Lieb定理、矩阵几何平均和半定optimization
Lieb's concavity theorem, matrix geometric means, and semidefinite optimization
摘要：
Lieb的一个著名结果证明了映射$(A,B) \mapsto \text{tr}\left[K^* A^{1-t} K B^t\right]$在正定矩阵对$(A,B)$中是联合凹的，其中$K$是固定矩阵，$t \in [0,1]$是正定矩阵对.在本文中，我们表明，Lieb的功能承认一个明确的半定规划制定任何合理的$t \in [0,1]$。我们的构造利用了加权矩阵几何平均的半定公式。我们提供了一个在Matlab中实现我们的结构。
英文摘要：
A famous result of Lieb establishes that the map $(A,B) \mapsto \text{tr}\left[K^* A^{1-t} K B^t\right]$ is jointly concave in the pair $(A,B)$ of positive definite matrices, where $K$ is a fixed matrix and $t \in [0,1]$. In this paper we show that Lieb's function admits an explicit semidefinite programming formulation for any rational $t \in [0,1]$. Our construction makes use of a semidefinite formulation of weighted matrix geometric means. We provide an implementation of our constructions in Matlab.
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