Asymptotic construction of locally repairable codes with multiple recovering sets
本文通过 Garcia-Stichtenoth 塔函数域的自同构群，构造了具有多个恢复集的渐近最优局部可修复码，填补了渐近行为构造性下界的研究空白，并提供了局部性更大的灵活性。
2024-02-15 cs.IT math.IT
A Connection Between Locally Repairable Codes and Exact Regenerating Codes
通常情况下，局部可修复代码（LRC）和再生代码已经相互独立的研究，它一直不清楚如何一个参数与其他的。本文建立了局部可修码与精确再生码之间的一种新的联系。通过这种连接，局部可修复的代码被解释为精确的再生代码。此外，这些代码中的一些被示出为比最小带宽再生和最小存储再生代码之间的分时代码执行得更好。
2016-03-18 cs.IT math.IT
Three New Infinite Families of Optimal Locally Repairable Codes from Matrix-Product Codes
局部可修码已成为大规模分布式存储系统中的关键技术。本文主要研究了具有$(r,δ)$ -局部性的局部可修码的构造问题，这些局部可修码在Singleton型界内是等价的。我们使用矩阵乘积码提出了两个无限族的$q$元最优$(r,δ)$局部可修码的长度达到$q^2+q$。矩阵乘积码中的成分是线性最大距离可分码或最优局部可修码的小长度。进一步的分析和改进产生的另一个无限族的最佳$(r,δ)$局部可修码的建设。第三类代码的长度是无限的，不能被$(r+δ-1)$整除。本文构造的三类最优$(r,δ)$局部可修码是新的。以前构造的代码在文献中没有涵盖相同的参数集。我们的施工方案非常灵活，因为您可以轻松地改变$r$和$δ$，以获得适合多种场景的特定参数。
2021-09-28 cs.IT math.IT
Optimal Binary Locally Repairable Codes via Anticodes
本文构造了几类具有小局部性（2和3）的最优二元局部可修码（LRC）。这种构造基于各种反码。它提供了达到Cadambe-Mazumdar界限的二进制LRC。此外，大多数这些代码是最佳的Griesmer界。
2015-01-28 cs.IT math.IT
Optimal locally repairable codes of distance $3$ and $4$ via cyclic codes
与经典分组码一样，局部可修复码也服从Singleton型界（如果局部可修复码达到Singleton型界，则称其为{ \it optimal}）。在\cite{TB14}的突破性工作中，利用Reed-Solomon码的子码构造了几类最优局部可修码。因此，在\cite{TB14}中给出的代码长度的上限是代码字母表大小$q$。最近，通过对\cite{TB14}构造的扩展，证明了在\cite{JMX17}中，$q$元最优局部可修码的长度可以是$q+1$.令人惊讶的是，\cite{BHHMV16}给出了几个小距离和局部的$q$ -ary最优局部可修复码的例子，其码长大致达到$q^2$。最近，在\cite{LMX17}中进一步证明了存在$q$元最优局部可修码，其长度大于$q+1$，距离命题为$n$ .因此，构造新的$q$元最优局部可修码族，使其长度大于$q+1$，成为一个有趣而具有挑战性的问题.本文构造了一类距离为$3$和$4$且长度为无界的最优局部可修码（即，代码的长度与代码字母表大小无关）。我们的技术是通过循环码与特定的生成器和奇偶校验多项式，仔细选择。
2018-01-11 cs.IT math.IT
Optimal locally repairable codes via elliptic curves
构造达到Singleton型界的局部可修码（本文称之为最优码）是一个具有挑战性的课题，近年来引起了人们的极大关注。Tamo和Barg \cite{TB14}首先通过巧妙地考虑Reed-Solomon码的子码给出了这一课题的突破性结果。因此，由\cite{TB14}中给出的Reed-Solomon码的子码得到的$q$元最优局部可修码的长度上界为$q$。最近，通过对\cite{TB14}构造的扩展，证明了$q$元最优局部可修码的长度可以是\cite{JMX17}中的$q+1$.令人惊讶的是，在\cite{BHHMV16}中示出，与经典MDS码不同，$q$元最优局部可修复码可以具有比$q+1$更大的长度。因此，构造长度大于$q+1$的$q$元最优局部可修码就成为一个有趣且具有挑战性的问题.本文利用椭圆曲线上丰富的代数结构构造了一族$q$元最优局部可修码，其长度为$q+2\sqrt{q}$。结果表明，我们的代码的局部性可以像$23$一样大，距离可以是线性长度。
2017-12-13 cs.IT math.IT
Optimal and Almost Optimal Locally Repairable Codes from Hyperelliptic Curves
本文将基于椭圆曲线的最优局部可修复码构造推广到亏格2的超椭圆曲线，得到长度接近q+4√q、局部性最高达239的新q元最优或近最优码族。
2025-02-18 cs.IT math.IT
Constructions and Properties of Linear Locally Repairable Codes
本文研究了具有全符号局部性的局部可修码。提出了修改现有代码的方法。此外，它表明，具有高概率，一个随机矩阵与几个额外的列，保证局部性，是一个生成矩阵的局部可修代码具有良好的最小距离。这一证明也给出了一种构造性的局部可修码的方法。构造给出了三个无限类的最优向量线性局部可修码的小尺寸的字母表，不依赖于代码的大小。
