未加权版本是已知的[Lokshtanov等人，STOC'17]。有趣的是，这有一个参数化复杂性之外的应用：使用我们的近似核化作为预处理步骤，我们可以直接应用Raghavendra和Tan的基于SDP的算法，用于具有基数约束的2SAT [SODA'12]，以在多项式时间内给出Max $k$ -VC的$0.92$ -近似。这改进了Feige和Langberg的算法[J. Algorithms'01]，该算法对某些（未指定的）常数$δ> 0$产生$(0.75 + δ)$ -近似。我们还…
2018-10-09 cs.DS
Kernelization for $H$-Packing Revisited
The University of Tokyo（东京大学）；CyberAgent
研究H-填充问题，通过归约和两步证明，为细分星图等特定模式图得到不同规模的核，同时证明S_0,d的下界，表明删除模式图单个顶点可能使核化更难，揭示H-填充可压缩性在诱导子图下非单调。
2026-07-17 cs.DS
Kernelization via Sampling with Applications to Dynamic Graph Streams
在本文中，我们提出了一个简单但功能强大的子图采样原语，适用于各种计算模型，包括动态图流（其中输入图是由一系列的边/超边插入和删除定义）和分布式系统，如MapReduce。在动态图流的情况下，我们使用这个原语来证明以下结果：-匹配：首先，存在一个$\tilde{O}(k^2)$空间算法，返回一个确切的最大匹配的假设基数是最多$k$。最好的以前的算法使用$\tilde{O}(kn)$空间，其中$n$是在图中的顶点数，我们证明了我们的结果是最佳的对数因子。我们的算法有$\tilde{O}(1)$更新时间。其次，存在一个$\tilde{O}(n^2/α^3)$空间算法，它返回一个$α$ -近似的匹配任意大小。（Assadi et al.（2015）表明这是最佳的，并且独立和同时建立了相同的上限。我们推广这两个结果加权匹配。第三，存在一个$\tilde{O}(n^{4/5})$空间算法，返回一个常数近似图有界荫度。--顶点覆盖和命中集：存在解决最小命中集问题的$\tilde{O}(k^d)$空间算法，其中$d$是输入集的基数，而$k$是最小命中集大小的上限。我们证明这是最佳的对数因子。我们的算法有$\tilde{O}(1)$更新时间。情况$d=2$对应于最小顶点覆盖。最后，我们考虑一个更大的家庭参数化问题（包括$b$匹配，不相交的路径，顶点着色等），我们的子图采样原语产生快速，小空间的动态图…
2015-05-07 cs.DS
Planar F-Deletion: Approximation, Kernelization and Optimal FPT Algorithms
设F是有限图集。在F-Deletion问题中，我们给定一个n-顶点图G和一个整数k作为输入，并询问是否可以从G中删除至多k个顶点，使得所得图不包含来自F的图作为子图。F-删除是一个一般性的问题，通过选择不同的禁止子式集合F，可以得到各种基本问题，如顶点覆盖，反馈顶点集或树宽t-删除。当F至少包含一个平面图时，本文得到了平面F-消去的一些一般算法结果。我们的工作的亮点是-一个常数因子近似算法的优化版本的平面F-删除。- 对于F中所有图连通的平面F-消去的参数化形式，给出了一个随机线性时间单指数参数化算法，即时间复杂度为O（2^{O（k）} n）的算法.该算法可以是确定性的，代价是使多项式因子在运行时间n*log^2 n中，而不是线性的。- 参数化平面F-消去的多项式核这些算法统一、推广和改进了文献中的大量结果。我们的主要结果有几个直接的应用，而且我们开发的方法的适用性超出了本文的范围。我们的结果-常数因子近似，多项式核化和FPT算法-串在一起的一个共同的主题多项式时间预处理。
2020-11-02 cs.DM cs.DS
Tight Approximation and Kernelization Bounds for Vertex-Disjoint Shortest Paths
