Rigidity of Teichmüller space
Alex Eskin, Howard Masur, Kasra Rafi
我们证明了Teichmüller空间的每一个具有Teichmüller度量的拟等距是到Teichmüller空间的等距的有界距离。也就是说，Teichmüller空间是拟等距刚性的。
We prove that the every quasi-isometry of Teichmüller space equipped with the Teichmüller metric is a bounded distance from an isometry of Teichmüller space. That is, Teichmüller space is quasi-isometrically rigid.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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A Commentary on Teichm{ü}ller's paper ``Vollst{ä}ndige L{ö}sung einer Extremalaufgabe der quasikonformen Abbildung'' (Complete solution of an extremal problem of the quasiconformal mapping)
我们评论Teichm{ü}ller的文件“Vollst {ä}ndige L{<$}sung einer Extremalaufgabe之quasikonformen Abbildung”“（完整的解决方案的ex-tremal问题的quasiconformal映射），发表于1941年。Teichm{ü}ller在五边形（边界上有五个区别点的圆盘）情形下给出了极值拟共形映射存在性的一个证明.本文的最终版本将出现在第六卷的Teichmüller理论手册的一章。
Infinite-dimensional Teichm{ü}ller spaces
In this paper, the Teichm{ü}ller spaces of surfaces appear from two points of views: the conformal category and the hyperbolic category. In contrast to the case of surfaces of topologically finite type , the Teichm{ü}ller spaces associated to surfaces of topologically infinite type depend on the choice of a base structure. In the setting of surfaces of infinite type, the Teichm{ü}ller spaces can be endowed with different distance functions such as the length-spectrum distance, the bi-Lipschitz distance, the Fenchel-Nielsen distance, the Teichm{ü}ller distance and there are other distance funct…
Deforming hyperbolic hexagons with applications to the arc and the Thurston metrics on Teichm{ü}ller spaces
对于双曲平面上的每个直角六边形，我们构造了一个单参数的直角六边形族，族中任意两个元素之间具有一个Lipschitz映射，实现了该映射相对于边界的同伦类中的最小Lipschitz常数.作为这种构造的结果，我们给出了具有非空边界的任意负欧拉示性数曲面的Teichm{ü}ller空间上弧度量的新测地线.我们还得到了无边界双曲曲面的Teichm{ü}ller空间上Thurston度量的新测地线.
Ideal triangles, hyperbolic surfaces and the Thurston metric on Teichm{ü}ller space
这些都是笔记双曲几何的表面，Teichm{üller}空间和瑟斯顿的度量对这些空间。它们与我2019年3月在中国科学院晨兴数学中心和2019年5月在圣彼得堡国立大学切比雪夫实验室的讲座有关。特别是，我调查几个结果的行为拉伸线，一个杰出的类测地线瑟斯顿的度量，我指出了几个类比之间的度量和Teichm{ü}ller的度量。几个开放的问题得到解决。这些注释的最终版本将出现在由L编辑的“模空间和局部对称空间”一书中。Ji和S.- T.邱，国际出版社，2021年。