2015-01-13 cs.IT math.IT
Batch and PIR Codes and Their Connections to Locally Repairable Codes
在本综述中，讨论了两个相关的代码族：批处理代码和专用信息检索代码。这两个家庭可以被看作是自然的推广本地可修复的代码，这是广泛研究的背景下，在分布式数据存储系统中的容错编码。的参数的代码，以及基本结构的界限，提出。讨论了不同代码族之间的联系。
2017-09-05 cs.IT math.IT
Locally Repairable Codes with Availability via Elliptic Function Fields
Sun Yat-sen University（中山大学）；Guangdong Key Laboratory of Information Security（广东省信息安全重点实验室）
本文基于椭圆函数域构造具有一个或两个恢复集的局部可修复码，通过普通椭圆曲线获得新的最优码族，提升局部性灵活性。
2026-05-07 cs.IT math.IT
On Optimal Locally Repairable Codes with Super-Linear Length
考虑了局部可修码相对于Prakash等人提出的界是最优的。新的上界的长度，这样的最佳代码的推导。新的界限既改善和推广以前已知的界限。构造了最优码，其长度与新的上界相比是阶最优的。码的长度与字母表大小呈超线性关系。
2019-04-08 cs.IT math.IT
On Error Decoding of Locally Repairable and Partial MDS Codes
本文研究了局部可修码（LRC）和部分MDS码（PMDS）的交织译码问题。对于一类特定的LRC，我们研究了交织解码的成功概率。对于PMDS码，我们表明，有一个广泛的参数，交织解码可以增加他们的解码半径超过最小的距离，成功解码的概率接近$1$，当代码长度趋于无穷大。
2019-07-08 cs.IT math.IT
Asymptotic Bounds on the Rate of Locally Repairable Codes
给出了有限域$F$上局部可修码序列具有给定相对最小距离和局部性的速率的新的渐近上界。该界限适用于恢复函数为线性的LRC;特别地，该界限适用于$F$上的线性LRC。新的界限，以改善以前发表的结果，特别是当修复组是不相交的，即，它们形成一个分区的坐标集。
2020-10-27 cs.IT math.IT
Optimal Quaternary (r,delta)-Locally Repairable Codes Achieving the Singleton-type Bound
局部可修复代码可以实现分布式存储系统中节点故障的快速修复。码字中的代码符号存储在不同的存储节点中，使得可以通过访问存储节点的一小部分来恢复盘故障。在修复故障节点期间联系的存储节点的数量是一个称为局部性的参数。我们认为本地可修复的代码，可以在本地恢复存在多个节点故障。通过去除修复组的补码中的码符号而获得的删余码被称为本地码。我们的目标是设计一个代码，使所有的本地代码有一个规定的最小距离，使任何节点故障可以在本地修复，只要节点故障的总数小于公差参数。我们考虑定义在有限域上的线性局部可修码。该字母表具有特征2，因此易于实际实现。我们分类所有的四元局部可修码，达到最小距离的Singleton型上界。对于可实现的代码参数的每个组合，给出了显式代码构造。
2021-12-10 cs.IT math.IT
Construction of optimal locally repairable codes via automorphism groups of rational function fields
本地可修复代码，或本地可恢复代码（简称LRC）被设计用于分布式和云存储系统中的应用。与经典分组码类似，局部可修码也有一个重要的界，称为Singleton型界。在本文中，一个最佳的局部可修复的代码是指一个块码实现这一Singleton型界。与经典的MDS码一样，最优局部可修码具有一些非常好的组合结构。自从局部可修码的Singleton型界被提出以来，人们一直致力于构造最优局部可修码。由于这一问题的困难性，文献中很少有最优局部可修码的构造。大多数这些结构是通过组合或代数结构实现的。本文利用有理函数域上的自同构群，考虑有限域上射影线上的群作用，构造了最优局部可修码。事实证明，我们能够构造最佳的局部可修码的自反性的地方，以及较小的字母表大小可比的代码长度。特别是，我们产生了新的家庭的$q$ -ary局部可修复的代码，包括代码的长度$q+1$通过循环群和代码通过二面角群。
2017-10-26 cs.IT math.IT math.NT
List Decoding of Locally Repairable Codes
我们表明，本地可修复码（LRC）可以列表解码有效地超出约翰逊半径的参数范围很大，利用本地纠错能力。推导了新的译码半径，并分析了其渐近行为。我们给出了一个一般的列表解码算法LRC，实现这个半径以及一个明确的实现一类LRC的基础上里德-所罗门码（Tamo-Barg LRC）。在此基础上，给出了一种低复杂度的概率唯一译码算法，并对其成功概率进行了分析。
2018-05-08 cs.IT math.IT
Optimal Locally Repairable and Secure Codes for Distributed Storage Systems