本文研究最大顶点不相交最短路径问题的近似与核化，证明在gap-ETH下无o(k)近似，且除非P=NP否则无n^(1/2-ε)近似，同时给出紧的2^O(ℓ)时间算法并排除多项式核。
2025-04-22 cs.DS
Kernel Bounds for Structural Parameterizations of Pathwidth
假设AND-蒸馏猜想，确定给定图G的路宽是否至多为k的路宽问题不允许关于k的多项式核化。目前的工作研究存在的多项式核Pathwidth相对于其他结构参数。我们的主要结果是，除非NP是在coNP/聚，Pathwidth承认没有多项式核化，即使当参数化的顶点删除距离的一个集团，给出一个交叉组合从Cutwidth。交叉组合也适用于Treewide，比本作者以前的下限有所改进。对于路径宽度，我们的结果排除了多项式内核相对于距离的各种类的多项式时间可解的输入，如间隔或聚类图。这就引出了一个问题：是否存在路径宽度确实允许多项式核化的非平凡结构参数。为了回答这个问题，我们给出了一组对Pathwidth安全的图归约规则。我们分析这些结果的成功，并获得多项式核化相对于以下参数：图的顶点覆盖的大小，顶点删除距离的图，其中每个连通组件是一个明星，和顶点删除距离的图，其中每个连通组件有最多c个顶点。
2012-07-20 cs.CC cs.DS
Kernelization for $H$-Coloring
本文研究以顶点覆盖数为参数的H-Coloring核化问题，提出组合与线性代数两种核化算法，给出新上界并配合条件性下界，几乎确定了多种目标图H下的核复杂性。
2025-07-17 cs.DS
Lossy Kernelization
在本文中，我们提出了一个新的框架，用于分析预处理算法的性能。我们的框架建立在从参数化的复杂性内核化的概念。然而，与核化的原始概念相反，我们的定义与近似算法和算法学结合得很好。关键的新定义是多项式大小的$α$近似核。不严格地说，多项式大小的$α$近似核是多项式时间预处理算法，其将实例$(I,k)$作为参数化问题的输入，并且将另一实例$(I',k')$输出到相同问题，使得$|I'|+k' \leq k^{O(1)}$。另外，对于每个$c \geq 1$，预处理实例$(I',k')$的$c$近似解$s'$可以在多项式时间内转换成原始实例$(I,k)$的$(c \cdot α)$近似解$s$。我们的主要技术贡献是$α$ -近似核的多项式大小的三个问题，即连接顶点覆盖，不相交的循环包装和不相交的因素。已知这些问题不允许任何多项式大小的核，除非$NP \subseteq coNP/poly$。我们的近似内核同时击败了（正常）内核大小的下限，以及所有三个问题的近似下限的硬度。在消极的一面，我们证明，最长路径参数化的路径和集覆盖参数化的宇宙大小不承认甚至一个$α$ -近似核的多项式大小，任何$α\geq 1$，除非$NP \subseteq coNP/poly$。为了证明这个下界，我们需要以一种非平凡的方式将用于显示核化下界的技术与用于显示近似硬度的方法结合起来
2016-11-04 cs.DS
Kernelization of 2-Club Cluster Edge Deletion on Interval Graphs
Faculty of Information Technology, Czech Technical University in Prague（布拉格捷克理工大学信息技术学院）
本文针对区间图上2-团簇边删除问题，得到大小为O(k⁵)的多项式顶点核，还证明该问题在单位区间图上多项式可解、在分裂图上NP-难，回应了其多项式核的开放问题。
2026-09-02 cs.DS
FPT and kernelization algorithms for the k-in-a-tree problem