On the Teichm{ü}ller space of acute triangles
该研究延续前人工作，通过直接计算给出锐角三角形子空间上类Thurston度量的距离函数与Finsler结构显式表达式，推导其无穷小刚性，并描述极端Lipschitz映射的最大拉伸轨迹。
The Teichm{ü}ller-Randers metric
本文在具有（可能空）穿刺的闭可定向曲面的Teichm{ü}ller空间上引入了一个新的非对称弱度量，我们称之为Teichm{ü}ller-Randers度量，它是Teichm{ü}ller度量的非对称变形，通过在Teichm{ü}ller度量的无穷小形式上增加一个微分1-形式而得到.我们研究了Teichm{üller-Randers度量的基本性质。在1-形式是正合的情况下，两点之间的任何Teichm{üller测地线都是它们之间唯一的Teichm{üller-Randers测地线。一个特别有趣的情况是，当微分1-形式是（直到一个因子）与测量叶理相关的极值长度函数的对数的微分。我们表明，在这种情况下，Teichm{ü}ller-Randers度量是不完整的任何Teichm{ü}ller磁盘，我们给出了一个特性的测地线有界长度在这个磁盘中的定向测量叶理。
Derivatives of length functions and shearing coordinates on teichm{ü}ller spaces
设$S$是亏格至少为$2$的闭定向曲面，用$\mathcal{T}(S)$表示其Teichm{ü}ller空间.对于任何合痕类的闭曲线$γ$，我们计算的前三个衍生物的长度函数$\ell\_γ:\mathcal{T}(S)\rightarrow\mathbf{R}\_+$在剪切坐标相关联的最大测地层$λ$。证明了如果$γ$与$λ$的每一片叶子相交，则$\ell\_γ$的Hessian是正定的.我们将这一结果扩展到测量叠层的长度函数。我们还提供了一种计算测地线长度函数高阶导数的方法。我们使用Bonahon的横向H{<$}lder分布和剪切坐标理论。
Tangent spaces of the Teichm{ü}ller space of the torus with Thurston's weak metric
本文证明了环面上平坦结构的Teichm{ü}ller空间上的Thurston非对称度量的类似是弱Finsler，并给出了Teichm{ü}ller空间的切空间中每一点处的单位球面的几何描述.然后，我们引入了一类弱Finsler度量，它们插值于Thurston的非对称度量和环面的Teichm{ü}ller度量（与双曲度量一致）之间.我们描述了这个族中度量的无穷小单位球，本文的最终版本将发表在Annales Academietum\ Scientiarum Fennicetum\ Mathematica上。
The combinatorial structure of the unit tangent spheres and cotangent spheres of Teichm{ü}ller space with Thurston's Finsler metric
本文研究了负欧拉示性数闭曲面的Teichmüller空间上Thurston度量诱导的切空间和余切空间范数的单位球面的组合结构，给出了切空间单位球面各面维数的公式，证明了该组合结构独立于Teichmüller空间中的基点，并建立了扩展映射类群与单位球面组合自同构群之间的自然同构（亏格2时为满同态），同时得到了余切空间单位球面面的余维数公式以及面暴露和对应投影加权多曲线的充要条件。
The infinitesimal and global Thurston geometry of Teichm{ü}ller space
本文系统研究了Thurston度量的无穷小几何，证明切球与余切球结构可恢复带标记双曲曲面的标记与几何，并由此导出全局几何刚性陈述。
The earthquake metric on Teichm{ü}ller space
本文首次系统研究 Thurston 在 Teichmüller 空间上引入的非对称 Finsler 地震度量，证明其若干性质，提出 FD-完备化概念，并将其与 Weil–Petersson 完备化及全局最小化问题联系起来。
On the early history of moduli and Teichm{ü}ller spaces
