广义Gelfand-Tsetlin图及其q-边界和q-B-样条

Macdonald polynomials and extended Gelfand-Tsetlin graph

Using Okounkov's $q$-integral representation of Macdonald polynomials we construct an infinite sequence $Ω_1,Ω_2,Ω_3,\dots$ of countable sets linked by transition probabilities from $Ω_N$ to $Ω_{N-1}$ for each $N=2,3,\dots$. The elements of the sets $Ω_N$ are the vertices of the extended Gelfand-Tsetlin graph, and the transition probabilities depend on the two Macdonald parameters, $q$ and $t$. These data determine a family of Markov chains, and the main result is the description of their entrance boundaries. This work has its origin in asymptotic representation theory. In the subsequent paper…

Positive temperature dynamics on Gelfand-Tsetlin patterns restricted by wall

The thesis focuses on processes on symplectic Gelfand-Tsetlin patterns. In chapter 4, a process with dynamics inspired by the Berele correspondence [Ber86] is presented. It is proved that the shape of the pattern is a Doob $h$-transform of independent random walks with $h$ given by the symplectic Schur function. This is followed by an extension to a $q$-weighted version. This randomised version has itself a branching structure and is related to a $q$-deformation of the $so_{2n+1}$-Whittaker functions. In chapter 5, we present a fully randomised process. This process $q$-deforms a process propo…

Gelfand-Tsetlin模式的普适性

Universality properties of Gelfand-Tsetlin patterns

深度$n$的标准Gelfand-Tsetlin图案是$\{1,...,n\} \times \R$中的颗粒配置。对于每个$r \in \{1,...,n\}$，$\{r\} \times \R$被称为模式的$r^\text{th}$级别。一个标准的Gelfand-Tsetlin模式在每个级别$r$上都有精确的$r$粒子，并且相邻级别上的粒子满足交错约束。在深度为$n$的Gelfand-Tsetlin模式集上的概率分布自然地作为大小为$n$的随机厄米特矩阵的特征值小过程的分布而出现。我们认为这样的概率空间时，矩阵的分布是酉不变的，证明了一个广泛的子类的行列式结构，并计算相关核。特别是，我们考虑的情况下，随机矩阵的特征值是固定的。这对应于从其$n^\text{th}$水平固定在矩阵的特征值处的Gelfand-Tsetlin模式的集合中均匀地选择。固定$q_n \in \{1,...,n\}$，在假设$\frac{q_n}n \to \a \in (0,1)$和粒子在$n^\text{th}$水平上的经验分布弱收敛的条件下，使$n \to \infty$，粒子在$q_n$水平上的渐近行为与自由概率论有关.鞍点分析被用来确定这些粒子的行为渐近像一个决定性的随机点场与正弦核的集合。

基于Gelfand-Tsetlin格式的随机菱形拼接的渐近性

Asymptotics of Random Lozenge Tilings via Gelfand-Tsetlin Schemes

深度为N的Gelfand-Tsetlin格式是一个在m层有m个整数的三角数组，m=1，.，N，受到某些交错约束。研究了具有任意固定第N行的一致随机Gelfand-Tsetlin格式的系综。我们得到一个明确的双轮廓整式积分表达式的行列式相关内核的这个合奏（也是它的q-变形）。这提供了新的工具，渐近分析的均匀随机菱形平铺的多边形的三角形晶格，或等价的随机阶梯表面。我们的工作与一类多边形，允许任意大的边数。我们表明，随机平铺（作为所有尺寸的多边形增长）的局部极限行为是由遍历平移不变吉布斯措施。这些测量的斜率与Kenyon和Okounkov在arXiv：math-ph/0507007中描述的相应极限形状的切面的斜率一致。我们还证明了在极限形状的边缘，随机平铺的渐近行为是由艾里过程。特别是，我们的研究结果涵盖了随机装箱平面分区（当多边形是一个六边形）的最调查的情况。

q-Gelfand-Tsetlin图、Gibbs测度和q-Toeplitz矩阵

The q-Gelfand-Tsetlin graph, Gibbs measures and q-Toeplitz matrices

Voiculescu在1976年研究的无限维酉群的有限因子表示的描述问题等价于所有完全正的Toeplitz矩阵的描述。Vershik-Kerov证明了这个问题也等价于描述Gelfand-Tsetlin图中路径上的中心（即具有一定的Gibbs性质）测度的单纯形。我们研究后一个问题的量子版本。我们引入了一个q-中心性的概念，并描述了在Gelfand-Tsetlin图的道路上的所有q-中心测度的单纯形。猜想q-中心测度与量子化泛包络代数U_ε（gl_ \infty）的表示有关.我们还定义了一类q-Toeplitz矩阵，并证明了每个极端q-中心测度对应于一个具有非负子式的q-Toeplitz矩阵。最后，我们的结果可以被看作是一个分类定理的某些吉布斯措施菱形镶嵌的半平面。我们使用了一类与Schur函数有关的q-插值多项式。我们的证明的关键成分之一是这些多项式的二项式公式证明Okounkov。

Transition between characters of classical groups, decomposition of Gelfand-Tsetlin patterns and last passage percolation

