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轨道上整点的平均数

The average number of integral points in orbits

Wade Hindes

备注：
We strengthen the main result to non-isotrivial families
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摘要：

在数域$K$上，Silverman的一个著名结果是：如果$φ(z)\in K(z)$是一个有理函数，其第二阶多项式不是多项式，则轨道$\text{Orb}_φ(P)=\{φ^n(P)\}_{n\geq0}$上的$S$ -整点集对所有$P\in \mathbb{P}^1(K)$都是有限的.本文证明了，如果在适当的族中改变$φ$和$P$，则$\text{Orb}_φ(P)$中PDMATHAMO-整点的个数是绝对有界的.特别地，如果我们固定$φ$并改变基点$P\in \mathbb{P}^1(K)$，则我们表明$\#(\text{Orb}_φ(P)\cap\mathcal{O}_{K,S})$平均为零。最后，我们证明了零平均的结果一般，假设一个标准的算术几何高度一致性猜想。

英文摘要：

Over a number field $K$, a celebrated result of Silverman states that if $φ(z)\in K(z)$ is a rational function whose second iterate is not a polynomial, the set of $S$-integral points in the orbit $\text{Orb}_φ(P)=\{φ^n(P)\}_{n\geq0}$ is finite for all $P\in \mathbb{P}^1(K)$. In this paper, we show that if we vary $φ$ and $P$ in a suitable family, the number of $S$-integral points in $\text{Orb}_φ(P)$ is absolutely bounded. In particular, if we fix $φ$ and vary the basepoint $P\in \mathbb{P}^1(K)$, then we show that $\#(\text{Orb}_φ(P)\cap\mathcal{O}_{K,S})$ is zero on average. Finally, we prove a zero-average result in general, assuming a standard height uniformity conjecture in arithmetic geometry.

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

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