本文的目的是超越弹性到分布式存储系统（DSS）的安全性和本地可修复性的研究。安全性和本地可修复性都是重要的一个有效的存储系统的功能，本文的目的是了解这些系统的弹性，安全性和本地可修复性之间的权衡。特别是，本文首先调查的安全性存在的合谋窃听者，窃听者被假定为一起工作，在解码存储的信息。其次，本文重点介绍的编码方案，使最佳的局部修复。它进一步将这两个概念结合在一起，开发本地可修复的编码方案的DSS是安全的，对窃听者。本文的主要结果包括：a.最小存储再生码保密容量的一个改进界。安全的编码方案，实现了一些特殊情况下的界限，c.局部可修码最小距离的一个新界，d.实现最小距离界限的局部可修复码的码构造，以及e.修复带宽有效的局部可修复码的安全约束和不安全约束。
2013-08-06 cs.IT math.IT
Optimal Locally Repairable Codes via Rank-Metric Codes
提出了一种新的分布式存储系统局部可修码的显式构造方法，该方法具有全符号局部性和最大可能最小距离，或者等价地，可以容忍最大数量的节点故障.这种构造基于最大秩距离（MRD）Gabidulin码，提供了新的最优矢量和标量LRC。此外，本文还讨论了机制，通过这种结构获得的代码可以用来构造LRC与再生码相结合的失效节点的有效修复的LRC。
2013-01-27 cs.IT math.IT
Optimal Locally Repairable Codes: An Improved Bound and Constructions
我们研究的Singleton型的界限，提供了一个上限的最小距离的局部可修复的代码。我们提出了一个改进的边界仔细分析的组合结构的修复集。因此，我们证明了对于某些参数，先前的界是不可实现的。然后，我们还提供了明确的最佳代码的结构，表明对于某些参数的新的界限是尖锐的。此外，作为一个副产品，一些以前已知的代码显示，以达到新的界限，因此被证明是最佳的。
2020-11-10 cs.IT math.IT
Bounds on the Rate of Linear Locally Repairable Codes over Small Alphabets
局部可修码由于其理论上的吸引力及其在分布式存储系统中的应用，近年来成为研究热点。在LRC中，码字的任何坐标可以通过仅访问少数其他坐标来恢复。对于小字母表（例如二进制）上的LRC，最佳速率-距离权衡是未知的。在本文中，我们提供了严格的已知的上界的速度线性LRC的一个给定的相对距离，一个改进的任何以前的结果，特别是\cite{cadambe2013upper}。
2016-07-28 cs.IT math.IT
Error-Correcting Regenerating and Locally Repairable Codes via Rank-Metric Codes
本文提出并分析了一种新的级联编码方案，使错误恢复在两个分布式存储设置：一个是存储使用现有的再生码，第二个是存储使用本地可修复的代码。级联编码方案将最大秩距离（MRD）码作为外码，将全局再生码或局部可修复码作为内码。此外，考虑了局部可修复码与再生码组合的抗误码能力。这种级联编码系统旨在处理两种不同类型的对抗性错误：第一种类型包括只能替换受影响节点内容一次的对手;而第二种类型研究能够污染数据无限次数的对手。建立了局部可修复码的恢复能力上界，证明了该级联编码方案对第一类攻击者的恢复能力达到了上界。此外，本文提出的机制，结合子空间签名的级联编码方案，以实现第二类错误的错误恢复。
2013-12-11 cs.IT math.IT
Upper bounds on maximum lengths of Singleton-optimal locally repairable codes
一个局部可修的码如果达到了Singleton型上界，则称为Singleton最优码。这类码在局部可修码的研究中具有重要的理论意义。近年来，在这方面做了大量工作。本课题的主要问题之一是在给定局部性和最小距离的条件下，确定q元Singleton最优局部可修码的最大长度。与经典的MDS码不同，Singleton码的最大长度？最优局部可修码对最小距离和局部性非常敏感。因此，研究Singleton最优局部可修码的最大码长是一个很有挑战性和复杂的问题。在文献中，已经有一些关于这个问题的研究。然而，大多数工作都涉及到一些特定的参数机制，如小的最小距离和局部性，并依赖于（r + 1）|n和恢复集是不相交的，其中r是局部性，n是码长。在本文中，我们研究的问题，包括最小距离与长度成正比的情况下，参数的大范围。此外，我们还得到了一些上界的最大长度的Singleton最优的局部可修码的最小距离小，通过删除这个约束。事实证明，即使没有约束，我们仍然得到了更好的上限与已知的结果相比，小的局部性和距离的代码。此外，基于本文提出的小距离和局部性码的上界和一些传播规则，我们可以得到距离和局部性相对较大的码的上界，假设（r + 1）|n和恢复集不相交。
2022-07-12 cs.IT math.IT
Construction of asymptotically good locally repairable codes via automorphism groups of function fields
由于在分布式存储中的实际应用以及理论上的兴趣，局部可修码近年来得到了广泛的研究。然而，到目前为止，对局部可修码的渐近性态的研究还不多。特别地，关于局部可修码渐近性态的构造性下界，目前还没有什么结果。本文利用函数场塔的自同构群推广了\cite{BTV17}的构造。我们的建筑的主要优点是允许更多的灵活性的地方。此外，我们表明，Gilbert-Varshamov型界的局部可修码可以改善所有足够大的字母大小$q$。
2017-11-21 cs.IT math.IT math.NT
Constructions of Optimal and Almost Optimal Locally Repairable Codes
