Numerical solution of fractional Fredholm integro-differential equations by spectral method with fractional basis functions
本文给出了求解分数阶Fredholm积分微分方程的一种有效谱方法。这类问题解的非光滑性导致了基于Chebyshev、Legendre、Laguerre等经典多项式的谱方法收敛阶数较低。因此，发展经典的数值方法来解决这类问题成为一个具有挑战性的问题。由于非光滑解具有与分数阶多项式相同的渐近性质，因此分数阶基函数是克服谱方法精度不足的最佳选择。另一方面，分数阶多项式函数的分数阶积分属于分数阶多项式类，这是使用分数阶基函数的主要优点之一。本文介绍了一种基于分数阶Chelyshkov基函数的隐式谱配置法。该方法利用谱配置法和分数阶运算积分矩阵将问题化为一个非线性方程组。用牛顿迭代法求解得到的代数系统。研究了该方法的收敛性。数值算例表明，该方法对具有光滑解和非光滑解的问题都是有效的。
2022-09-22 cs.NA math.NA
Error estimates for backward fractional Feynman-Kac equation with non-smooth initial data
本文研究了具有非光滑初值的后向分数阶Feynman-Kac方程的数值解。这里我们首先给出解的正则性估计。然后利用后向Euler和二阶向后差分卷积求积逼近Riemann-Liouville分数阶实质导数，得到了时间上的一阶和二阶收敛性。用有限元法离散Laplace算子，并获得最佳的收敛速度。与以往的向后分数阶Feynman-Kac方程的离散化方法相比，本文的离散化方法的主要优点是不需要对解在时间和空间方向上的正则性作任何假设。此外，还给出了时间半离散格式和全离散格式的误差估计。最后，通过数值实验验证了算法的有效性.
2019-11-06 cs.NA math.NA
A priori error estimates of Runge-Kutta discontinuous Galerkin schemes to smooth solutions of fractional conservation laws
本文针对一维标量分数阶守恒律光滑解，证明了使用迎风通量的时间二阶全显式Runge-Kutta间断Galerkin格式在能量范数下的最优收敛速率，并引入新型迎风投影作为证明工具。
2024-02-26 cs.NA math.NA
Time-stepping error bounds for fractional diffusion problems with non-smooth initial data
The University of New South Wales（新南威尔士大学）；King Fahd University of Petroleum and Minerals（法赫德国王石油矿物大学）
本文研究了分数扩散方程在非光滑初始数据下的时间步误差界，采用间断伽辽金方法进行时间离散，并利用拉普拉斯变换技术证明了方法在时间步n处的首次阶精度，但误差界包含因子t_n^{-1}。对于更光滑的初始数据，误差界随t_n减小的增长更温和，有时甚至不存在。这些误差界推广了经典热方程已知的结果，并通过模型问题进行了示例。
2014-05-09 cs.NA math.NA
Improved uniform error bounds of exponential wave integrator method for long-time dynamics of the space fractional Klein-Gordon equation with weak nonlinearity
针对非线性空间分数阶Klein-Gordon方程（NSFKGE）的长时间动力学，在$H^{α/2}$范数下建立了改进的$O\left(h^m+\varepsilon^2 τ^2\right)$一致误差界。在时间上采用二阶指数波积分器（EWI）方法对NSFKGE进行半离散，在空间上采用傅里叶谱方法进行全离散。利用正则性补偿振荡（RCO）技术证明了改进的一致误差界在时间半离散的$O\left(\varepsilon^2 τ^2\right)$和全离散的$O\left(h^m+\varepsilon^2 τ^2\right)$直到长时间$T_{\varepsilon}=T / \varepsilon^2$（$T>0$固定）.讨论了复NSFKGE和具有广义幂指数非线性项的振荡复NSFKGE。最后通过数值算例验证了理论分析的正确性和方法的有效性。
2023-03-07 cs.NA math.NA
On a spectral solver for highly oscillatory and non-smooth solutions of a class of linear fractional differential systems