我们综述了Riemann模空间和Teichm{ü}ller空间的一些主要贡献。我们的报告具有历史性，但重点是数学思想链。我们从黎曼曲面的介绍开始，以黎曼模空间和Teichm{ü}ller空间的一些基本结构的发现结束。我们指出几个事实，这似乎是未知的许多代数geometers和分析工作的理论。我们感兴趣的时期始于1851年的黎曼，结束于20世纪60年代初，当时Ahlfors和Bers证实了Teichm{üller的结果是正确的。本文是为Linda Keen，Irwin Kra和Rubi Rodriguez编辑的《Lipman Bers，a life in Mathematics》一书撰写的（美国数学学会，2015）。这是专门为纪念李普曼Bers谁首先是一个复杂的分析师，并花了很大一部分他的生命和精力工作的分析结构Teichm{ü}ller空间。他的工作分析，但不可分割的几何和拓扑结构。在这篇综述中，我们强调了这一工作与Riemann，Poincar{é}，Klein，Brouwer，Siegel，Teichm{üller，Weil，Grothendieck等人的工作之间的联系和逻辑依赖。我们解释了这些想法背后的动机。在这样做的时候，我们指出了几个事实，这似乎是未知的许多泰希勒理论家。
Convex structures of the unit tangent spheres in Teichm{ü}ller space
研究泰希米勒空间中单位切球的凸结构，通过分析瑟斯顿度量的芬斯勒无穷小球，得到面、暴露面和极点的特征，包括面与链回归测地线层叠的关系等，为相关拓扑部分提供了新方法并肯定了一个猜想。
A Commentary on Teichm{ü}ller's paper "Untersuchungen über konforme und quasikonforme Abbildungen" (Investigations on conformal and quasiconformal mappings) (to appear in Vol. VII of the \emph{Handbook of Teichmüller theory}
这是一个评论Teichm Ller的文件Unter-suchungen Lüber konforme und quasikonforme Abbildungen（Inves-tigations on conformal and quasiconformal mapping）出版于1938年。该文件包含的基本成果在共形几何，特别是一个引理，被称为模，它确保几乎圆形的某些轨迹定义为互补组成部分的简单连通地区的黎曼领域，和另一个引理，我们称之为主要引理，它确保圆形接近无穷大的图像圆的一个准siconformal映射。这两个结果在值分布理论中有着广泛的应用，它们允许有效地利用双连通域和拟共形映射的模。Te-ichm{ü}ller的论文还包含了双连通域共形不变量理论的深入发展。本文的最终版本将出现在\emph{Handbook of Teichm{ü}ller theory}（欧洲数学学会出版社，2020）的第七卷中。
A Commentary on Teichm{ü}ller's paper ``Bestimmung der extremalen quasikonformen Abbildungen bei geschlossenen orientierten Riemannschen Fl{ä}chen''
这是对Teichm {ü} ller的论文"Bestimmung der extremalen quasikonformen Abbildungen bei geschlossenen orientierten Riemannschen Fl {ä} chen"（Determination of extremal quasiconformal maps of closed oriented Riemann surfaces）的数学评论。本文是最后（可能是最后一个），Teichm {ü} ller写的理论模量。它包含证明所谓的Teichm {ü} ller存在定理的闭曲面的亏格至少2。为了证明这一点，作者定义了一个映射之间的空间的等价类的标记黎曼曲面（Teichm {ü} ller空间）和一个空间的等价类的某些富克斯群（即所谓的Fuchke空间）。然后，他定义了后者与6g-6维的欧几里得空间之间的映射，并利用Brouwer的论域不变性定理证明了该映射是同胚的。这涉及到特别是一个仔细定义的拓扑结构的Sparkke空间，计算其维数，并比较结果之间的双曲距离和拟共形膨胀。区域不变性定理的使用是在庞加莱和克莱因的精神使用所谓的"连续性原理"在他们试图证明的一致化定理。
A commentary on Teichmüller's paper "Extremale quasikonforme Abbildungen und quadratische Differentiale"