三叉树问题要求输入图的一棵诱导树包含三个强制顶点。在2006年，Chudnovsky和Seymour [Combinatorica，2010]提出了第一个多项式时间算法，该算法已经成为许多算法的关键子程序，用于检测诱导子图，如甲虫，金字塔，θ，奇偶孔。在2007年，Derhy和Picouleau [离散应用数学，2009]考虑了$k$强制顶点的自然推广，证明了当$k$是输入的一部分时，问题是$\mathsf{NP}$ -完全的，并询问了四叉树的复杂性。基于这个问题和原问题的相关性，我们研究了$k$ -in-a-tree的参数化复杂性。我们首先表明，这个问题是$\mathsf{W[1]}$ -硬联合参数化的解决方案和最小集团覆盖的大小，并根据指数时间假设，不承认一个$n^{o(k)}$时间算法。之后，我们使用Courcelle定理来证明固定参数下cumberwidth，这促使我们的调查参数化承认单指数算法，我们表明，这样的算法存在无关的参数化树宽，距离集群，距离共同集群。在核化方面，我们给出了反馈边集下的线性核，并证明了除了$\mathsf{NP} \subseteq \mathsf{coNP}/\mathsf{poly}$之外，在顶点覆盖和团距离下不存在多项式核。连同其他的评论和以前的工作，我们的易处理性和核化的结果涵盖了许多最常用的参数在图参数层次结构。
2020-07-08 cs.DS
An Improved Time-Efficient Approximate Kernelization for Connected Treedepth Deletion Set
本文研究了连通η-树深度删除问题，其中输入实例是一个无向图G =（V，E）和一个整数k.目标是判定G是否有至多k个顶点的集合S \subseteq V（G）使得G-S的树深至多为η且G[S]连通.由于这个问题自然地推广了众所周知的连通顶点覆盖，当通过解大小k参数化时，连通η-树深度删除不允许多项式核，除非NP \subseteq coNP/poly。这促使我们为这个问题设计一个多项式大小的近似核。本文证明了对任意0 < ε<= 1，连通η-树深深度集存在一个顶点数为O（k^{2^{η+ 1/ε}}）的（1+ε）-近似核，即一个多项式大小的近似核化方案（PSAKS）.
2022-12-01 cs.DM cs.DS
Exploring Minimal Blocking Sets for Kernelization Lower Bounds for $\mathcal{F}$-Minor Deletion
CISPA Helmholtz Center for Information Security（CISPA 赫尔姆霍兹信息安全中心）；Saarland University（萨尔兰大学）
本研究推广了顶点覆盖问题的极小阻塞集与内核化下界的关联，针对$\boldsymbol{\textit{F}}$-子式删除问题提出新判据，证明了Pw-$\boldsymbol{\textit{η}}$删除等问题无多项式内核，完善了内核化下界的相关结论。
2026-10-13 cs.CC cs.DS
On the Polynomial Kernelizations of Finding a Shortest Path with Positive Disjunctive Constraints
Tata Institute of Fundamental Research（塔塔基础研究所）；Indian Institute of Technology, Jammu（詹穆印度理工学院）；Indraprastha Institute of Information Technology Delhi（德里因德拉普拉斯塔信息技术学院）；University of Leeds（利兹大学）
本文研究了带有正排斥约束的最短路径问题，提出两种参数化方法，分别基于解的大小和H的结构特性，给出了多项式核化结果。
2026-03-05 cs.DM cs.DS
Clique cover and graph separation: New incompressibility results
核化领域在参数化复杂性的框架下研究了困难问题的多项式时间预处理例程。虽然在2008年已经发现了一个证明核化下限的框架，并且在过去的三年中多次成功应用，但许多重要问题的核化复杂性仍然是开放的。在本文中，我们证明了，除非NP是coNP/poly的子集，并且多项式层次崩溃到其第三层，否则以下参数化问题不允许多项式时间预处理算法将实例的大小减少到参数中的多项式：- 有向边缘/顶点多路切割，由切割集的大小参数化，即使在两个终端的情况下，- EDGE/VERTEX MULTICUT，由割集的大小参数化，和- k-WAY CUT，由割集的大小参数化。EDGE CLIQUE COVER的多项式核化的存在是开放问题会议的经验丰富的老手。此外，我们的结果补充了最近的发展，在设计参数化算法的切割问题的马克思和Razgon [STOC'11]，Bousquet等人。[STOC'11]，Kawarabayashi和Thorup [FOCS'11]和Chitnis等人。[SODA'12]。