KU Leuven（荷语鲁汶大学）
本文针对一类具有非常数系数的线性分数阶微分方程组的高振荡与非光滑解问题，提出基于Müntz-Jacobi函数的谱Galerkin方法，利用递推关系高效稳定地求解并达到指数精度。
2025-11-09 cs.NA math.NA
High order approximation to Caputo derivative on graded mesh and time-fractional diffusion equation for non-smooth solutions
本文针对解在初始时刻具有奇异性的Caputo型时间分数阶扩散方程，提出基于Lagrange插值的分级网格高阶逼近方法，构造了无条件稳定的差分格式，并分析了非光滑解下的收敛性。
2023-09-23 cs.NA math.NA
Convergence Analysis of Fractional Gradient Descent
University of California, Los Angeles（加利福尼亚大学洛杉矶分校）
本文分析了分数阶梯度下降在光滑且凸、强凸及非凸设置下的收敛性，建立了连接分数阶与整数阶导数的新界限，证明了不同条件下的线性或O(1/T)收敛性，并展示了其相比标准梯度下降的加速效果。
2024-06-04 cs.LG cs.NA math.NA
Fast algorithm based on TT-M FE system for space fractional Allen-Cahn equations with smooth and non-smooth solutions
School of Mathematical Sciences, Inner Mongolia University（内蒙古大学数学科学学院）
本文提出了一种基于时间双网格（TT-M）有限元（FE）方案的快速算法，用于快速求解具有光滑和非光滑解的非线性空间分数阶Allen-Cahn方程。该算法在时间方向采用隐式二阶θ方案，结合隐式Crank-Nicolson方案和二阶后向差分法，在空间方向采用有限元方法进行逼近，并通过TT-M方法提高计算速度。通过详细分析稳定性及先验误差估计，最后通过三个具有光滑和非光滑解的数值实验展示了该算法在求解非线性偏微分方程中的计算效率，证明了计算时间的节省。
2018-06-01 cs.NA math.NA
Improved uniform error bounds for long-time dynamics of the high-dimensional nonlinear space fractional sine-Gordon equation with weak nonlinearity
针对弱非线性高维空间分数阶 sine-Gordon 方程，提出时间分裂 Fourier 拟谱方法并借助正则性补偿振荡技术建立至 O(1/ε²) 长时间的改进一致误差界。
2024-02-28 cs.NA math.NA
ARMA approximation of a Non-separable Spatio-Temporal Model with Fractional Smoothnesses in Space and Time
Norwegian University of Science and Technology（挪威科技大学）
针对具有分数平滑度的非分离时空模型，提出基于时间有理逼近的离散化方法，得到VARMA过程，证明协方差函数逐点收敛并给出收敛速率，通过数值验证和模拟研究展示低阶VARMA的精度及参数估计能力。
2026-06-05 cs.NA math.NA stat.ME
Improved Finite Difference Results for the Caputo Time-Fractional Diffusion Equation
我们开始处理的Caputo时间分数扩散方程，通过使用拉普拉斯变换，得到一个Volterra积分微分方程，我们可以检查弱奇异性的卷积核。\iffalse分数阶导数的阶数$α$与有限差分方法有关，并且引起了极大的兴趣。\fi我们研究这个新的方程，并利用一个数值方案，该方案是平行于L1方法的时间变量和一个通常的四阶近似的空间变量。本文推导的主要方法对于$u(x,t) \in C^6(Ω)\times C^2[0,T]$具有$O(k^{2}+h^4)$的收敛速度，这将以前的估计提高了$k^α$倍。我们还提出了一种新的替代方法的一阶近似的时间，这使我们能够放松我们的正则性假设$u(x,t) \in C^6(Ω)\times C^1[0,T]$，而表现出的收敛顺序略低于$O(k^{1+α})$的时间。这允许分析更广泛的函数类，这在以前的L1方法下是不可能的。我们提出的数值例子证明这些结果，并讨论未来的改进和影响，通过使用这些技术。
2020-01-23 cs.NA math.NA