我们提供了一个评论Teichm{ü}ller的论文“Extremale quasikonforme Abbildungen und quadratische Differentiale”（Extremal quasiconformal mapping of closed oriented Riemann surfaces），Abh.普鲁斯阿卡德智慧，数学自然。KL. 1940，No.22，1-197（1940）。这篇论文被几部著作引用，尽管读过的人很少。它包含的一些结果后来被重新发现，并在没有提到Teichm{üller的情况下发表。在这篇评论中，我们强调了该论文中包含的主要结果和主要思想，并描述了它们引起的一些重要发展。本文的最终版本，连同Teichm{üller论文的英文翻译，将出现在\emph{Handbook of Teichm{ü}ller theory}（欧洲数学学会出版社，2015年）的第五卷中。
TeichmUller's work on the type problem (To appear in Vol. VII of the Handbook of Teichm{ü}ller theory, 2020)
型问题是判定单连通黎曼曲面是否共形等价于复平面或复平面中的单位dic的问题。我们报告Teichm{ü}ller的结果的类型问题，从他的两篇论文Eine Anwendung quasikonformer Abbildungen auf达斯Typenproblem（应用拟共形映射-ping的类型问题）（1937年）和Untersuchungen{ü}ber kon-forme und quasikonforme Abbildungen（调查共形和拟共形映射）（1938年）。它们涉及定义为球面分支覆盖的单连通黎曼曲面。同时，我们回顾了线聚理论，这是Teichm Ller等人用来编码球面分支覆盖的一种组合方法。在第一篇文章中，Teichm{ü}ller证明了：任意两个单连通的黎曼曲面，如果是黎曼球面上具有多个分支值的分支覆盖，并且具有相同的线聚，则它们是拟共形等价的。为此目的，他介绍了一种技术，拼凑拟共形映射。他还获得了一个结果的延伸顺利方向保持的仿形映射的圆拟共形映射的光盘是共形的边界。在第二篇论文中，使用线聚，Teichm{ü}ller给出了一个类型准则的单连通表面是一个分支覆盖的领域，在一个充分定义的措施分歧，定义了一个限制过程。结果表明，如果曲面是“充分分歧的”（在某种意义上是精确的），那么它是双曲的。在同一份文件中，特ichm {ü}ller回答了否定的一个猜想提出的内万林纳其中…
The horocyclic metric on Teichm{ü}ller spaces
本文从共形视角研究Teichmüller空间上的水平度量，将Thurston的理论扩展到任意亏格的Riemann面，并通过复Legendre变换建立Weil-Petersson symplectic形式的对偶关系。
Higher spin mapping class groups and strata of Abelian differentials over Teichm{ü}ller space
对于$g \ge 5$，我们给出了Teichmüller空间上交换微分层的连通分支的一个完全分类，建立了模空间上Kontsevich和Zorich对它们的连通分支的一个类似分类.在第一作者（arXiv：1901.05482）工作的基础上，我们发现非超椭圆分量由称为$r$ -自旋结构的不变量进行分类。这是通过计算在映射类群中取值的某个单值群来实现的。要做到这一点，我们确定明确的有限生成集的所有$r$自旋稳定子群的映射类群，完成了一个项目开始的第二作者（arXiv：1710.08042）。由这些结果得到了平面几何和复曲面几何中的一些推论。
A commentary on Teichmüller's paper "Verschiebungssatz der quasikonformen Abbildung" (A displacement theorem of quasiconformal mapping)
这是一个评论Teichm{ü}ller的文件Ein Verebungswords之quasikonformen Abbildung（位移定理quasiconformal映射），发表于1944年。我们详细解释了如何Teichm{ü}ller解决的问题，找到准共形映射从单位光盘本身，发送0到一个严格的负点上的真正的线，举行边界的光盘逐点固定和最小的准共形膨胀。我们也提到这个极值问题的一些后果，我们问一个问题。
The horofunction compactification of the arc metric on Teichmüller space
弧度量是具有非空边界的曲面S的Teichm{ü}ller空间T（S）上的非对称度量。本文研究了T（S）的Thurston紧化与赋弧度量的时函数紧化之间的关系。我们证明了这两个紧化之间存在一个自然同胚。
Generalized Teichmüller space of non-compact 3-manifolds and Mostow rigidity