在$(r+1) \nmid n$情形下和在小有限域上构造最优局部可修码（LRC）是LRC的公开问题[1]。Tamo \emph{et al.}，“最优局部可修复代码和拟阵理论的连接”，\emph{2013 IEEE ISIT} ]。在本文中，这些问题进行了研究，通过构建几乎最优的线性LRC，这被证明是最优的某些参数，包括情况下，$(r+1) \nmid n$。更准确地说，线性码的长度，尺寸和所有符号的局部构造几乎最佳的最小距离。“几乎最佳”是指它们的最小距离与LRC已知界限所给出的最佳值相差至多1。除了这些线性LRC，最佳的LRC，不需要一个大的字段被构造为某些类的参数。
2014-06-17 cs.IT math.IT
Some results on locally repairable codes with minimum distance $7$ and locality $2$
局部可修码在分布式存储系统中起着重要的作用。具有小局部性的LRC具有其自身的优势，因为在恢复被擦除符号时需要较少的可用符号。本文证明了具有最小距离$d\geq 7$的LRC维数的一个上界。证明了$d=7$，$r=2$在$q^2+q+3$的几乎最优LRC长度的一个上界.然后，基于$t$-spread结构，给出了一种构造几乎最优LRC的算法，当$q\geq 4$的维数达到上述上界时，该LRC具有$d=7$，$r=2$和长度$n\geq 3\lceil\frac{\sqrt{2}q}{3}\rceil$.
2022-07-06 cs.IT math.IT
Security in Locally Repairable Storage
本文将{ \em局部可修}码的概念推广到{ \em秘密共享}方案。我们考虑的主要问题是找到最佳的方法来分配一组存储节点（参与者）之间的秘密的份额，使每个节点（份额）的内容可以通过使用其他节点的内容恢复，并在同一时间的秘密可以重建只有一些允许的节点子集。作为一种特殊情况，窃听者观察某组特定节点（例如少于一定数量的节点）不会获得任何信息。换句话说，我们建议研究一个本地可修复的分布式存储系统，是安全的对{ \em被动窃听者}，可以观察到一些节点的子集。我们提供了一些结果，这些系统，包括上限和可扩展性的结果，可以安全地存储这些约束的位数。
2016-08-12 cs.IT math.IT
On Optimal Ternary Locally Repairable Codes
在$[n,k,d]$线性码中，如果码符号可以通过访问至多$r$其它码符号来修复，则称该码符号具有局部性$r$。对于$(n,k,r)$ \emph{locally repairable code}（LRC），最小距离满足众所周知的类Singleton界$d\le n-k-\lceil k/r\rceil +2$。在本文中，我们研究了最佳的三元LRC满足这类Singleton约束采用奇偶校验矩阵的方法。证明了最优三元LRC存在的可能参数只有$8$类。此外，我们得到了明确的结构，最佳三元LRC的所有这些$8$类的参数，其中的最小距离只能是2，3，4，5和6。
2017-02-19 cs.IT math.IT
Bounds and Constructions for Linear Locally Repairable Codes over Binary Fields
对于二进制$[n,k,d]$线性局部可修码，导出了$k$的两个新的上界.第一个适用于LRC与不相交的局部修复组，一般值的$n,d$和地方$r$，包含一些以前已知的界限作为特殊情况。第二种是基于求解一个优化问题，适用于具有任意局部修复组结构的LRC。特别地，当$d\geq 5$。一个具体的比较表明，这个明确的界限优于Cadambe-Mazumdar界的$5\leq d\leq 8$和大值的$n$。此外，一个建设的二元线性LRC与$d\geq6$达到我们的第二界。
2017-01-24 cs.IT math.IT
Constructions of Binary Optimal Locally Repairable Codes via Intersection Subspaces
本文利用交子空间构造维数最优的二元局部可修复码，实现局部性2^b且最小距离≥6，并扩大参数范围同时保持最大码率。
2023-10-15 cs.IT math.IT
Binary Locally Repairable Codes ---Sequential Repair for Multiple Erasures
分布式存储中的局部可修复码（LRC）允许两种方法对多个失效节点进行局部修复：1）并行方法，每个新节点访问一组$r$活节点$(r$作为修复位置$)$，下载数据并恢复丢失的数据包;以及2）顺序方法，通过该方法，新来者被适当地排序并且每个新来者访问一组$r$其它节点，一个具有局部性$r$的$[n,k]$线性码被称为$(n,k,r,t)$ -精确局部可修复码（ELRC），它允许通过顺序方法对多达$t$的失效节点进行局部修复.本文提出了一类等价于$[r+1,r]$单奇偶校验码的$m$拷贝的直积的二进制码。我们证明了这样的代码是$(n,k,r,t)$与$n=(r+1)^m,k=r^m$和$t=2^m-1$，这意味着他们允许本地修复高达$2^m-1$擦除顺序的方法。结果表明，顺序方法比并行方法具有更大的优势。
2015-11-19 cs.IT math.IT
Two-layer Locally Repairable Codes for Distributed Storage Systems