2011-11-02 cs.CC cs.DS
Co-nondeterminism in compositions: A kernelization lower bound for a Ramsey-type problem
直到最近，获得核化下界的技术一直是参数化复杂性领域中最受欢迎的工具之一。现在，在大量技术涌入之后，我们幸运地拥有了比迄今为止应用程序所需的更强大的工具。基于Fortnow和Santhanam（JCSS 2011）的结果，Bodlaender等人（JCSS 2009）表明，除非NP \subseteq coNP/poly，否则存在确定性多项式时间合成算法，即，当且仅当T个输入实例之一为是时，输出为是的有界参数值的实例的算法排除了问题的多项式核的存在。Dell和van Melkebeek（STOC 2010）继续了这一系列的研究，并且在其他研究中，能够排除大小为O（k^d-eps）的内核用于某些问题，假设NP！\subseteq coNP/poly.他们的工作意味着，即使存在一个共同的非确定性组合排除了多项式核。在这项工作中，我们提出了第一个例子，如何共同非决定性可以帮助作出组合算法。我们研究一个Ramsey型问题：给定一个图G和一个整数k，问题是G是否包含一个大小至少为k的独立集或团. Rod Downey问这个问题是否允许多项式核化。我们提供了一个co-nondeterministic组合的基础上嵌入t个实例到一个单一的主机图H。关键在于，宿主图H需要在其最大独立集和最大团大小上观察到L \in O（log t）的界，同时还具有由大小为L的独立集和团覆盖的顶点集;共不确定性组合是围…
2011-12-13 cs.DS
Kernelization of Packing Problems
核化算法是从问题到问题本身的多项式时间约简，保证其输出的大小不超过某个界限。例如，整数d>2的d-集合匹配是在给定的d-一致超图中找到大小至少为k的匹配的问题，并且具有O（k^d）边的核。Bodlaender等人[JCSS 2009]，Fortnow和Santhanam [JCSS 2011]，Dell和Van Melkebeek [JACM 2014]开发了一个框架，用于在复杂性理论假设下证明某些问题的内核大小的下限，即coNP不包含在NP/poly中。在相同的假设下，我们证明了紧的下界的核化的d-集匹配和其他包装问题。对于d-集合匹配，我们的边界是紧的：对于任何ε>0，它不具有O（k^{d-ε}）边的核，除非假设失败。通过约化，对于在标准图中找到k个大小为d的顶点不相交团的问题，这转移到O（k^{d-1-ε}）的界。获得图填充问题的紧边界是具有挑战性的：我们在这个方向上取得了第一个进展，通过展示具有O（k^2.5）边的非平凡核来寻找k个顶点不相交的路径，每个路径有三条边。如果每条路径都有d条边，我们将直接的O（k^{d+1}）内核改进为一致的多项式内核，其中内核大小的指数与k无关。我们的大多数下界证明遵循我们发现的一般方案：为了排除d-一致超图中问题的大小为O（k^{d-ε}）的核，应该从一个精心选择的仍然是NP-难的d-部分问题中减少。作为一个例子，我们将这个方案应用于顶点覆…
2018-12-07 cs.CC cs.DS
Designing Practical PTASes for Minimum Feedback Vertex Set in Planar Graphs
我们提出了两个算法的最小反馈顶点集问题的平面图：一个$O(n \log n)$ PTAS使用线性核和平衡分离器，和一个启发式算法使用核化和局部搜索。我们实现了这些算法，并将其性能与Becker和Geiger的2-近似算法进行了比较。我们观察到，虽然我们的PTAS是有竞争力的2-近似算法的大平面图，其运行时间要长得多。我们的启发式算法在大多数大型平面图上的性能优于2-近似算法，并提供了运行时间和解质量之间的折衷，即“PTAS行为”。