A spectral approach to non-linear weakly singular fractional integro-differential equations
本文考虑一类非线性弱奇异分数阶积分微分方程，在一定的假设条件下，证明了解的存在性、唯一性和光滑性.本文提出了一种基于谱Petrov-Galerkin方法的数值方法，该方法处理了解的非光滑性态。该方法最大的特点是在求解复杂的非线性代数系统时，利用递推关系求出近似解。此外，著名的指数精度建立在$L^{2}$ -范数，我们提供了一些例子来说明的理论结果和所提出的方法的性能。
2022-07-13 cs.NA math.NA
Compressing the memory variables in constant-Q viscoelastic wave propagation via an improved sum-of-exponentials approximation
针对常Q粘弹性波传播中存储波场历史导致的计算挑战，提出基于广义高斯求积的Caputo分数阶导数指数和逼近方法，通过最小化记忆变量并改进误差界，准确模拟了非弹性衰减与频散，推动了时间分数阶波动方程在地震反演中的实际应用。
2023-09-10 cs.NA math.NA
An efficient spectral method for solving third-kind Volterra integral equations with non-smooth solutions
本文利用谱Tau方法的递推方法，研究了具有非光滑解的第三类Volterra积分方程的数值解.为此，引入了一组新的分数形式的规范基多项式（称为FC-多项式）。近似多项式解（称为Tau解）用FC多项式表示。Tau-溶液的分数结构允许即使在非光滑溶液的情况下恢复谱方法的标准准确度。研究了该方法的收敛性。数值结果表明，与现有的其他方法相比，该方法的精度和效率。
2022-07-15 cs.NA math.NA
Discontinuous Galerkin method for a distributed optimal control problem governed by a time fractional diffusion equation
研究了一类具有非光滑初值的时间分数阶扩散方程的控制约束分布式最优控制问题。将状态解和协状态解分解为奇异部分和正则部分，并对奇异部分给出了增长估计。遵循变分离散的概念，在空间上采用线性协调有限元法，在时间上采用分段常值间断Galerkin法，对相应的状态方程和协状态方程进行全离散。利用增长估计，得到了非光滑初始数据下的误差估计。特别地，分级时间网格被用来获得一阶时间精度。最后，数值实验验证了理论结果。
2020-10-03 cs.NA math.NA
An improved implicit sampling for Bayesian inverse problems of multi-term time fractional multiscale diffusion models
College of Mathematics and Econometrics, Hunan University（湖南大学数学与统计学院）；School of Mathematical Sciences, Tongji University（同济大学数学科学学院）
本文提出了一种改进的隐式采样方法，用于解决多项时间分数多尺度扩散模型的贝叶斯反问题，通过引入新的权重公式和重采样方法，提高了后验估计的精度和高维反问题的应用能力。
2018-11-26 cs.NA math.NA
Semidiscrete Finite Element Analysis of Time Fractional Parabolic Problems: A Unified Approach
Department of Mathematics and Statistics, Sultan Qaboos University（苏丹卡布斯大学数学与统计系）
本文研究了涉及时间Caputo导数的时分数学抛物问题的数值近似，推导了半离散Galerkin有限元方法的最优误差估计，适用于光滑和非光滑初值条件，并讨论了多项时分数学模型的扩展。
2017-10-03 cs.NA math.NA
Splitting physics-informed neural networks for inferring the dynamics of integer- and fractional-order neuron models
Brown University（布朗大学）；Shandong University（山东大学）
本文提出分裂PINN方法，将算子分裂与物理信息神经网络结合，并开发$L^1$格式处理分数阶导数，以更高精度和效率求解整数阶及分数阶神经元模型动力学。
2023-04-26 cs.LG cs.NA cs.NE