本文提出了一种适用于分布式存储系统的具有最优最小距离的局部可修码。采用两层编码结构保证数据重构和指定的修复局部性。数据首先在第一层中通过任何现有的最大距离可分离（MDS）码进行编码，然后在第二层中将编码的符号分成不重叠的组并通过MDS阵列码进行编码。第二层中的编码为局部修复提供了足够的冗余，而整个代码基于来自两层的冗余执行数据恢复。我们的代码可以构建在一个有限的字段中的DSS中的节点总数的大小线性增长，并促进有效的降级读取。
2014-08-14 cs.IT math.IT
On Optimal Locally Repairable Codes and Generalized Sector-Disk Codes
考虑了具有信息局部性的最优局部可修码。最佳码的构造，其长度也是顺序最佳的关于本文推导出的码长的一个新的界。所构造的码的长度在字母表大小上是超线性的，这改进了公知的金字塔码，其长度仅在字母表大小上是线性的。可恢复的擦除模式也分析了新的代码。基于可恢复的擦除模式，我们构造了广义扇区磁盘（GSD）码，它可以从磁盘擦除与扇区擦除混合在一个更一般的设置比已知的扇区磁盘（SD）码。此外，在所构造的GSD码中的扇区数是超线性的字母大小，与已知的SD码，其扇区数仅是线性的字母大小相比。
2020-02-05 cs.IT math.IT
Bounds and Constructions of Singleton-Optimal Locally Repairable Codes with Small Localities
最近几年，人们对达到Singleton型界的最优局部可修码的构造进行了详尽的研究。在本文中，我们考虑了分别具有最小距离$d=6$、局部性$r=3$以及最小距离$d=7$和局部性$r=2$的Singleton最优LRC的新界和构造。首先，我们建立了这两类LRC的存在性与射影空间中某些具有某些性质的直线子集的存在性之间的等价联系。然后，我们采用线点关联矩阵和约翰逊界的等重码，得到新的改进的界限的代码长度，这是严格的比已知的结果。最后，利用有限域和有限几何的技巧，我们构造了一些新的Singleton最优LRC，它们的长度比以前的LRC更大。
2022-07-12 cs.IT math.IT
Some Improvements on Locally Repairable Codes
在分布式存储系统中引入局部可修复码（LRC）来有效地纠正擦除. LRC是近年来研究的热点。本文首先讨论了\cite{q}中的开集情形，并给出了LRC最小距离的一个改进的上界。我们也给出了一个明确的建设LRC达到这个界限。其次，我们考虑了任意位置和可用性的LRC的构造，这些LRC具有尽可能大的最小距离和尽可能高的码率。我们给出了一个图形模型的LRC。利用图论的深入结果，构造了一族具有任意局部性$r$和可用性$2$的LRC，其码率为$\frac{r-1}{r+1}$，最优最小距离为$O(\log n)$，其中$n$为码长.
2015-06-16 cs.IT math.IT
On minimum distance of locally repairable codes
分布式和云存储系统用于可靠地存储大规模数据。擦除码最近被提出并用于现实世界的分布式和云存储系统，如Google文件系统、Microsoft Azure存储和Facebook HDFS-RAID，以提高可靠性。为了减少修复带宽和磁盘I/O，一类称为局部可修复码（LRC）的纠删码被提出，与其他纠删码相比，它具有较小的局部性。虽然LRC具有小的局部性，但与Singleton界相比，它们具有更低的最小距离。因此，寻求最大可能的最小距离LRC一直是许多最近的研究课题。在本文中，我们研究了一类LRC的最大可能的最小距离，并评估他们的可扩展性。此外，我们比较了我们的结果与文献中的存在界。
2017-02-17 cs.IT math.IT
Locally repairable convertible codes with optimal access costs
本文研究合并情形下局部可修复码的码转换问题，建立了通用LRCs转换访问代价下界，并提出访问代价达到该下界且域大小与码长成线性关系的LRCs通用构造。
2023-08-13 cs.IT math.IT
Bounding Multiple Unicasts through Index Coding and Locally Repairable Codes
建立了线性索引编码与局部可修码之间的对偶关系。具体来说，我们表明，一个自然的扩展LRC，我们称之为广义局部可修码（GLCR）是完全对偶的线性索引码。在GLRC中，每个节点都可以从其他节点的特定集合中解码，并且这些集合导出可恢复性有向图。我们表明，对偶线性子空间的GLRC是一个解决方案的索引编码的情况下，边信息图是这个GLRC可恢复图。我们表明，GLRC率是相当于互补索引编码率，即编码节省的传输次数。我们的第二个结果使用这种对偶建立一个新的上界的多单播网络编码问题。在多单播网络编码中，我们给定一个有向无环图和r个源，它们希望向r个相应的目的地发送独立的消息。我们的新上限是有效的计算，并依赖于一个强大的近似结果互补索引编码。我们相信，我们的界限可能会导致多个单播网络编码的对数近似因子，如果一个合理的连接，我们的状态得到验证。
2014-02-17 cs.IT math.IT
An Integer Programming Based Bound for Locally Repairable Codes
本文所研究的局部可修码是一种$[n,k]$线性码，其每个坐标上的值最多可由其它$r$坐标的线性组合恢复。这项工作的中心问题是确定LRC的最大可能的最小距离。首先，一个整数规划为基础的上限推导出任何LRC。然后在一定条件下求解该规划问题，得到了参数为$n_1>n_2$的LRC的显式上界，其中$n_1 = \left\lceil \frac{n}{r+1} \right\rceil$和$n_2 = n_1 (r+1) - n$ .最后，给出了有限域$\mathbb{F}_{2^m}$上达到这个上界的LRC的显式构造，其中$m\geq n_1r$ .在此基础上，明确地确定了所有带$r \le \sqrt{n}-1$的LRC的最大可能最小距离，这在实际应用中具有重要意义。
