On the number of open knight's tours
Héctor Cancela, Ernesto Mordecki
我们回顾了最先进的计数问题的数量开放的骑士旅游，因为在互联网上公布的计算这个数量。
We review the state of the art in the problem of counting the number open knight tours, since the publication in internet of a computation of this quantity.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
On Crosspatch Knight's Tours
骑士之旅通常用一条折线来表示，这条折线连接着连续访问过的方格的中心。我们说，两个骑士移动形成一个十字架，如果他们各自的部分中点重合。我们表明，没有骑士巡回赛存在于一个矩形板，其中的每一个动作是一个十字架的一部分。我们还建立了具有这个性质的伪图的一般结构。
Generalised Knight's Tours
在$[n]^d$中存在封闭骑士之旅的问题，其中$[n]=\{0, 1, \dots, n-1\}$，最近由Erde，Golénia和Golénia解决。他们对一个广义的$(a, b)$骑士提出了同样的问题，这个骑士被允许沿着$[n]^d$的任意两个轴分别移动$a$和$b$单位长度。给定一个偶数$a$，我们表明，$[n]^d$网格承认一个$(a, 1)$骑士之旅足够大，甚至边长$n$。
The closed knight tour problem in higher dimensions
Schwenk在1991年解决了矩形棋盘上的闭骑士之旅的存在性问题。去年，在2011年，DeMaio和Mathew将这个结果扩展到了三维矩形板。本文给出了$n$ -维矩形板的解，对于$n\geq 4$ .
Non-crossing Knight's Tour in 3-Dimension
三维无交叉骑士漫游是一个新的研究领域。作者已经证明了它在小长方体和立方体高达8x8x8大小的可能性。它也可以扩展到更大尺寸的立方体和长方体。作者在3x3x3、4x4x4、5x5x5、6x6x6、7x7x7和8x8x8的立方体中分别实现了长度为15、46、88、159、258和395的跳跃。这相当于覆盖这些立方体中的59%、73%、71%、74%、76%和77%的细胞。
On the Crazy Knight's Tour Problem
本文研究疯狂骑士巡游问题，针对一类特定方形数组，在若干无限族中构造了满足条件的解，为曲面图正则嵌入提供工具。
Nonexistence of Whirling-Knight Tours at Half Coil Count for $n \equiv 4, 6 \pmod 8$
研究证明当n≡4或6mod8时，不存在半圈数的回旋骑士巡游，为Beluhov的猜想提供了解答，并为每个余数类提供了闭式Farkas证明。
Magic Knight's Tours in Higher Dimensions
棋盘上的骑士之旅是一系列的骑士移动，每一个方块只走一次。如果每一行和每一列的数字之和相同（魔术常数），则在正方形棋盘上的骑士之旅称为魔术骑士之旅。高维（n > 3）骑士之旅是古老的骑士之旅领域中的一个新课题。本文证明了奇阶n维超立方体中不可能存在幻骑士环和闭骑士环。3 \times 4 \times 2n-2是最小的立方体（n \geq 2），4 \times 4 \times 4 n-2是n维中可以进行骑士之旅的最小立方体（n \geq 3）。魔法骑士的游览可以在4 \times 4 \times 4 \times 4和4 \times 4 \times 4 \times 4 \times 4超立方体中进行。
Tourneys and the Fast Generation and Obfuscation of Closed Knight's Tours
通过生成骑士图的一个顶点不相交的圈覆盖，并将得到的圈连接起来，得到了生成闭骑士图的新算法。实验表明，这些算法在实践中比以前的方法显着更快。一个快速的模糊算法封闭骑士的旅游，模糊明显的文物所创建的方法的产生，也给出了视觉和统计证据，其功效。
The Topology of Knight's Tours on Surfaces
研究了柱面和环面上闭骑士之旅的同伦类。具体来说，我们的特点的尺寸圆柱棋盘承认封闭骑士的旅游实现身份的基本群和那些承认封闭旅游实现发电机的基本群。我们也产生类似的结果环形棋盘。