考虑一个3 $-$维流形$N$，它是由有限个理想双曲四面体通过等距线沿它们的面胶合而成的。通过改变每个四面体的等距类型，但保持固定的胶合模式，我们定义了一个空间$\mathcal{T}$的完全双曲度量的$N$与圆锥奇点沿四面体的边缘。证明了$\mathcal{T}$同胚于一个欧几里得空间，并计算了它的维数。通过例子，我们检验了$% \mathcal{T}$的元素是否唯一地由$N.$的边周围的角决定
A rigidity theorem for holomorphic disks in Teichmüller space
本文讨论了Teichmüller空间中全纯圆盘的一个刚性性质。实际上，我们给出了Tanigawa刚性定理的一个改进。我们也将讨论复流形的全纯圆盘的刚性性质。我们观察到刚性性质对具有$C^{2}$ -边界的有界严格伪凸域是有效的，但刚性性质对乘积流形不成立。
On Grothendieck's tame topology
格罗滕迪克的Esquisse d 'un纲领经常被提及，因为它包含了关于dessins d' enfants、Teichm{üller}塔以及绝对伽罗瓦群对这些对象或它们的etale基本群的作用的思想。但这个程序包含了其他几个重要的想法。特别是，由表面拓扑和模空间的黎曼曲面的动机，格罗滕迪克呼吁有重铸的拓扑，以使其适合的对象，半代数和半解析几何，特别是研究的Mumford-Deligne紧化的模空间。本文提出了流形、子流形以及它们之间映射的新概念。我们在本章中回顾这些思想，因为它们与模理论和Te-ichm{ü}ller空间有关。我们还简要地提到格罗滕迪克的想法和早期的理论开发的惠特尼，Lojasiewicz和Hironaka，特别是托姆，并与最近的理论o-最小结构。本文的最终版本将出现在第六卷的Teichmüller理论手册的一章。本卷是献给亚历山大格罗滕迪克的记忆。
Local Rigidity of Teichmüller space with Thurston metric
我们证明了Teichmüller空间的余切空间之间的每一个$\mathbb R$ -线性满射等距都是由下面的双曲曲面之间的等距所诱导的，这是Royden关于Teichmüller度量的定理的一个类似。
On parameterizations of Teichmüller spaces of surfaces with boundary
在\cite{rigidity}中，罗引入了一个$ψ_λ$边不变量，它是一个有边界曲面的Teichmüller空间的坐标。他证明了对于$λ\geq 0$，Teichmüller空间在$ψ_λ$边不变坐标下的像是开胞。本文证明了他的猜想：对于$λ<0$，Teichmüller空间的象是有界凸多胞体.
Smooth and PL-Rigidity Problems on Locally Symmetric Spaces
本文综述了关于负曲局部对称空间的光滑性和PL-刚性问题的已知结果和公开问题。我们还回顾了流形上负曲黎曼度量空间和负曲Teichmuller度量空间的基本拓扑性质的研究进展。
Linear growth of translation lengths of random isometries on Gromov hyperbolic spaces and Teichmüller spaces
该研究针对Gromov双曲空间等距群上的随机游走，证明无矩条件下非初等随机游走平移长度至少线性增长，有限一阶矩下增长率等于漂移，还将技术推广到Teichmüller空间，在有限一阶矩下证明谱定理，拓展了已有结果。
On finite marked length spectral rigidity of hyperbolic cone surfaces and the Thurston metric
我们研究双曲锥面的几何，可能与尖点或测地线边界。证明了非例外型曲面上的双曲锥结构在合痕下由有限个特定的非周边简单闭曲线同伦类的测地线长度决定。作为应用，我们证明了Thurston非对称度量在具有固定锥角和边界长度的双曲锥曲面的Teichmüller空间上是定义良好的.我们比较了这样的Teichmüller空间与完备双曲曲面的Teichmüller空间，证明了这两个空间（赋予Thurston度量）几乎等距。
On Foliations in $\text{PSL}(4,\mathbb{R})$-Teichmüller Theory
本文研究了 $\text{PSL}_4(\mathbb{R})$-Hitchin 表示的不连续域结构，证明了叶状分支恰有两个群不变线段叶状结构和一个唯一凸域叶状结构，并由此得到曲面单位切丛上真凸叶状射影结构的刚性。
Horoboundary and rigidity of filling geodesic currents
该研究通过构建双曲面上测地流的非对称度量，揭示了不同亏格表面的测地流空间在度量上的刚性差异。
Local rigidity of covering constructions and Weil--Petersson subvarieties of the moduli space of curves