2018-04-21 cs.DS
Dynamic Meta-Kernelization
本文将稀疏图类上经典NP-hard问题的线性核化结果推广至动态环境，提出动态数据结构在拓扑无小图中维护近似最优凸出分解，并由此导出动态核化、常数近似及改进的动态FPT算法。
2025-11-05 cs.DS
Towards Optimal and Expressive Kernelization for d-Hitting Set
d-Hitting集是一个NP-难问题，即选择一个超图的至多k个顶点，使得每个基数至多为d的超边至少包含一个所选顶点。d-命中集的应用是，例如，故障诊断，自动程序验证，和噪声最小化频率分配给无线电发射机。我们给出了一个线性时间算法，将一个d-命中集的实例转换成一个等价的实例，该实例至多包含O（k^d）个超边和顶点。就参数化复杂性而言，这是一个问题核心。我们的核化算法是基于加快众所周知的方法，发现和缩小向日葵超图，产生问题的核心与结构特性，我们凝聚成表达核化的概念。我们进行了实验，以表明我们的内核化算法可以在不到五分钟的时间内内核化超过10^7个超边的实例。最后，我们证明了问题核中的顶点数可以进一步减少到O（k^{d-1}），额外的O（k^{1.5 d}）的处理时间通过非平凡地结合向日葵技术与d-命中集问题核由于Abu-Khzam和Moser。
2014-07-15 cs.DM cs.DS
Fast Dynamic Graph Algorithms for Parameterized Problems
全动态图是一种数据结构，它（1）支持边插入和删除，（2）回答问题特定的查询。（1）和（2）的时间复杂度分别称为更新时间和查询时间。对于更新时间和查询时间都是$o(|G|)$的动态图，即图的大小是次线性的，已有很多研究。然而，几乎所有这样的研究是在P的问题。在本文中，我们研究动态图NP-难问题利用固定参数易处理性（FPT）的概念。我们给动态图的顶点覆盖和集群顶点删除参数的解决方案的大小$k$。这些动态图实现了几乎最好的可能的更新时间$O(\mathrm{poly}(k)\log n)$和查询时间$O(f(\mathrm{poly}(k),k))$，其中$f(n,k)$是任何静态图算法的问题的时间复杂度。我们得到这些结果，通过动态保持一个近似的解决方案，可用于构建一个小的问题的核心。利用簇顶点删除的动态图，作为推论，我们得到了一个准线性时间（多项式）的簇顶点删除核化算法。到目前为止，只有二次时间核算法是已知的这个问题。给出了以簇顶点删除的解的大小为参数的色数的动态图和以解的大小为参数的有界度反馈顶点集的动态图。假设参数是常数，每个动态图可以在$O(\log n)$时间内更新，并且可以在$O(1)$时间内计算解。这些结果是通过另一种方法得到的。
2014-04-29 cs.DS
Kernelization for Counting Problems on Graphs: Preserving the Number of Minimum Solutions
该研究突破计数问题核化的传统认知，针对最小反馈顶点集和平面图最小支配集计数问题，提出多项式时间核化算法，证明计数问题可存在有意义的核化理论。
2023-10-06 cs.DS
Correlating Theory and Practice in Finding Clubs and Plexes
寻找大的“团”子图是一个经典的NP-难图问题。在这项工作中，我们专注于寻找最大的$s$ -俱乐部和$s$ -丛，即，直径为$s$的图和每个顶点与除$s$之外的所有顶点相邻的图。基于图灵核化的预处理是解决这些问题的标准工具，特别是在稀疏图上。我们提供了一个新的参数化分析的图灵核，并证明其实用性。此外，我们提供的证据表明，新的理论界确实更好地解释观察到的运行时间比现有的理论运行时间的界限。为此，我们提出了一个一般的方法来比较如何以及理论上的运行时间界限适合测量运行时间。
2022-12-14 cs.DS