Knight's Tours in Higher Dimensions
本文研究了高维棋盘上的骑士之旅。我们的主要目的是表明，在$d$ -维板$[n]^d$，与$n$甚至，总是有一个骑士的旅游提供$n$是足够大的。事实上，我们给出了一个确切的分类网格$[n_1] \times ... \times [n_d]$，其中有一个骑士的旅游。这回答了DeMaio，DeMaio和Mathew以及Watkins的问题。
Nullhomotopic and Generating Knight's Tours on Non-Orientable Surfaces
本文研究莫比乌斯带与克莱因瓶棋盘上的闭合骑士巡游，刻画了允许零伦巡游及实现基本群生成元巡游的棋盘维度。
Proving the existence of Euclidean knight's tours on $n \times n \times \cdots \times n$ chessboards for $n < 4$
本文针对低维棋盘上的骑士巡游问题，通过重新定义欧几里得骑士，证明了在 $n<4$ 时存在闭欧几里得骑士巡游，并给出了 $k \geq 6$ 时 $\{0,1\}^k$ 上的构造。
Counting Knight's Tours through the Randomized Warnsdorff Rule
我们给出了一个估计的数量几何不同的开放旅游$\G$的一个骑士在棋盘上。我们使用Warnsdorff规则的随机化来实现回溯方案中的重要性抽样，根据所提出的“大多数解决方案在大多数时间内遵循Warnsdorff规则”的原则来校正原始规则的观察到的偏差。经过一些实验，以测试这一原则，并校准一个参数，解释为距离的一般解决方案从一个Warnsdorff解决方案，我们推测，$\G=1.22\times 10^{15}$。
Knight's paths towards Catalan numbers
我们提供枚举结果的部分骑士路径的一个给定的大小。我们证明代数曲折骑士的路径上的$x$轴上的一个给定的大小结束列举的广义加泰罗尼亚数，我们给一个建设性的双射与peakless Motzkin路径的一个给定的长度。在列举了给定长度的部分骑士路后，证明了以$x$ -轴为终点的给定长度的锯齿形骑士路可用Catalan数计数.最后，我们给出了一个具有给定长度Dyck路的构造性双射。
A tour problem on a toroidal board
在本文中，我们研究了我们在研究双嵌入和Heffter阵列时遇到的一个旅游问题，见[D. S.张文，张文，等. 22（2015）#P1.74]。令$A$是由填充单元和空单元组成的$n\times m$环形阵列。假设$A$的每行的方向$R=(r_1,\dots,r_n)$和每列的方向$C=(c_1,\dots,c_m)$是固定的。给定初始填充单元格$(i_1,j_1)$，考虑列表$ L_{R,C}=((i_1,j_1),(i_2,j_2),\ldots,(i_k,j_k),$ $(i_{k+1},j_{k+1}),\ldots)$，其中$j_{k+1}$是在方向$r_{i_k}$上紧挨着$(i_k,j_k)$的行$R_{i_k}$的填充单元格$(i_k,j_{k+1})$的列索引，并且其中$i_{k+1}$是在方向$c_{j_{k+1}}$上紧挨着$(i_k,j_{k+1})$的列$C_{j_{k+1}}$的填充单元格的行索引。我们提出了如下的“疯狂骑士之旅问题”：是否存在$R$和$C$，使得列表$L_{R,C}$覆盖$A$的所有填充单元格？在这里，我们提供了一个完整的解决方案的情况下，没有空的细胞，我们得到部分结果的正方形阵列中填充的细胞遵循一些特定的规则模式。
Searching for knights and spies: a majority/minority game
有n个人，每个人不是骑士就是间谍。已知至少存在k个骑士，其中n/2 < k < n。骑士总是说实话我们认为间谍总是说谎和间谍谁回答他们认为合适的。这篇论文确定了找到间谍或证明房间里的每个人都是骑士所需的问题数量。我们还确定了至少需要找到一个人的身份，或指定的人的身份，或找到一个间谍（假设间谍存在）的最低数量的问题。对于总是说谎的间谍，我们证明了这些搜索问题，以及找到一个骑士的问题，可以解决的同时最优策略。我们也给出了一些计算结果的问题，发现所有身份时，间谍总是说谎，并结束了一些公开的问题。
Perfect Domination in Knights Graphs