本文证明了曲线模空间$\u039c_{g,n}$的Weil–Petersson全测地子簇及覆盖构造是局部刚性的，该结论由一类轨形映射的一般刚性结果推导得到。
McShane identities for Higher Teichmüller theory and the Goncharov-Shen potential
我们通过研究Goncharov和Shen推出的映射类群不变函数族，推广了Horocycle长度的概念，从而得到了McShane的高阶表面群表示的恒等式的推广。特别地，我们通过推广Birman-级数测地稀缺定理，得到了有限区域尖凸实射影曲面的McShane型恒等式。更一般地，我们建立了正的表面群表示斜驶边界单值的McShane型的身份，以及McShane型不等式的一般秩正表示与单幂边界单值。我们的身份系统地表示在射影不变量，我们研究这些不变量：我们建立有界性和Fuchsian刚性的三重和交比的结果。我们应用我们的身份，以获得简单的谱离散的单幂次边界的正表示，领引理，和推广的Thurston度量。
Rigidity for Patterson--Sullivan systems with applications to random walks and entropy rigidity
本文引入Patterson-Sullivan系统，研究其在随机游走和熵刚性中的应用，证明了Tukia的测度边界刚性定理的推广，并探讨了Patterson-Sullivan测度的奇异性猜想。
The geometry of totally geodesic subvarieties of moduli spaces of Riemann surfaces
该论文证明了黎曼曲面模空间中全测地子簇边界的半单性，并据此证明了相关Teichmüller子流形和轨道基本群是层次双曲的，为这些对象提供了新工具。
Quasiflats in hierarchically hyperbolic spaces
分层双曲空间的秩是在标准乘积区域中无界因子的最大数目。对于等级双曲群，这与拟平坦的最大维数相一致。秩与熟悉的量一致的例子包括：映射类群的最大德恩扭曲平坦的维数，直角Coxeter和Artin群的自由交换子群的最大秩，以及Weil-Petersson度量的秩是Teichmüller空间复维数一半的整数部分。我们证明了任何准平坦的维数等于秩位于有限距离内的工会标准orthants（在一个温和的条件下，满足所有自然的例子）。这解决了应用于各种示例时的突出问题。对于映射类群，我们验证了Farb的一个猜想;对于Teichmüller空间，我们回答了Brock的一个问题;对于CAT（0）立方群，我们处理了包括直角Coxeter群在内的特殊情形.证明中的一个重要成分是HHS中任何有限集的壳与维数由秩限定的CAT（0）立方复形是拟等距的。我们推出了一些应用。例如，我们表明，HHS之间的任何准等距诱导某些简单的HHS之间的准等距。这允许一个，例如，以区分准等距类的直角阿廷/考克斯特群。另一个应用是拟等距刚性。我们的工具在许多情况下允许一个减少的问题，拟等距刚性为一个给定的层次双曲组的组合问题。本文给出了映射类群的拟等距刚性的一个新的证明，给出了我们的一般拟平坦定理，使用了比以前的证明更简单的组合参数。
Thick metric spaces, relative hyperbolicity, and quasi-isometric rigidity
研究了非相对双曲群的几何。推广了Schwartz的一个结果，非相对双曲空间在相对双曲空间中的任何拟等距像都包含在单个外围子群的有界邻域中.这意味着一个群是相对双曲的，而其周边子群是非相对双曲的，则它是一个拟等距不变量。作为一个应用，阿廷群是相对双曲的当且仅当可自由分解。我们还引入了一个新的准等距不变量的度量空间称为度量厚，这是足够的度量空间是非双曲相对于任何非平凡的子集的集合。厚有限生成群包括：大多数曲面的映射类群;大多数自由群的外自同构群;某些Artin群;以及其他。高阶半单李群中的非均匀格是厚的，因此是非相对双曲的，与提供相对双曲群的激励性例子的秩1相反。映射类群是第一个例子nonrelatively双曲群有切割点在任何渐近锥面，解决了几个问题的Drutu和萨皮尔的结构相对双曲群。在群论之外，Teichmuller空间对于足够大的复杂性的曲面来说相对于Weil-Peterson度量是厚的，与Brock-Farb的双曲性结果相比，它的复杂性很低。
The geometry of the Thurston metric: a survey
本文综述了Teichmüller空间上Thurston度量的几何，重点梳理双曲曲面间极值Lipschitz映射的构造，并讨论其粗几何、等距刚性、与Thurston紧化的关系及近期推广。
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