2014-09-03 cs.IT math.IT
On Sequential Locally Repairable Codes
本文研究了局部可修码（LRC），其目标是顺序恢复多个擦除。我们将（n，k，r，t）-SLRC（Sequential Locally Repairable Codes）定义为一个[n，k]线性码，其中任意t ′（>= t）个擦除都可以顺序地恢复，每个擦除由r（2<=r<k）个其它码符号恢复。顺序恢复意味着被擦除的符号被逐个恢复，并且已经恢复的符号可以用于恢复剩余的被擦除的符号。这种重要的恢复方法，与广泛研究的并行恢复相比，目前还远远没有理解，例如，缺乏为任意t>=3的擦除构造的代码和界来评估这样的代码的性能。我们首先推导出（n，k，r，t）-SLRC的码率的严格上界，其中t=3且r>=2。然后，我们提出了两个构造的二进制（n，k，r，t）-SLRC一般r，t>=2（现有的结构是处理t<=7擦除。第一种构造方法推广了直积构造方法。第二个构造是基于可分解的配置，并产生任何r>=2和奇数t>=3的SLRC。对于这两种构造，对于{2，3}中的t，速率是最优的，并且对于任意t>=4，速率高于大多数现有的LRC族。
2016-10-31 cs.IT math.IT
Binary Cyclic Codes that are Locally Repairable
存储系统的代码旨在最小化修复局部性，即参与修复单个故障磁盘的磁盘（或节点）数量。同时，该代码必须保持高速率，在小的有限域上操作以具有实际意义，并且能够容忍大量的擦除。为此，我们构造新的家庭的二进制线性码，有一个最佳的尺寸（率）为一个给定的最小距离和地方。具体来说，我们构造循环码，局部可修复的地方2和距离2，6和10。在这样做，我们发现新的上限的代码尺寸，并证明了最优的本地修复提供不相交的磁盘组。最后，我们扩展我们的构造，以构建每个磁盘具有多个修复集的代码。
2016-09-28 cs.IT math.IT
Extension of Optimal Locally Repairable codes
本文扩展了最优局部可修复码（LRCs）的现有构造方法，通过扩展有理函数域和椭圆函数域中码的单一坐标，证明了新码的最优性并显著提升了码的最大长度。
2025-01-31 cs.IT math.IT
Optimal binary linear locally repairable codes with disjoint repair groups
近年来，为了提高分布式存储系统的容错性和系统可靠性，提出了几类码，其中局部可修码（LRC）起着重要的作用。然而，大多数已知的构造都是在大小接近码长的大型字段上进行的，这导致了系统计算上的昂贵。因此，二进制LRC在实践中很有意义。在本文中，我们专注于二进制线性LRC与不相交的修复组。我们首先导出了这类码的维数k的一个显式界，它可以作为[11，36，37]中给出的界的推广。我们还给出了几个新的构造的二元LRC的最小距离$d = 6$的基础上弱独立集和部分蔓延，这是最佳的关于我们新获得的界。特别地，对于局部性$r\in \{2,3\}$和最小距离$d = 6$，我们获得了所需的最佳二进制线性LRC与不相交的修复组几乎所有的参数。
2017-11-20 cs.IT math.IT
Locally Repairable Codes with Unequal Local Erasure Correction
当分布式存储系统中的节点发生故障时，需要及时修复以保持系统的完整性。虽然典型的纠删码可以提供优于复制的显著存储优势，但是它们遭受较差的修复效率。局部可修复码（LRC）通过减少参与修复过程（局部性）的节点数量来解决这个问题，代价是减少最小距离。在本文中，我们研究了局部码具有任意距离要求的LRC的局部性和最小距离之间的权衡。与现有的方法，其中每个节点上施加的本地和本地距离的要求是相同的，我们允许的要求从节点到节点任意变化。这样的属性对于具有非均匀特性的分布式存储系统可以是有利的。我们提出了Singleton型距离上界，并提供了一个最佳的代码建设这些界限。此外，可行速率区域的特征在于不依赖于距离的维数上界。
2018-07-07 cs.IT math.IT
Optimal cyclic $(r,δ)$ locally repairable codes with unbounded length
Gopalan等人在\cite{1}中提出了局部可修复的$r$码（简称$r$-LRC），用于从大多数其他$r$可用节点中恢复代码的故障节点。然后Prakash等人提出了$(r,δ)$局部可修码（$(r,δ)$-LRC），\cite{2}提出了一种能容忍多个节点失效的$(r,δ)$局部可修码。$r$ -LRC可以看作是$(r,2)$ -LRC.如果一个$(r,δ)$ -LRC达到了Singleton型界，则称之为最优的。如何构造长度远大于$q$的$q$ -ary最优$(r,δ)$ -LRC是一个很大的挑战.令人惊讶的是，Luo等人的\cite{3}提出了一种具有无限长度的最小距离3和4的$q$元最优$r$-LRC的构造（即，这些码的长度与$q$无关）。受\cite{3}工作的启发，本文首先构造了两类长度无界且距离最小的最优循环$(r,δ)$：$δ+1$或$δ+2$，推广了\cite{3}中关于$δ=2$情形的结果.其次，在一个更强的条件下，我们构造了一个最优循环$(r,δ)$ -LRC，它具有无限长和更大的最小距离$2δ$。当$6$为最小距离时，给出了另一类长度无界的最优循环$(r,3)$ -LRC.
