图的一致随机点序

从几何图或排序中学习随机点

Learning random points from geometric graphs or orderings

设$n$的随机点$X_v$为$v \in V$，独立均匀地分布在面积$n$的正方形$\left[-\sqrt{n}/2,\sqrt{n}/2\right]^2$上.我们没有看到这些点，但通过以下两种方式之一了解它们。假设我们首先给定相应的随机几何图$G$，其中当欧氏距离$d_E(X_u,X_v)$至多为$r$时，不同的顶点$u$和$v$相邻。如果阈值距离$r$满足$n^{3/14} \ll r \ll n^{1/2}$，则以下以高概率成立。给定图$G$（没有任何几何信息），在多项式时间内，我们可以近似地重建隐藏的嵌入，在这个意义上，“直到对称”，对于每个顶点$v$，我们找到一个点在距离$X_v$的$r$之内;也就是说，我们找到一个“位移”最多关于$r$的嵌入。现在假设，不是给出图$G$，而是对于每个顶点$v$，通过增加与$v$的欧几里德距离来给出其他顶点的排序。然后，以高概率，在多项式时间内，我们可以找到具有小得多的位移误差$O(\sqrt{\log n})$的嵌入。