关于群 $\mathrm{FAlt}(X)\leqslant G\leqslant \mathrm{Sym}(X)$ 的 $R_\infty$ 性质的注记
A note on the $R_\infty$ property for groups $\mathrm{FAlt}(X)\leqslant G\leqslant \mathrm{Sym}(X)$
AI总结：
本文描述了 $\mathrm{FSym}(X)\le G\le \mathrm{Sym}(X)$ 的自同构结构，并给出了 $G$ 具有 $R_\infty$ 性质的条件；主要结果包括无限挠群和余有限群的相关结论，以及 Houghton 群的 $R_\infty$ 性质。
摘要：
给定集合 $X$，群 $\mathrm{Sym}(X)$ 由所有从 $X$ 到 $X$ 的双射组成，$\mathrm{FSym}(X)$ 是有限支撑映射的子群，即只移动 $X$ 中有限个点的映射。我们描述了群 $\mathrm{FSym}(X)\le G\le \mathrm{Sym}(X)$ 的自同构结构，并据此给出了 $G$ 具有 $R_\infty$ 性质的一些条件。我们的主要结果是：如果 $G$ 是无限挠群且 $\mathrm{FSym}(X)\le G\le \mathrm{Sym}(X)$，则它具有 $R_\infty$ 性质。此外，如果 $G$ 是无限且余有限的，则存在集合 $X$ 使得 $G$ 忠实作用在 $X$ 上，并且利用该作用，$\langle G, \mathrm{FSym}(X)\rangle$ 具有 $R_\infty$ 性质。最后，我们得到了关于 Houghton 群（一族我们记为 $H_n$ 的群，其中 $n \in \mathbb{N}$）的一个结果。我们证明，对任意 $n\in \mathbb{N}$，任何与 $H_n$ 可公度的群都具有 $R_\infty$ 性质。
英文摘要：
Given a set $X$, the group $\mathrm{Sym}(X)$ consists of all bijections from $X$ to $X$, and $\mathrm{FSym}(X)$ is the subgroup of maps with finite support i.e. those that move only finitely many points in $X$. We describe the automorphism structure of groups $\mathrm{FSym}(X)\le G\le \mathrm{Sym}(X)$ and use this to state some conditions on $G$ for it to have the $R_\infty$ property. Our main results are that if $G$ is infinite, torsion, and $\mathrm{FSym}(X)\le G\le \mathrm{Sym}(X)$, then it has the $R_\infty$ property. Also, if $G$ is infinite and residually finite, then there is a set $X$ such that $G$ acts faithfully on $X$ and, using this action, $\langle G, \mathrm{FSym}(X)\rangle$ has the $R_\infty$ property. Finally we have a result for the Houghton groups, which are a family of groups we denote $H_n$, where $n \in \mathbb{N}$. We show that, given any $n\in \mathbb{N}$, any group commensurable to $H_n$ has the $R_\infty$ property.
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