有限环的Carlitz-von Staudt型定理
A Carlitz-von Staudt type theorem for finite rings
摘要：
本文计算了任意有限酉环$R$上的$k$次幂和（对所有$k>0$）.这统一和扩展了Brawley，Carlitz和Levine关于矩阵环的工作[Duke Math. J. 1974]，有限域和有限循环群的民间结果，以及Grau和Oller-Marcen关于交换环的更一般的最近结果[有限域Appl. 2017]。作为应用，我们解决了一个猜想，由Ayuso，Grau，Oller-Marcen，和Rua的zeta值的矩阵环有限交换环[Internat. J.代数计算2017年]。我们通过多项式环上的zeta值进一步改写了我们的主要结果，并通过对一大类有限交换环上的交换不变多项式进行分类而结束。
英文摘要：
We compute the $k$th power-sums (for all $k>0$) over an arbitrary finite unital ring $R$. This unifies and extends the work of Brawley, Carlitz, and Levine for matrix rings [Duke Math. J. 1974], with folklore results for finite fields and finite cyclic groups, and more general recent results of Grau and Oller-Marcen for commutative rings [Finite Fields Appl. 2017]. As an application, we resolve a conjecture by Fortuny Ayuso, Grau, Oller-Marcen, and Rua on zeta values for matrix rings over finite commutative rings [Internat. J. Algebra Comput. 2017]. We further recast our main result via zeta values over polynomial rings, and end by classifying the translation-invariant polynomials over a large class of finite commutative rings.
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