We study the combinatorial structure of the irreducible characters of the classical groups ${\rm GL}_n(\mathbb{C})$, ${\rm SO}_{2n+1}(\mathbb{C})$, ${\rm Sp}_{2n}(\mathbb{C})$, ${\rm SO}_{2n}(\mathbb{C})$ and the "non-classical" odd symplectic group ${\rm Sp}_{2n+1}(\mathbb{C})$, finding new connections to the probabilistic model of Last Passage Percolation (LPP). Perturbing the expressions of these characters as generating functions of Gelfand-Tsetlin patterns, we produce two families of symmetric polynomials that interpolate between characters of ${\rm Sp}_{2n}(\mathbb{C})$ and ${\rm SO}_{2n…

盖尔芳德 - 采特林模式的宏观形状与自由概率

The macroscopic shape of Gelfand-Tsetlin patterns and free probability

研究盖尔芳德 - 采特林模式与自由概率，定义压缩熵\(\mathcal{H}[F]\)，证明相关等式，通过识别方程表明自由压缩达最大值，将模式视为界面模型计算表面张力，还证明特定模式满足大偏差原理，解决了相关猜想。

Gelfand-Tsetlin多胞体与远离极限形状的随机压缩

Gelfand-Tsetlin polytopes and random contractions away from the limiting shapes

研究全旗流形随机压缩下自伴矩阵极值特征值行为，等价于 Gelfand-Tsetlin 多胞体一致测度研究，获显式一致估计与离群行为指数小概率结论。

年轻的花束和它的边界

The Young bouquet and its boundary

无限对称群S（infinity）和无限维酉群U（infinity）这两个基本“大”群的极端特征标的分类结果非常相似。这似乎是不可能解释这种现象使用适当的扩展Schur-Weyl对偶无限维。我们提出了一种不同性质的解释，这种解释在经典的表示论中没有类似物。我们开始从组合/概率的方法，以字符的“大”组Vershik和Kerov发起。在这种方法中，极端特征标空间被视为某个无限图的边界。在S（无穷大）和U（无穷大）的情况下，它们分别是Young图和Gelfand-Tsetlin图。我们引入一个新的相关对象，我们称之为年轻的花束。它是一个具有连续分次的偏序集，我们定义并计算了它的边界。我们证明了这个边界是Young图边界上的一个锥，同时它也是Gelfand-Tsetlin图边界的一个退化。杨花束有一个应用，以构建无限维马尔可夫过程与行列式相关函数。

Hall-Littlewood polynomials, boundaries, and $p$-adic random matrices

We prove that the boundary of the Hall-Littlewood $t$-deformation of the Gelfand-Tsetlin graph is parametrized by infinite integer signatures, extending results of Gorin and Cuenca on boundaries of related deformed Gelfand-Tsetlin graphs. In the special case when $1/t$ is a prime $p$ we use this to recover results of Bufetov-Qiu and Assiotis on infinite $p$-adic random matrices, placing them in the general context of branching graphs derived from symmetric functions. Our methods rely on explicit formulas for certain skew Hall-Littlewood polynomials. As a separate corollary to these, we obtain …

infinite-dimensional酉群上调和分析的量子化

A quantization of the harmonic analysis on the infinite-dimensional unitary group

本文的工作源于对无限维酉群U（\infty）上的调和分析问题的研究.该问题在于分解某个4参数族的酉表示，其取代不存在的双侧正则表示（Olshanski，J. Funct.肛门，2003，arXiv：0109193）。所需的分解由无限维空间Ω上的某些概率测度控制，Ω是U（\infty）的对偶对象。描述这些测量的一种方法是将它们转换成实数线上的行列式点过程，结果是它们的相关核可以以显式形式计算-它们允许根据高斯超几何函数2-F-1的封闭表达式（Borodin和Olshanski，Ann. Math.，2005，arXiv：0109194）。在目前的工作中，我们描述了一个（不明显的）q-离散化的整个建设。这使我们得到一个新的行列式点过程族。我们揭示了它与一个奇异的有限系统的q-离散正交多项式-所谓的伪大q-雅可比多项式。新的点过程生活在一个双q-格，我们表明，他们的相关核表示通过基本的超几何函数2--1。我们的方法的一个重要的新成分是一个扩展版本G的Gelfand-Tsetlin图（传统的图描述了Gelfand-Tsetlin分支规则的不可约表示的酉群）。我们找到了G的q边界，从而扩展了先前已知的结果（Gorin，Adv. Math.，2012，arXiv：1011.1769）。

Hua-Pickrell diffusions and Feller processes on the boundary of the graph of spectra

We consider consistent diffusion dynamics, leaving the celebrated Hua-Pickrell measures, depending on a complex parameter $s$, invariant. These, give rise to Feller-Markov processes on the infinite dimensional boundary $Ω$ of the "graph of spectra", the continuum analogue of the Gelfand-Tsetlin graph, via the method of intertwiners of Borodin and Olshanski. In the particular case of $s=0$, this stochastic process is closely related to the $\mathsf{Sine_2}$ point process on $\mathbb{R}$ that describes the spectrum in the bulk of large random matrices. Equivalently, these coherent dynamics are a…