对于图$G = (V,E),$，$V$的子集$S$是$G$的完美控制集，如果每个不在$S$中的顶点都恰好与$S.$中的一个顶点相邻完美控制数，$γ_p(G),$是$G.$的完美控制集的最小基数完美控制数被发现用于正方形，矩形和无限棋盘上的骑士图。事实上，除了那些3行且列数等于1、2或3模8的棋盘外，所有棋盘都给出了精确的值或边界。
Counting Various Classes of Tournament Score Sequences
本研究依托n顶点竞赛图得分序列计数的已有方法，提出可分别对自补竞赛图、强竞赛图及二者兼具的竞赛图的不同得分序列数量进行计算的算法。
On the number of 4-cycles in a tournament
如果$T$是一个具有给定数目的$3$ -圈的$n$ -顶点竞赛图，那么关于它的$4$ -圈的数目可以说什么？这个问题最有趣的范围是$T$被假定为有$c\cdot n^3$循环三元组的一些$c>0$，我们寻求最小化的$4$ -周期的数量。我们猜想（渐近）最小化$T$是一个常数大小的传递竞赛图的随机爆破。利用旗代数的方法，我们得到了一个几乎与给定值相匹配的下界。我们能够回答最大化$4$ -循环数的更简单的问题。这些问题可以等价地表示为传递子竞赛图。也就是说，给定$T$中传递三元组的数量，它可以有多少传递四元组？据我们所知，这是第一次研究诱导比赛。
Knights, spies, games and ballot sequences
本文提出了一个解决骑士和间谍问题的方法：在一个房间里有n个人，每个人都被标记为1到n之间的唯一数字。一个人可以是骑士，也可以是间谍。骑士总是说实话，而间谍可以撒谎或说实话，因为他们认为合适。房间里的每个人都知道其他人的身份。除此之外，所有已知的是，严格来说，骑士比间谍更多。只问这样的问题：“人i，人j的身份是什么？”'，保证找到所有n个人的真实身份的最少问题是多少？一个相关的二人博弈的分析是证明的关键。一些概率方面也进行了探讨。本文最后提出了三个开放的问题与概括的问题。
Ramsey number of 1-subdivisions of transitive tournaments
关于图的细分问题的研究在极值组合学中有着丰富的历史。Alon在1994年证明了Burr和Erdés的一个猜想，即细分图具有线性Ramsey数。后来，阿隆，Krivelevich和Sudakov表明，每一个$n$ -顶点图至少有$\varepsilon n^2$边包含一个$1$ -细分的完全图的$c_{\varepsilon}\sqrt{n}$顶点，解决了另一个古老的猜想Erdogs。在本文中，我们考虑这些问题的有向模拟，并证明了至少$(2+o(1))k^2$顶点上的每个竞赛图包含$k$顶点上的传递竞赛图的1-细分。这是最佳的乘法因子为4，并证实了一个猜想的吉朗，Popielarz和斯奈德。
Counting Hamiltonian Paths in Transitive Tournaments
我们构造了一个组合函数F，它可以计算任意给定类型的定向Hamilton路径在传递竞赛中的个数。我们还研究了F的许多性质，并得到了一些观察结果。
Minimizing cycles in tournaments and normalized $q$-norms
类似于Erdens-Rademacher问题，Linial和Morgenstern在竞赛图中提出了如下猜想：对于任何$d\in (0,1]$，在所有具有$d\binom{n}{3}$许多3-圈的$n$ -顶点竞赛图中，4-圈的数目通过传递竞赛图的特殊随机爆破而渐近最小化。最近，Chan，Grzesik，Král'和Noel在本研究中引入了竞赛图邻接矩阵的谱分析，并在$d\geq 1/36$中证实了这一点。在本文中，我们研究了类似的问题，最小化的数量的周期的给定长度。我们证明，对于整数$\ell\not\equiv 2\mod 4$，存在某个常数$c_\ell>0$，使得如果是$d\geq 1-c_\ell$，则$\ell$ -圈的数量也会被$4$ -圈的同一族极端例子渐进最小化。在这样做时，我们回答了一个问题，Linial和Morgenstern最小化的概率向量的$q$ -范数与给定的$p$ -范数的任何整数$q>p>1$。对于整数$\ell\equiv 2\mod 4$，然而，同样的现象不适用于$\ell$ -圈，对于它，我们可以构造一个明确的比赛家庭包含更少的$\ell$ -圈的任何给定的$3$-圈数。最后，我们提出了两个示意图的最小化问题的一般圈的比赛。