2018-10-02 cs.IT math.IT
Error Decoding of Locally Repairable and Partial MDS Codes
在这项工作中，它表明，本地可修复码（LRC）可以有效地列表解码超出约翰逊半径的大范围的参数，通过利用本地纠错能力。推导了相应的译码半径，并分析了其渐近行为。提出了实现该半径的LRC的一般列表解码算法，以及作为Reed-Solomon码的子码（例如，Tamo-Barg LRC）。在此基础上，给出了一种低复杂度的概率LRC唯一译码算法，并分析了其成功概率。本文的第二部分研究了LRC码和部分最大距离可分（PMDS）码的交织译码。针对一类特定的LRC，研究了交织译码的成功概率。对于PMDS码，它表明，有一个广泛的参数，交织解码可以增加其解码半径超过最小距离，使成功解码的概率接近$1$时，代码长度趋于无穷大。
2020-09-15 cs.IT math.IT
Bounds on Binary Locally Repairable Codes Tolerating Multiple Erasures
近年来，局部可修码在分布式存储系统中的潜在应用引起了人们极大的兴趣。然而，现有的大多数构造都是在大小随服务器数量而增长的字段上进行的，这使得系统在计算上昂贵且难以维护。在这里，我们研究线性局部可修复码的二进制字段，容忍多个本地擦除。我们推导出这些代码的最小距离的界限，并给出LRC实现这些界限的例子。我们的主要技术工具来自拟阵理论，作为我们的证明的副产品，我们表明，一个简单的二元拟阵的循环单位格是原子。
2018-02-19 cs.IT math.CO math.IT
Rate Optimal Binary Linear Locally Repairable Codes with Small Availability
具有可用性的局部可修复码具有每个码符号可以从多个小尺寸的其他符号的不相交子集中恢复的性质。特别地，如果可以从$t$不相交子集中恢复码符号，则称该码符号具有$(r,t)$可用性，其中每个子集的大小至多为$r$。一个代码的可用性被称为“率最优”，如果它的速率是最大的一类代码与给定的位置，可用性，和字母表的大小。本文主要研究具有小可用性的速率最优二元线性码，并做了四个方面的贡献。首先，它建立了严格的上界的二进制线性码的速率与$(r,2)$和$(2,3)$的可用性。其次，建立了二进制速率最优码的唯一性结果，证明了对于某些具有$(r,2)$和$(2,3)$ -可用性的二进制线性码，任何速率最优码都必须是较短速率最优码的直和。第三，给出了具有$(2,t)$和$(r,3)$ -可用性的二元线性码的速率的新的上界。特别是，这里的主要贡献是一个新的方法，使用其覆盖特性的双重代码的陪集的数量与可用性的边界。最后，给出了一类与凸多面体相关的局部可修线性码，重点讨论了与柏拉图体相关的线性码。证明了这些码是用$t = 2$局部可修的，并且与（几何）对偶多面体相关联的码是（编码理论上）相互重叠的。
2017-09-14 cs.IT math.IT
Secure Storage using Maximally Recoverable Locally Repairable Codes
针对 MR-LRC 在全局修复中易被窃听的问题，提出基于 CPU 与局部多项式的安全修复框架，分析直接修复和转发修复并实现非零保密维度。
2024-05-09 cs.IT math.IT
Linear Programming Bounds for Distributed Storage Codes
局部可修码的一个主要问题是其鲁棒性。如果本地维修组无法执行维修过程，这将导致维修成本增加。因此，一个局部可修复的代码有多个修复组是至关重要的。在本文中，我们考虑强大的本地可修复的编码方案，保证存在多个不同的（不一定不相交）替代本地修复组的任何单一的故障，使故障节点仍然可以修复本地，即使一些修复组不可用。我们使用线性规划技术来建立这些代码的代码大小的上限。我们还提供了两个例子，强大的本地可修复的代码是最佳的关于我们的线性规划界。此外，我们解决了分布式数据存储网络的更新效率问题。对存储数据的任何修改都将导致更新存储节点的内容。因此，必须最小化需要通过存储数据中的任何变化来更新的节点的数量。研究了更新有效存储码的性质，建立了更新有效局部可修存储码存在的必要条件。
2019-04-06 cs.IT math.IT
Repair Duality with Locally Repairable and Locally Regenerating Codes
