准生灭过程的泊松方程通用解
General solution of the Poisson equation for Quasi-Birth-and-Death processes
AI总结：
本文研究了准生灭过程的泊松方程（I-P）u=g的通用解，通过利用矩阵P的块三对角和块Toeplitz结构，推导出一组矩阵差分方程，并通过构造合适的残差三元组来求解。
摘要：
我们考虑泊松方程（I-P）u=g，其中P是具有无限多个层级的准生灭（QBD）过程的转移矩阵，g是一个给定的无限维向量，u是未知数。我们的主要结果是提供该方程的通用解。为此，我们利用矩阵P的块三对角和块Toeplitz结构，推导出一组矩阵差分方程，这些方程通过构造合适的残差三元组来求解。
英文摘要：
We consider the Poisson equation $(I-P)\boldsymbol{u}=\boldsymbol{g}$, where $P$ is the transition matrix of a Quasi-Birth-and-Death (QBD) process with infinitely many levels, $\bm g$ is a given infinite dimensional vector and $\bm u$ is the unknown. Our main result is to provide the general solution of this equation. To this purpose we use the block tridiagonal and block Toeplitz structure of the matrix $P$ to obtain a set of matrix difference equations, which are solved by constructing suitable resolvent triples.
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