Some results and problems on tournament structure
本文综述了关于大色数竞赛图中是否存在两个顶点不相交且边单向指向的子竞赛图的问题，并报告了在竞赛图着色与支配相关问题上的研究进展。
Digraphs with exactly one Eulerian tour
本文给出了点集$[n]$上无孤立点且只有一个欧拉环直到循环移位的无环有向图的个数为$\frac{1}{2}(n-1)!C_{n}$的两个组合证明，其中$C_{n}$表示$n$ -th Catalan数.我们构造了一个双射与一组标记的有根平面树和一组有效的括号安排。
An exact extremal result for tournaments and 4-uniform hypergraphs
在本文中，我们解决了Frankl和Füredi（1984）提出的下列问题。在一个$r$ -一致超图中，如果每个$n$顶点集都包含$0$或恰好包含$2$超边，那么最大超边数是多少？他们为$r=3$解决了这个问题。对于$r=4$，Gunderson和Semeraro（2017）给出了部分解，当$n=q+1$对于某个素数幂数$q\equiv3\pmod{4} $时。假设存在可被$4$整除的各阶斜对称会议矩阵，给出了$n\equiv0\pmod{4} $和$n\equiv3\pmod{4}$的解.
The number of Euler tours of a random directed graph
本文给出了具有固定出度序列的随机欧拉有向图的欧拉环数的期望和方差。利用这一点，我们得到了随机$d$ -in/ $d$ -out图的Euler旅行数的渐近分布，并证明了一个集中结果.然后，我们能够表明，一个非常简单的方法，均匀采样或近似计数欧拉旅游产生的算法运行在预期的多项式时间几乎每一个$d$ -在/ $d$ -出图。本文利用de Bruijn，van Aardenne-Ehrfest，Smith和Tutte的BEST定理，证明了具有出度序列$\mathbf{d}$的欧拉有向图的欧拉环数是树形数与项$\frac{1}{n}[\prod_{v \in V}(d_v-1)!]$的乘积.因此，我们的主要工作是估计具有固定出度序列的随机图的树形数的矩。
Exact counting of Euler Tours for Graphs of Bounded Treewidth
本文给出了一个简单的多项式时间算法来精确计算任意树宽有界的欧拉图的欧拉圈数。已知对于一般的图，计数k的问题是#P-完全的（Brightwell and Winkler，（Brightwell and Winkler，2005））。到目前为止，没有多项式时间算法计数欧拉旅游的任何一类图是已知的，除了非常特殊的情况下，串并行图（其中有树宽2）。
Counting orientations of graphs with no strongly connected tournaments
设$S_k(n)$是$n$ -顶点图$G$的最大方向数，其中没有$K_k$的副本是强连通的.对于所有整数$n$，$k\geq 4$，其中$n\geq 5$或$k\geq 5$，我们证明了$S_k(n) = 2^{t_{k-1}(n)}$，其中$t_{k-1}(n)$是$n$ -顶点$(k-1)$ -分图$T_{k-1}(n)$的边数，并且$T_{k-1}(n)$是唯一具有此方向数的$n$ -顶点图。此外，$S_4(4) = 40$和这种最大化是唯一实现的$K_4$。
Tree-width and Logspace: Determinants and Counting Euler Tours
受[EJT 10]最近的结果表明MSO性质在有界树宽的图上是Logspace可计算的启发，我们考虑了计算有界树宽图的邻接矩阵的行列式的复杂性，并证明了它是L-完全的。重要的是要注意，行列式既不是MSO性质，也不计算MSO谓词的解的数量。我们将这种方法推广到计算有界树宽有向图中生成树和有向欧拉图的数量，并进一步计算无向图中生成树的数量和欧拉图的数量，所有这些都在L中。请注意，无向欧拉旅行并不是MSO-可表达的，相应的计数问题实际上对一般图来说是P-困难的。直到最近Chebolu等人[CCM 13]才知道在有界树宽图中计数无向欧拉旅行是多项式时间可计算的，并给出了解决该问题的多项式时间算法（与本工作同时且独立）。最后，我们还给出了行列式算法的一些线性代数推广，以说明如何计算L中有界树宽图的特征多项式和幂的迹。
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