我们构造了一个显式的局部可修复和局部再生码族，其存在性在Kamath等人最近的工作中得到了证明。关于局部再生码，但没有给出显式的构造。这个显式的代码族是基于HashTag代码的。哈希标签码是最近定义的具有不同向量长度$α$（也称为子分组化级别）的向量码，其根据子分组化级别实现MSR码的最优修复带宽或接近最优修复带宽。我们应用了奇偶分裂码构造技术。我们表明，所提出的显式代码结构的有限域的大小的下限可以低于Kamath等人的工作中给出的一个。最后，我们讨论了有两种方法的节点修复与本地再生HashTag码的重要性：修复只与本地奇偶校验节点或修复与本地和全局奇偶校验节点。据作者所知，这是第一个工作，在修复过程中的这种二元性进行了讨论。我们给出了一个实际的例子和实验结果，在Hadoop中，我们展示了这种修复二元性的好处。
2017-08-30 cs.IT math.IT
Optimal Quaternary Locally Repairable Codes Attaining the Singleton-like Bound
近年来，一些新的代码被引入到分布式存储系统中，以提供容错和保证系统的可靠性，其中局部可修代码（LRC）扮演了重要的角色。如果线性码的每个码符号都可以通过访问至多$r$其他码符号来修复，则称该线性码具有局部性$r$。证明了具有长度$n$、维数$k$和局部性$r$的LRC的最小距离$d$满足类Singleton界$d\leq n-k-\lceil k/r\rceil+2$ .从那时起，许多工作已经做了构造LRC满足Singleton的小域上的类界。在本文中，我们通过奇偶校验矩阵的方法研究满足Singleton类约束的四元LRC。利用有限几何的工具，我们提供了一些新的必要条件，LRC是最优的。由此，我们证明，有$27$不同类别的参数的最佳四元LRC。此外，对于每一类，相应的最佳四元LRC的显式构造。
2022-06-12 cs.IT math.IT
New Constructions of Optimal Locally Repairable Codes with Super-Linear Length
局部可修码（LRC）作为现代分布式存储系统中的一种重要编码方案，无论是在实际应用还是理论研究方面都受到了广泛关注。最优码的界和构造是LRC研究的一个重要课题。在这项工作中，代码与$(r,δ)$ -局部性，具有最佳的最小距离w.r.t.考虑了Prakash等人在\cite{Prakash2012Optimal}中给出的边界。利用奇偶检验矩阵方法，构造了具有全符号局部性的最优$(r,δ)$（$(r,δ)_a$ -LRC）和具有信息局部性的最优$(r,δ)$（$(r,δ)_i$ -LRC）.作为Xing和Yuan \cite{XY19}工作的推广，这些构造建立在稀疏超图和最优$(r,δ)$ -LRC之间的连接上。借助于大型稀疏超图的构造，所构造的码的长度在字母表大小上可以是超线性的。当代码的最小距离至少为$3δ+1$时，这改进了先前的构造。作为两个应用，我们还构造了超线性长度的最优H-LRC码和无限长度的GSD码。
2020-12-30 cs.IT math.IT
On the Average Locality of Locally Repairable Codes
具有维数$k$、长度$n$和最小距离$d$的线性分组码被称为具有局部性$r$的局部可修复码（LRC），如果它可以通过至多$r$其他编码符号来检索任何编码符号。LRC最近被提出并在实践中用于分布式存储系统（DSS），如Windows Azure存储和Facebook HDFS-RAID。建立了LRC（$r$）最大局域性的理论界。LRC（$\overline{r}$）的\textit{average}局部性直接影响昂贵的修复带宽、磁盘I/O和缺失数据块修复过程中涉及的节点数量。研究$\overline{r}$的文献中存在空白。本文建立了任意$(n,k,d)$ LRC的$\overline{r}$的下界。此外，我们得到了一个严格的下界$\overline{r}$的实际情况下，其中的编码率$(R=\frac{k}{n})$大于$(1-\frac{1}{\sqrt{n}})^2$。最后，我们设计了三个类的LRC，实现了$\overline{r}$上得到的界限。与现有的LRC相比，我们提出的编码提高了平均局部性，而不牺牲码率或最小距离等关键参数。
2017-01-23 cs.IT math.IT
Optimal $(2,δ)$ Locally Repairable Codes via Punctured Simplex Codes
本文利用有限几何和特征和方法构造了多类基于打孔单纯形码的最优 (2,δ)-LRC，并证明其达到广义 Cadambe-Mazumdar 界。
2024-06-19 cs.IT math.IT
